基于改進(jìn)脊線法的超冗余機(jī)器臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解*

潘 健，郭忠峰，王赫瑩(沈陽工業(yè)大學(xué)遼寧省智能制造與工業(yè)機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

機(jī)器人已廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，傳統(tǒng)串并聯(lián)機(jī)器人由于尺寸和靈活性限制難以適用于復(fù)雜狹窄的作業(yè)環(huán)境，超冗余機(jī)械臂因其具有良好的環(huán)境適應(yīng)性和避障能力[1]，逐漸成為機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。

國外對(duì)超冗余機(jī)械臂的研究起步較早，1991年，Chikjian和Burdick最先提出“超冗余”一詞[2]，后續(xù)許多團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了不同的機(jī)械結(jié)構(gòu)。Walker及其團(tuán)隊(duì)[3-5]開發(fā)了一種線驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂，并建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，英國OC Robotics公司[6-7]先后研發(fā)了多款超冗余機(jī)器人，用于飛機(jī)零部件組裝、狹小空間焊接切割等。國內(nèi)對(duì)超冗余機(jī)械臂的研究比國外晚，主要的研究單位有哈爾濱工業(yè)大學(xué)、沈陽自動(dòng)化研究所、北京航天航空大學(xué)[8-10]等。超冗余機(jī)械臂因其自由度數(shù)多，所以逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解困難，傳統(tǒng)的廣義逆法求解超冗余機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)存在計(jì)算量巨大甚至無法求解的問題[11]，針對(duì)這一問題，Chikjian和Burdick于1994年提出了基于脊線的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法并應(yīng)用于超冗余機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解[12]，但是該方法將機(jī)械臂關(guān)節(jié)盡可能的擬合在脊線上，導(dǎo)致機(jī)械臂喪失了許多自由度。

本文針對(duì)傳統(tǒng)機(jī)器人尺寸大、靈活性不足的缺點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一款基于新型球形關(guān)節(jié)串聯(lián)而成的超冗余機(jī)器臂，以其為基礎(chǔ)，提出一種基于改進(jìn)脊線法的超冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法，用于新型超冗余機(jī)械臂操作空間和關(guān)節(jié)空間之間的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，利用Matlab對(duì)空間脊線及機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行數(shù)值仿真。

1 新型超冗余機(jī)器臂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1 整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

新型超冗余機(jī)器臂整體機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1所示，整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)由機(jī)械臂模塊和驅(qū)動(dòng)模塊組成。

圖1 超冗余機(jī)器人機(jī)械系統(tǒng)原理圖

機(jī)械臂模塊由10個(gè)模塊化單關(guān)節(jié)串聯(lián)而成，每個(gè)模塊化單關(guān)節(jié)具有兩個(gè)自由度，機(jī)械臂的末端可以安裝機(jī)械抓手和攝像頭。驅(qū)動(dòng)模塊采用箱體式結(jié)構(gòu)，內(nèi)置30個(gè)電機(jī)采用分層布置方式，每一層6個(gè)電機(jī)，分為5層，機(jī)械臂通過法蘭與驅(qū)動(dòng)模塊箱體連接。

1.2 驅(qū)動(dòng)部分結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

驅(qū)動(dòng)模塊的單層驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，底座上等間距安裝6個(gè)電機(jī)，電機(jī)輸出端通過聯(lián)軸器與絲杠連接，機(jī)械臂關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)繩索通過雙U形槽輪導(dǎo)線裝置與絲杠螺母上的壓線裝置連接，通過絲杠螺母的直線運(yùn)動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)繩索的拉緊和放松。

圖2 單層驅(qū)動(dòng)模塊結(jié)構(gòu)示意圖

1.3 球形關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

新型超冗余機(jī)械臂由10個(gè)新型球型關(guān)節(jié)串聯(lián)而成，新型球型關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 新型球形結(jié)構(gòu)示意圖

一個(gè)新型球型關(guān)節(jié)包括中間球體及兩端與之配合的導(dǎo)繩盤，中間球體上均勻設(shè)置4個(gè)半球形軌道，導(dǎo)繩盤上與中間球體配合的內(nèi)球面上兩側(cè)分別設(shè)置兩個(gè)半球形孔用于安裝滾珠，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)繩盤在中間球體軌道上的滾動(dòng)，可以減小關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦損耗，提高關(guān)節(jié)使用壽命，導(dǎo)繩盤兩側(cè)的側(cè)耳上設(shè)置螺紋孔，用于擋塊和導(dǎo)繩盤側(cè)耳的連接。關(guān)節(jié)與關(guān)節(jié)之間用法蘭連桿連接，單關(guān)節(jié)長度為150 mm，新型球型關(guān)節(jié)的單自由度旋轉(zhuǎn)角度范圍為[-30°，30°]。新型超冗余機(jī)械臂直徑為50 mm，中間球體、導(dǎo)繩盤、連桿中心軸線方向均采用空心結(jié)構(gòu)，減輕了整個(gè)機(jī)械臂的重量，同時(shí)電纜可由機(jī)械臂中心穿過，實(shí)現(xiàn)末端電子設(shè)備的供電和信號(hào)傳輸。機(jī)械臂采用電機(jī)外置三線驅(qū)動(dòng)方式，三根繩索呈120°布置，每個(gè)導(dǎo)繩盤上均勻布置導(dǎo)繩孔，驅(qū)動(dòng)繩索直徑為1.2 mm。

