實(shí)例教學(xué)法在一元二次方程教學(xué)中的應(yīng)用
——傳播問題與一元二次方程

新疆烏魯木齊市第五中學(xué)(830000)張瓊

1 設(shè)計(jì)理念

2020年新冠病毒是全人類共同的危機(jī),本節(jié)課通過對(duì)武漢和烏魯木齊的實(shí)例分析,不僅使學(xué)生理解和掌握傳播問題,還教導(dǎo)學(xué)生珍愛生命關(guān)愛健康,增強(qiáng)學(xué)生的防疫防控意識(shí).為了實(shí)現(xiàn)目標(biāo),突破重難點(diǎn),在教學(xué)過程中設(shè)計(jì)了:一引,一探,兩實(shí)例,由簡單到復(fù)雜,讓學(xué)生逐步理解和掌握傳播問題.通過實(shí)例:武漢和烏魯木齊疫情,讓學(xué)生體會(huì)新冠病毒傳播過程中爆炸性增長,明白抗疫勝利的來之不易.

2 教材內(nèi)容

本課選取人教版九年級(jí)上冊(cè)第21 章“一元二次方程”第3 節(jié)第1 課時(shí).實(shí)際問題與一元二次方程是九年級(jí)上期末考試?？贾R(shí)點(diǎn),本節(jié)課中,學(xué)生不僅要嘗試將實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題,還要建立數(shù)學(xué)模型對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行求解,并聯(lián)系生活常識(shí)對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn),本節(jié)課能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際.

3 學(xué)情分析

本節(jié)課利用一元二次方程求解實(shí)際問題,學(xué)生已掌握一元二次方程的解法.但因?yàn)閷W(xué)生程度一般,建模能力較弱,學(xué)生分析實(shí)際問題能力和數(shù)學(xué)建模能力還有待提高.

4 教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能:經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型求解傳播問題的過程,掌握傳播問題中的數(shù)量關(guān)系.通過對(duì)問題的求解和對(duì)實(shí)例的分析計(jì)算,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到方程的解必須進(jìn)行檢驗(yàn),方程的解是要以實(shí)際意義為標(biāo)準(zhǔn).

過程與方法:通過列一元二次方程解決病毒傳播問題,培養(yǎng)學(xué)生“建模思想”和提高數(shù)學(xué)知識(shí)的“應(yīng)用能力”.學(xué)生在分析武漢和烏魯木齊新冠疫情并建立數(shù)學(xué)模型的過程中,進(jìn)一步提高學(xué)生邏輯推理能力.

情感態(tài)度價(jià)值觀:通過列一元二次方程解決實(shí)際問題,讓學(xué)生體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型,學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.在進(jìn)行分析和計(jì)算中,感受疫情防控刻不容緩和不可懈怠,體會(huì)中國人民在大災(zāi)大難面前的愛國主義熱情.對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育,增強(qiáng)民族自信心和自豪感.

5 重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn):利用一元二次方程求解傳播問題,理解傳播問題中病毒源要參與兩次傳染.

難點(diǎn):理解傳播問題中的數(shù)量關(guān)系.

6 教學(xué)策略

教師先通過活動(dòng)讓學(xué)生感受到傳染源會(huì)進(jìn)行二次傳染,然后通過過渡句進(jìn)入本節(jié)課的重點(diǎn):傳播問題.通過求解傳播問題,學(xué)生可以清楚的感受到病毒傳播速度之快,體會(huì)疫情防控的重要性.接著利用實(shí)例展開對(duì)新冠疫情新的解讀,通過自主探究和小組討論,引起學(xué)生興趣,學(xué)生在探究和討論的過程中掌握傳播問題,并對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育,增強(qiáng)學(xué)生的國家自豪感和民族自信心.讓學(xué)生將已有的知識(shí)用于實(shí)例中,通過數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題,符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展,是本節(jié)課的關(guān)鍵.

7 教學(xué)過程

7.1 創(chuàng)設(shè)情景

經(jīng)過四十余天的防控封閉隔離期,烏魯木齊市人民團(tuán)結(jié)一心、眾志成城,成功擊退新冠疫魔.烏魯木齊為什么緊急按下暫停鍵?為什么政府要求大家居家隔離和核酸檢測(cè)?今天的數(shù)學(xué)課,我們一起重新審視這些問題.

