基于赫茲公式的活性粉末混凝土間隙球鉸靜摩擦因數(shù)計(jì)算研究

曹錦承 劉來(lái)君 張杰 丁昊

長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，西安710043

轉(zhuǎn)體施工法在跨越溝壑、峽谷等復(fù)雜地形條件下具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)［1］。球鉸作為轉(zhuǎn)體施工法中轉(zhuǎn)體裝置的重要組成部分，已成為當(dāng)今國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)之一。對(duì)球鉸的精細(xì)研究，能夠保證橋梁上部結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)體施工質(zhì)量，提高施工的安全性［2］。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)轉(zhuǎn)體球鉸的研究主要集中在轉(zhuǎn)體施工中的工作性能和應(yīng)力分析方面。工作性能方面，文獻(xiàn)［3］通過(guò)分析轉(zhuǎn)體施工過(guò)程中不同環(huán)境因素，考慮其對(duì)轉(zhuǎn)體裝置球鉸工作性能的影響。文獻(xiàn)［4］針對(duì)轉(zhuǎn)體球鉸的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并結(jié)合抗震要求，提出了一種新的連續(xù)梁轉(zhuǎn)體系統(tǒng)。應(yīng)力分析方面，學(xué)者大多研究普通球鉸的力學(xué)性能。文獻(xiàn)［5］通過(guò)考慮球鉸的結(jié)構(gòu)分析模型，推導(dǎo)了上球鉸中心孔壁與銷(xiāo)軸間距和上下球鉸間摩擦板最小彈性壓縮量的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。文獻(xiàn)［6］對(duì)比基于不同假設(shè)的轉(zhuǎn)體施工中球鉸應(yīng)力計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，結(jié)合有限元分析提出計(jì)算方法的修正建議。文獻(xiàn)［7］針對(duì)常規(guī)大噸位球鉸提出了一種徑向應(yīng)力的計(jì)算方法。文獻(xiàn)［8］針對(duì)橋梁平轉(zhuǎn)過(guò)程，計(jì)算了球鉸復(fù)雜狀態(tài)下的主應(yīng)力并得到該類(lèi)橋梁所受正應(yīng)力的強(qiáng)度條件。文獻(xiàn)［9］對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)在偏載作用下的球鉸性能進(jìn)行分析，并驗(yàn)證了球鉸的安全性。

現(xiàn)有相關(guān)理論在計(jì)算球鉸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)認(rèn)為上下球鉸全面積接觸，這與實(shí)際情況不符。上下球鉸接觸面的接觸面積與表面靜摩擦因數(shù)是控制轉(zhuǎn)體成功的主要因素，若對(duì)接觸面上計(jì)算參數(shù)估算不準(zhǔn)確，可能會(huì)出現(xiàn)牽引力不夠，橋梁轉(zhuǎn)不動(dòng)的情況，也可能出現(xiàn)由于摩擦力不足，導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)傾覆。

本文基于赫茲公式和現(xiàn)有理論，提出修正球鉸實(shí)際接觸面積的球鉸靜摩擦因數(shù)計(jì)算方法，得到適用于間隙球鉸的靜摩擦因數(shù)計(jì)算公式，并通過(guò)一工程實(shí)例驗(yàn)證該公式的準(zhǔn)確性。

1 稱重試驗(yàn)及傳統(tǒng)計(jì)算方法

1.1 球鉸摩阻力矩測(cè)試原理

球鉸稱重試驗(yàn)時(shí)存在兩種情況，須采用不同的稱重計(jì)算原理。

1）當(dāng)球鉸的摩阻力距MZ小于橋梁結(jié)構(gòu)的不平衡力矩MG時(shí)，轉(zhuǎn)盤(pán)與承臺(tái)之間的臨時(shí)固結(jié)解除后，轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)順著不平衡力矩方向發(fā)生傾斜。假設(shè)下落端為主梁B端，則A端支反力P1為0，測(cè)量B端支反力P2；再頂升B端，使得橋梁結(jié)構(gòu)傾斜方向改變，且保證A端支反力為0（圖1）。記錄轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中千斤頂和百分表讀數(shù)，根據(jù)荷載-位移曲線判斷克服最大靜摩阻力矩時(shí)的力P3。此時(shí)轉(zhuǎn)體不平衡力矩和球鉸摩阻力矩分別為

圖1 球鉸摩阻力矩小于轉(zhuǎn)體不平衡力矩稱重原理

2）當(dāng)球鉸的摩阻力距MZ大于橋梁結(jié)構(gòu)的不平衡力矩MG時(shí)，結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生傾斜。分別在主梁A端，B端進(jìn)行頂升，使結(jié)構(gòu)在平面內(nèi)發(fā)生順時(shí)針、逆時(shí)針的微小轉(zhuǎn)動(dòng)，記錄轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中千斤頂和百分百讀數(shù)。根據(jù)荷載-位移曲線判斷克服最大靜摩阻力矩時(shí)的力P4和P5。此時(shí)轉(zhuǎn)體不平衡力矩和球鉸摩阻力矩分別為