2 基于改進(jìn)脊線法的超冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

2.1 空間脊線模型

圖4 空間脊線示意圖

空間脊線是一條可以描述超冗余機(jī)械臂空間形態(tài)的曲線[13]，其示意圖如圖4所示。

空間脊線的數(shù)學(xué)表達(dá)式[14-16]可描述為：

(1)

式中：s為歸一化脊線長度的參數(shù)；X(0)為脊線的起點(diǎn)位置；X(1)為脊線的終點(diǎn)位置；L為脊線的實(shí)際長度；u(σ)為脊線在點(diǎn)σ處的脊線切線向量。

空間脊線的切線向量u(σ)可以表示成：

(2)

其中，ψ(σ)為空間線段Oσ與其在XOY平面上投影之間的夾角，φ(σ)為空間線段Oσ在XOY平面上投影與Y軸之間的夾角。

2.2 空間脊線運(yùn)動(dòng)學(xué)

脊線的運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究脊線參數(shù)與脊線末端點(diǎn)之間的關(guān)系，而到達(dá)空間一點(diǎn)不止一條脊線，因此需要對(duì)脊線形狀進(jìn)行限制，令{si(s)}為對(duì)應(yīng)的脊線形狀約束方程：

(3)

式中：Nsi為模態(tài)子方程的個(gè)數(shù)；aij(t)為模態(tài)協(xié)同參數(shù)；φij(s)為模態(tài)子方程。

由于空間脊線方程表達(dá)式比較復(fù)雜，協(xié)同參數(shù)一般無法由顯示方程求解，因此采用數(shù)值方法求解空間脊線協(xié)同參數(shù)，下面簡述脊線協(xié)同參數(shù)的求解過程。

脊線方程對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得：

(4)

式中：J(a)為脊線的模態(tài)雅克比矩陣，是脊線協(xié)同參數(shù)的函數(shù)。

(4)式用來求解t時(shí)刻脊線協(xié)同參數(shù)集合a。

上述脊線協(xié)同參數(shù)求解可能會(huì)使脊線末端位姿產(chǎn)生較大的誤差，因此需要對(duì)協(xié)同參數(shù)進(jìn)行修正，下面采用迭代法進(jìn)行參數(shù)修正。

ak+1=ak+α·J-1(ak)·[XD-X(ak)]

(5)

式中：J-1(ak)為模態(tài)雅克比矩陣的逆矩；ak為第k次迭代a的計(jì)算值；XD為脊線的末端點(diǎn)位置；X(ak)為當(dāng)ak為脊線協(xié)同參數(shù)時(shí)計(jì)算出的脊線末端位置；α為常數(shù)，控制迭代收斂速度。

脊線運(yùn)動(dòng)學(xué)描述：正運(yùn)動(dòng)學(xué)是已知脊線的模態(tài)協(xié)同參數(shù)求解脊線的末端位置；脊線的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是已知脊線的末端位置求解脊線的模態(tài)協(xié)同參數(shù)。

2.3 超冗余機(jī)械臂關(guān)節(jié)位置擬合

本文提出基于障礙物位置的機(jī)械臂關(guān)節(jié)擬合方法，關(guān)節(jié)擬合示意圖如圖5所示，擬合過程主要包含三個(gè)步驟：末端關(guān)節(jié)擬合；剩余關(guān)節(jié)預(yù)擬合；局部關(guān)節(jié)位置調(diào)整。

圖5 機(jī)械臂關(guān)節(jié)擬合示意圖

2.3.1 末端關(guān)節(jié)擬合

為使脊線末端指向與機(jī)械臂末端執(zhí)行器指向相匹配，假定機(jī)械臂末端執(zhí)行器指向方向的單位向量為kn，末端位置坐標(biāo)為Xe=[xeyeze]T，機(jī)械臂總長度為l，關(guān)節(jié)數(shù)為n，則機(jī)械臂末端關(guān)節(jié)的位置坐標(biāo)為：