問題1有一個(gè)人患了流感,平均一個(gè)人一輪傳染3 個(gè)人,一輪傳染后有()個(gè)人患了流感,再經(jīng)過兩輪感染共有()個(gè)人患了流感.

設(shè)計(jì)意圖因?yàn)閷W(xué)生的程度一般,先以具體的數(shù)字,進(jìn)行分析和計(jì)算,為后面設(shè)未知數(shù)做鋪墊.降低了難度,縮短了學(xué)生理解難度,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,助學(xué)生樹立了自主探究的信心.

活動(dòng)1情景再現(xiàn)

教師作為“病毒”進(jìn)入人群,教師觸碰到一名學(xué)生時(shí),代表這名學(xué)生已被感染.第一輪,教師觸碰了三名同學(xué),三名同學(xué)起立.第二輪,讓被感染的每位同學(xué)在觸碰其他坐著的三名同學(xué),又站起來九名同學(xué).

這時(shí),教師提出問題:同學(xué)們,在第二輪傳播中,老師是突然恢復(fù)健康了么?還是被隔離了?在第二輪傳染中,我們忽略了什么?

學(xué)生:還有老師,老師還會(huì)參與傳染.

教師:非常好.老師作為病毒的源頭,也要參與第二輪傳染.

教師觸碰另外3 名同學(xué),使之起立.

教師:回到黑板上的問題,我們來填填空.

為了能夠目標(biāo)明確,思路清晰的進(jìn)行探究,我精心設(shè)計(jì)以下問題:一開始有幾個(gè)感染流感?一輪傳播后,有幾個(gè)人得了流感?第二輪傳播后,又有幾名同學(xué)被傳染了流感?兩輪傳播后,共有幾人得了流感?

設(shè)計(jì)意圖通過活動(dòng),在逐層深入問題的引導(dǎo)下,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在第二輪傳染時(shí),教師也參與了第二輪傳染,又使三名同學(xué)“感染”.活動(dòng)進(jìn)行到這里,可謂是“一石激起千層浪”,學(xué)生的思維再次活躍,通過相互討論使得更多的學(xué)生理解為什么教師會(huì)參與到第二輪傳染.在計(jì)算時(shí)學(xué)生很容易得到1+3+3(1+3)=16.在活動(dòng)中,即提高了學(xué)生參與的熱情,又形象的解讀了問題1.

7.2 探究傳播問題

教師:“同學(xué)們,流感爆發(fā)的時(shí)候我們很難準(zhǔn)確知道一天中有多少人得了流感,但我們可以快速統(tǒng)計(jì)出一共有多少人得了流感去了醫(yī)院.現(xiàn)在題目發(fā)生改變,我們一起看看要怎么辦?”

問題2有一個(gè)人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?

教師:同學(xué)們是否見過一道類似的問題,你可以利用它的方法嗎?

學(xué)生:因?yàn)椴恢烂枯唫魅局衅骄粋€(gè)人傳染了多少個(gè)人,可以先設(shè)未知數(shù)x,這就和問題1 是一樣的.

教師:說的非常好,同學(xué)們,這個(gè)未知數(shù)要怎么設(shè)呢?

學(xué)生:設(shè)一個(gè)人平均傳染了x個(gè)人.

教師:這里的傳染,要注意‘輪’這個(gè)過程,像剛剛同學(xué)這樣設(shè),我們是不是也可以理解為平均一個(gè)人2 輪傳染了x個(gè)人?

學(xué)生:不對(duì),應(yīng)該這樣設(shè):每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人.

教師:非常嚴(yán)謹(jǐn),很棒!

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生很容易忽視設(shè)未知數(shù)環(huán)節(jié),教師將關(guān)鍵之處點(diǎn)到,規(guī)避學(xué)生犯錯(cuò).

活動(dòng)2自主探究

提問:①題中有哪些數(shù)量關(guān)系?②如何理解兩輪傳染后共有121 人患了流感?

將問題1 變形:開始有一個(gè)人患了流感,平均一個(gè)人一輪傳染x個(gè)人,一輪傳染后有()個(gè)人患了流感,再經(jīng)過兩輪感染共有()個(gè)人患了流感.

列方程:1+x+x(1+x)=121

解方程:x2+ 2x-120=0,(x-10)(x+ 12)=0,x1=10,x2=-12

教師:同學(xué)們,若x2=-12,意味著一個(gè)得了流感的人進(jìn)入人群中,每輪會(huì)治愈12 個(gè)人.這樣可能嗎?