圖2 球鉸摩阻力矩大于轉(zhuǎn)體不平衡力矩稱重原理

1.2 傳統(tǒng)靜摩擦因數(shù)計(jì)算方法

轉(zhuǎn)動(dòng)體球鉸靜摩擦因數(shù)傳統(tǒng)方法［10］認(rèn)為稱重試驗(yàn)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)體球鉸在沿梁軸線的豎平面內(nèi)發(fā)生微小角度的豎轉(zhuǎn)。摩阻力矩為摩擦面每個(gè)微面積上的摩擦力對(duì)過(guò)球鉸中心豎轉(zhuǎn)法線的力矩之和。將球鉸劃分為許多微圓環(huán)，微圓環(huán)與球鉸中線夾角為θ，球鉸接觸半徑為c，設(shè)每一環(huán)的寬度為ds（圖3）。圖中，R為球鉸的半徑；μ0為球鉸靜摩擦因數(shù)；σ為球鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量在接觸部分產(chǎn)生的壓力分量。由圖3的幾何關(guān)系可知：dMZ=RcosθdF，dF=μ0σdA，dA=2πcds，c=Rsinθ，ds=Rdθ。其中，F(xiàn)為施加在球體上的法向力，A為微圓環(huán)面積。

圖3 傳統(tǒng)方法轉(zhuǎn)動(dòng)體球鉸靜摩擦因數(shù)計(jì)算示意

根據(jù)圖3得到MZ為

式中：N為轉(zhuǎn)體質(zhì)量。

傳統(tǒng)理論認(rèn)為當(dāng)上球鉸與下球鉸半徑相等時(shí)，上下球鉸的接觸面積相等，此時(shí)接觸半徑與球鉸所劃分的微圓環(huán)半徑相等；若上下球鉸半徑不相等，式（5）則不再適用。實(shí)際工程中，上下球鉸具有不相等的情況，因而需要推導(dǎo)出一種適用于上下球鉸半徑不相等的靜摩擦因數(shù)計(jì)算方法，即上下球鉸自一開(kāi)始接觸就存在間隙，本文稱為間隙球鉸。

2 修正接觸面積的計(jì)算方法

赫茲公式［11］認(rèn)為當(dāng)兩球體接觸時(shí)，其接觸區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)圓面，接觸半徑c為

導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率刻畫(huà)了函數(shù)變化趨勢(shì)(上升或下降的陡峭程度)，而函數(shù)的單調(diào)性也是對(duì)函數(shù)變化趨勢(shì)的一種刻畫(huà)，那么導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么聯(lián)系呢？(教師通過(guò)用超級(jí)畫(huà)板演示曲線上點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，提醒學(xué)生注意觀察切線的斜率符號(hào)的變化.)

式中：μ1、μ2分別為兩球體的泊松比；ρ1、ρ2分別為兩球體的曲率半徑；E1、E2分別為兩球體的彈性模量。

接觸面積變化時(shí)，豎向壓力也發(fā)生變化。修正面積法轉(zhuǎn)體間隙球鉸靜摩擦因數(shù)計(jì)算示意如圖4?？梢?jiàn)，當(dāng)上下球鉸半徑不相同時(shí)球鉸邊會(huì)產(chǎn)生接觸間隙，傳統(tǒng)計(jì)算公式已不再適用。

圖4 修正面積法轉(zhuǎn)體間隙球鉸靜摩擦因數(shù)計(jì)算示意

考慮接觸壓力與接觸區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)到接觸中心的距離成正比［12］，結(jié)合球體變形分析，確定接觸壓力分布函數(shù)為

式中：σ(ρ)為接觸區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的接觸壓力；σmax為接觸面上最大接觸壓力；ρ為接觸區(qū)域各圓環(huán)半徑；φ為豎直方向和每個(gè)圓環(huán)形成的夾角；ρsinφ為接觸區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)到接觸中心的距離。

考慮接觸壓力分布的對(duì)稱性，以ρ為半徑的同一圓環(huán)接觸區(qū)域內(nèi)，接觸壓力相等。因此，只需要知道圓環(huán)上的一點(diǎn)，即可確定環(huán)中其余部分的接觸壓力。根據(jù)幾何關(guān)系式（7）簡(jiǎn)化為

根據(jù)圖4的幾何關(guān)系，將簡(jiǎn)化公式的參數(shù)與球鉸中的幾何參數(shù)相對(duì)應(yīng)，可得

考慮間隙的存在，積分上限需要按照接觸半徑進(jìn)行修改，根據(jù)圖4幾何關(guān)系可知：

式中：R1、R2分別為上球鉸和下球鉸球體半徑，對(duì)于轉(zhuǎn)體施工橋梁球鉸，R1取正值，R2取負(fù)值，k1、k2均為與材料泊松比以及彈性模量有關(guān)的常數(shù)。