Xn=[xnynzn]T=Xe-kn·l/n

(6)

2.3.2 剩余關(guān)節(jié)位置預(yù)擬合

為使剩余關(guān)節(jié)盡可能地落在或者接近脊線，對(duì)剩余關(guān)節(jié)位置進(jìn)行預(yù)擬合，由于靠近機(jī)械臂始端的關(guān)節(jié)位置由后一關(guān)節(jié)的位置和關(guān)節(jié)長度決定，所以在剩余關(guān)節(jié)擬合時(shí)由機(jī)械臂末端關(guān)節(jié)向機(jī)械臂始端關(guān)節(jié)開始擬合，假設(shè)機(jī)械臂任意關(guān)節(jié)i的位置坐標(biāo)為Xi=[xiyizi]T，其中i∈[3，n-1]，以點(diǎn)ji+1為球心，以l/n為半徑作球體，與脊線相交于一點(diǎn)ji，以點(diǎn)ji為關(guān)節(jié)i的擬合點(diǎn)，以點(diǎn)ji到點(diǎn)ji+1之間的脊線的內(nèi)接弦向量li作為關(guān)節(jié)i的擬合量，則關(guān)節(jié)i的位置向量可以表示為：

Xi=Xi+1-li

(7)

由(7)式可以推導(dǎo)i≥3關(guān)節(jié)的位置向量，為了保證i≥3關(guān)節(jié)都擬合在脊線上，取各段脊線的內(nèi)接弦作為擬合量，當(dāng)k=2時(shí)，剩余脊線的長度會(huì)小于2L/n，導(dǎo)致關(guān)節(jié)2無法擬合到脊線上，取點(diǎn)j2、j1分別為關(guān)節(jié)1、2的擬合點(diǎn)，其中關(guān)節(jié)1為原點(diǎn)。

圖6 關(guān)節(jié)2擬合 示意圖

如圖6所示，分別以點(diǎn)j1、j3為球心，以l/n為半徑作球體，兩個(gè)球體的交線為空間圓，在該圓上求解一點(diǎn)j2，使得j2到脊線的距離最短。以j2為關(guān)節(jié)2的擬合點(diǎn)，點(diǎn)j2到點(diǎn)j3之間的線段作l2為關(guān)節(jié)2的擬合量，點(diǎn)j2到點(diǎn)j1之間的線段l1作為關(guān)節(jié)1的擬合量，關(guān)節(jié)2的位置向量可以表示為：

X2=X3-l2

(8)

2.3.3 局部關(guān)節(jié)位置調(diào)整

在預(yù)擬合過程中，機(jī)械臂所有的關(guān)節(jié)接近或落在脊線上，對(duì)于無障礙路徑，這種擬合求解方法可以減少計(jì)算量，但是對(duì)于有障礙路徑，這種擬合求解方法由于犧牲了大量自由度而導(dǎo)致機(jī)械臂喪失靈活性，故本文提出基于障礙物位置的關(guān)節(jié)擬合算法，即引入障礙物參數(shù)(包括障礙物位置參數(shù)和尺寸參數(shù))，對(duì)局部關(guān)節(jié)位置進(jìn)行調(diào)整。

圖7 障礙物模型示意圖

如圖7所示，首先對(duì)障礙物進(jìn)行建模，為了便于描述機(jī)械臂關(guān)節(jié)與障礙物之間的位置關(guān)系，將障礙物的外接球面視為機(jī)械臂所能到達(dá)的極限位置，稱之為危險(xiǎn)邊界，其半徑為Rw，同時(shí)，為了保證機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中的絕對(duì)安全，在危險(xiǎn)邊界周圍設(shè)置預(yù)警區(qū)域，預(yù)警區(qū)域的外圍邊界是機(jī)械臂的安全運(yùn)動(dòng)邊界，其半徑為Ra。在一般工況下，要求機(jī)械臂絕對(duì)安全運(yùn)行，所以機(jī)械臂關(guān)節(jié)要始終處于安全邊界之外。

假設(shè)機(jī)械臂第i個(gè)關(guān)節(jié)ji處于安全邊界范圍之內(nèi)，為了使機(jī)械臂安全運(yùn)行，需要對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)ji的位置進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整后的關(guān)節(jié)需要滿足以下邊界條件：

(9)

根據(jù)上述條件限制，求解得到一系列滿足條件的關(guān)節(jié)空間位置坐標(biāo)后，為了使調(diào)整后的關(guān)節(jié)更好地與脊線吻合，在上述邊界條件的解集中確定調(diào)整后關(guān)節(jié)的位置，使其滿足到預(yù)擬合確定的關(guān)節(jié)ji位置的歐氏距離最小，將該位置作為調(diào)節(jié)后的關(guān)節(jié)位置，即滿足下列公式：