學(xué)生異口同聲:不可能,x2=-12 要舍去.

教師:這里更改為x1=10,x2=-12(舍).答:平均一個(gè)人一輪傳染了10 個(gè)人.

設(shè)計(jì)意圖此時(shí)大部分學(xué)生已經(jīng)可以通過傳播問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程求解傳播問題.教師利用幽默的語句讓學(xué)生注意到解方程后要檢驗(yàn)結(jié)果符不符合題意或?qū)嶋H情況,要把不符合實(shí)際情況的根舍去.

教師:如果按照這樣的傳染速度,三輪傳染后有多少人患流感?

觀察:填表格

第一輪傳染后的人數(shù)第二輪傳染后的人數(shù)第三輪傳染后的人數(shù)

方法1:以1 人為傳染源,3 輪傳染后的人數(shù)是:1+x+x(1+x)+x(1+x+x(1+x))=(1+x)3=1331.

方法2:以第2 輪傳染后的人數(shù)121 為傳染源,傳染一次后就是121(x+1)=1331.

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),第3 輪傳染后人數(shù)是(1+x)3,同理可推出第n次傳染后,感染人數(shù)為(1+x)n.

設(shè)計(jì)意圖此時(shí),有些同學(xué)會(huì)驚嘆流感傳播速度之快,在課堂中再一次調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.有了問題1 的鋪墊,學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)問題2 中隱含的數(shù)量關(guān)系,突出了本節(jié)課的重點(diǎn):利用一元二次方程求解傳播問題.

7.3 新冠疫情案例分析

案例1冬天武漢新冠疫情爆發(fā)

2020年1月23日武漢正式封城,確診病人為830 人(不計(jì)還未檢測(cè)出的病人).國家衛(wèi)健委高級(jí)別專家組成員曾光說:“如果晚封城幾天,將會(huì)再出現(xiàn)兩三個(gè)武漢”.

教師:同學(xué)們,還未進(jìn)行封城和居家隔離時(shí),在武漢平均每位患者每1 天傳染6 人[1],現(xiàn)在我們嘗試算一算,如果武漢晚封城2 天,讓病毒繼續(xù)肆無忌憚的傳播,會(huì)有多少人感染?

小組討論,進(jìn)行展示.

學(xué)生板書:解:830(1+6)2=40670(個(gè))

答:如果武漢晚封城2 天,會(huì)有40670 人感染.

學(xué)生:這么多人,太可怕.

教師:看到這組數(shù)據(jù),我們發(fā)現(xiàn)如果晚封城2 天,感染人數(shù)會(huì)暴增到4 萬人.武漢政府下達(dá)1月23日武漢封城的指令是正確的,也是堅(jiān)決的.直到3月18日,湖北清零,意味著第一輪疫情阻擊戰(zhàn)勝利.

設(shè)計(jì)意圖通過實(shí)例,培養(yǎng)學(xué)生愛國意識(shí),并為后面分析烏魯木齊新冠疫情做鋪墊.

案例2夏天烏魯木齊新冠疫情爆發(fā)

新冠病毒潛伏期大約為5 天[1],以2.5 天為一輪,烏魯木齊疫情爆發(fā)時(shí)共有837 人感染(數(shù)據(jù)來源:阿里健康).烏魯木齊政府在發(fā)現(xiàn)確診病例時(shí),立即采取措施,進(jìn)行封城,有效降低了病毒傳播速度.同學(xué)們算一算烏魯木齊在這兩輪傳染中平均一個(gè)人每輪傳染了人?

自主探究:(1)題中有哪些數(shù)量關(guān)系?(2)提出求解方案.

解設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人1 +x+x(1 +x)=837,(1+x)2=837,1 +x ≈ ±29,x1≈28,x2≈-30(舍)

答:每輪傳染中平均一個(gè)人大約傳染了28 個(gè)人.

學(xué)生:不可思議,太可怕了.

教師:看到這個(gè)數(shù)據(jù),我們來算一下,如果烏魯木齊晚封城兩天,會(huì)增加多少病例?

學(xué)生:837×28=23436 個(gè)人.

設(shè)計(jì)意圖通過烏魯木齊的案例對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育,增強(qiáng)民族自信心.

7.4 小結(jié)

教師:同學(xué)們,今天我們學(xué)習(xí)了傳播問題,你從這節(jié)課收獲了什么?

學(xué)生:早發(fā)現(xiàn),早治療,早隔離,可以有效阻斷病毒傳播.