式中：E為接觸材料的彈性模量，即上下球鉸的材料彈性模量。

實(shí)際工程中，球鉸材料等參數(shù)可確定，由式（6）求得接觸半徑，再代入式（11）得到靜摩擦因數(shù)為

由于接觸面積的改變，轉(zhuǎn)體牽引力的計(jì)算方法已不再適用。文獻(xiàn)［12］發(fā)現(xiàn)采用平面積分法計(jì)算時(shí)須假定撐腳與滑道、上下球鉸均為全面積接觸，忽略因滑片布置不當(dāng)引起的接觸空隙，但這類(lèi)算法不適用間隙球鉸。計(jì)算間隙球鉸牽引力時(shí)，本文認(rèn)為轉(zhuǎn)體過(guò)程中撐腳懸空，接觸區(qū)域?yàn)楹掌澒降慕佑|圓區(qū)域，實(shí)際接觸面可視為由無(wú)數(shù)部分微圓環(huán)積分而成，部分圓環(huán)可以簡(jiǎn)化為一小矩形微元（圖5），微元面為rdβdr，其所受壓力力臂為r。

圖5 平面積分微圓

積分推導(dǎo)出球鉸處摩擦力M1為

式中：L為牽引力力臂。

3 工程算例

依托國(guó)道108線禹門(mén)黃河橋西引橋轉(zhuǎn)體工程，14#，15#墩轉(zhuǎn)體質(zhì)量分別為11 020.2，8 485.8 t。轉(zhuǎn)體球鉸采用活性粉末混凝土（Reactive Powder Concrete，RPC）組合球鉸，見(jiàn)圖6。14#、15#墩球鉸實(shí)際承重分別為13 000，10 000 t。上下球鉸的接觸表面為鋼表面。

圖6 工程用RPC球鉸（單位：mm）

由于球鉸上下盤(pán)為鋼混復(fù)合材料，考慮RPC與鋼材的彈性模量不同，參考文獻(xiàn)［13］中Voigt和Reuss等應(yīng)變模型推導(dǎo)的兩相復(fù)合材料等效彈性模量，則

式中：E復(fù)為球鉸的復(fù)合彈性模量；β為兩種不同材料等應(yīng)變模型體積所占比例。

以15#墩RPC組合球鉸為例，球鉸采用C120級(jí)RPC材料，彈性模量為42 MPa，泊松比0.2；接觸面鋼材采用Q235鋼材，彈性模量為200 GPa，泊松比0.24；上球鉸半徑4.800 m，下球鉸半徑4.929 m，上球鉸平面直徑3.0 m，下球鉸平面直徑2.4 m，千斤頂距離球鉸中心L=L1=L2=4.35 m。

根據(jù)球鉸稱重試驗(yàn)（圖7）可知，該試驗(yàn)屬于1.1節(jié)中第二種情況，測(cè)得P4=969.51 kN，P5=2 130.03 kN。將其代入式（3）和式（4）可得轉(zhuǎn)體不平衡力矩MG=2 524.13 kN·m，RPC組合球鉸摩阻力矩MZ=6 741.50 kN·m。

圖7 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

參考赫茲公式，利用式（4）計(jì)算得到15#墩的接觸半徑為4.6 m。對(duì)比傳統(tǒng)計(jì)算法與修正面積法計(jì)算的靜摩擦因數(shù)并反算牽引力，再將其與實(shí)測(cè)牽引力對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 傳統(tǒng)方法與修正方法計(jì)算值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比

由表1可知，對(duì)于RPC間隙球鉸，傳統(tǒng)計(jì)算法牽引力計(jì)算值遠(yuǎn)大于實(shí)測(cè)值，誤差達(dá)到了43.5%，修正面積法牽引力計(jì)算值略大于實(shí)測(cè)值，誤差為9.4%，控制誤差在10%以內(nèi)，且不失一般性，該方法可以運(yùn)用到實(shí)際工程間隙球鉸中。

4 結(jié)論

1）傳統(tǒng)的計(jì)算方法認(rèn)為上下球鉸為緊密接觸狀態(tài)，球鉸之間不存在接觸間隙，只適用于一般球鉸，針對(duì)于間隙球鉸，牽引力計(jì)算值與實(shí)測(cè)值存在較大誤差，已不再適用。

2）基于赫茲公式對(duì)有效接觸面積修正的方法，可計(jì)算間隙球鉸的靜摩擦因數(shù)，與實(shí)際工程較為吻合，廣泛適用于上下半徑不同的間隙球鉸中。