(10)

同樣地，對(duì)于復(fù)雜工況環(huán)境，若同時(shí)出現(xiàn)多個(gè)關(guān)節(jié)在安全邊界以內(nèi)，則可以引入多組障礙物參數(shù)，應(yīng)用同樣的方法對(duì)多個(gè)關(guān)節(jié)位置進(jìn)行調(diào)整。

2.4 超冗余機(jī)械臂關(guān)節(jié)變量求解

求得各個(gè)關(guān)節(jié)擬合后的位置坐標(biāo)后，下面求解關(guān)節(jié)k的旋轉(zhuǎn)角度θk、θ2k，結(jié)合常用的D-H坐標(biāo)系法進(jìn)行關(guān)節(jié)變量求解，以本文設(shè)計(jì)的新型超冗余機(jī)械臂為例，建立機(jī)械臂的D-H坐標(biāo)系如圖8所示，得到各個(gè)關(guān)節(jié)的D-H參數(shù)如表1所示。

圖8 新型超冗余機(jī)械臂D-H坐標(biāo)系

表1 新型超冗余機(jī)械臂關(guān)節(jié)D-H參數(shù)

(11)

式中，c*是cosθ*的簡寫，s*是sinθ*的簡寫。

對(duì)于1關(guān)節(jié)，可以通過下式求解旋轉(zhuǎn)角度θ1、θ2。

(12)

X1=0P2

(13)

(14)

Xk=0P2k

(15)

在上述關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度求解過程中，因?yàn)槟┒岁P(guān)節(jié)求解時(shí)用到前面關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度變量，所以求解時(shí)需要從首端關(guān)節(jié)到末端關(guān)節(jié)依次求解。

3 空間脊線與機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

3.1 空間脊線仿真

根據(jù)超冗余機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本文選取模式函數(shù)為：

(16)

脊線約束方程為：

(17)

任意給定脊線的末端位置，在上述約束方程的約束下可以求解出空間唯一一條脊線與之對(duì)應(yīng)，假設(shè)給定脊線的末端位置為空間圓，其方程為：

根據(jù)給定的脊線末端點(diǎn)位置，本文通過數(shù)值方法(newton法)求解脊線的協(xié)同參數(shù)，得到空間脊線方程，在matlab中繪制空間脊線的三維圖形(圖9)及XY平面投影(圖10)，脊線較光滑，沒有曲率較小的脊線段，因此超冗余機(jī)械臂可以與脊線很好的擬合。

圖9 空間脊線三維圖 圖10 空間脊線YZ平面投影圖

3.2 機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

為了驗(yàn)證本文提出的基于改進(jìn)脊線法的超冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的有效性，本文用matlab進(jìn)行仿真計(jì)算。設(shè)置機(jī)械臂參數(shù)：機(jī)械臂的末端位置為X=[600，450，900]T，歸一化后對(duì)應(yīng)脊線的末端為：

Xd=[0.4，0.3，0.6]T

設(shè)置障礙物參數(shù)：障礙物模型1的位置為[290，550，255]T，半徑為30 mm，障礙物模型2的位置為[485，550，480]T，半徑為30 mm。歸一化后對(duì)應(yīng)的障礙物參數(shù)為：

Xa1=[0.193，0.367，0.170]TRa1=0.02

Xa2=[0.323，0.367，0.320]TRa2=0.02

根據(jù)本文所提出的改進(jìn)脊線逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法和空間超冗余機(jī)械臂擬合算法進(jìn)行超冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解并通過matlab仿真，結(jié)果如圖11所示，圖中實(shí)線曲線表示空間脊線，虛線折線表示機(jī)械臂中心線的擬合，每個(gè)折線段表示機(jī)械臂連桿的位置，圓圈表示超冗余機(jī)械臂關(guān)節(jié)。

圖11 基于改進(jìn)脊線法逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真結(jié)果

根據(jù)本文所提出的機(jī)械臂關(guān)節(jié)自由度求解算法，通過matlab求解各個(gè)關(guān)節(jié)的自由度變量，運(yùn)用matlab機(jī)器人工具箱函數(shù)robot.plot()繪制超冗余機(jī)械臂空間構(gòu)型，如圖12所示。

圖12 新型超冗余機(jī)械臂空間構(gòu)型圖

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一款基于新型球形關(guān)節(jié)串聯(lián)而成的超冗余機(jī)械臂，提出了一種基于改進(jìn)脊線法的超冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法，并且結(jié)合D-H坐標(biāo)系法，完成了各個(gè)關(guān)節(jié)變量的求解及仿真，為進(jìn)一步對(duì)超冗余機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。