學(xué)生:被感染的人如果沒有隔離和治療,會(huì)不斷的傳染.

學(xué)生:疫情剛爆發(fā)時(shí),越早進(jìn)行居家隔離越能阻斷疫情傳播.

教師:同學(xué)們總結(jié)的很棒.在求解傳播問題時(shí),我們要注意傳染源會(huì)進(jìn)行二輪傳染.

設(shè)計(jì)意圖結(jié)尾處的學(xué)生發(fā)言即是對(duì)傳播問題的小結(jié),也是學(xué)生對(duì)這場(chǎng)抗疫新冠病毒的斗爭換一個(gè)角度的認(rèn)識(shí).

8 教學(xué)反思

8.1 創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課

貼近學(xué)生生活的導(dǎo)入語,既縮短了教師與和學(xué)生的距離,又縮短了數(shù)學(xué)和實(shí)際問題的距離,吸引學(xué)生的注意力.以問題1 為引例,通過活動(dòng)對(duì)傳播問題中傳染源會(huì)進(jìn)行2 次傳染進(jìn)行展示,縮短了學(xué)生與知識(shí)的距離,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,學(xué)生更容易理解和接受,樹立了自主探究的信心.

8.2 合作探究,探究新知

過渡語,將問題2 變得更加貼近實(shí)際生活,提高學(xué)生興趣.通過師生對(duì)話令學(xué)生注意到“設(shè)”的完整性.問題2 與問題1 進(jìn)行類比,觀察異同點(diǎn),填寫填空題,體會(huì)數(shù)量之間的關(guān)系,從而突破教學(xué)難點(diǎn).

8.3 熱點(diǎn)問題,實(shí)例分析

新冠肺炎的爆發(fā)牽動(dòng)著全球的目光,學(xué)生經(jīng)歷過了烏魯木齊新冠疫情爆發(fā),通過對(duì)實(shí)例的分析,提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,從另一個(gè)角度對(duì)新冠疫情防控工作進(jìn)行解讀,幫助學(xué)生更加全面的認(rèn)識(shí)到新冠疫情,認(rèn)識(shí)到居家隔離的重要性,認(rèn)識(shí)到自我防護(hù)的重要性.實(shí)例分析,使學(xué)生感同身受的理解傳播問題.通過分析這兩場(chǎng)抗疫阻擊戰(zhàn)的勝利的來之不易,進(jìn)行愛國主義教育,增強(qiáng)學(xué)生的國家自豪感和民族自信心.

8.4 升華主題,愛國熱情

在小結(jié)部分,學(xué)生不僅可以從數(shù)學(xué)方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié),還可以談?wù)撟约簩?duì)新冠疫情新的認(rèn)識(shí).每個(gè)環(huán)節(jié)都對(duì)學(xué)生進(jìn)行了愛國主義教育,使得本節(jié)課既是對(duì)學(xué)生建模能力的培養(yǎng),也將思想政治工作貫穿教育教學(xué)的全過程.

總體而言，本節(jié)課貼近學(xué)生生活的導(dǎo)入語和過渡句,既縮短了教師和學(xué)生的距離,又縮短了數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際問題的距離.不但可以吸引學(xué)生的注意力,還對(duì)后續(xù)內(nèi)容進(jìn)行鋪墊.通過導(dǎo)入語,學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài),同時(shí)對(duì)本節(jié)課探究的內(nèi)容也有了大致認(rèn)識(shí).真實(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要做尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展,通過活動(dòng)和自主探究培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和數(shù)學(xué)建模能力.我們倡導(dǎo)的是主動(dòng)探究、勤于思考,摒棄的是通過大量習(xí)題加以鞏固“死記”題型的灌輸式教學(xué).本節(jié)課從一個(gè)簡單的活動(dòng)展開,逐步深入探究傳播問題,并通過對(duì)實(shí)例分析,展開探究和討論.在這個(gè)過程中,學(xué)生是充滿興趣的,不斷前進(jìn)的.教學(xué)過程的每個(gè)環(huán)節(jié)都對(duì)學(xué)生進(jìn)行了思政教育;用潤物細(xì)無聲的方式增強(qiáng)了學(xué)生珍愛生命關(guān)愛健康意識(shí);用實(shí)例教學(xué)法增強(qiáng)了學(xué)生的國家自豪感和民族自信心,將思想政治工作貫穿教育教學(xué)的全過程.