功能梯度懸臂輸流微管的自由振動(dòng)分析

馬 濤, 穆安樂

(1.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 陜西 西安 710048；2.河南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 河南 鄭州 451191)

隨著材料科學(xué)和微電子技術(shù)的交叉融合發(fā)展，輸流微管正逐漸成為微/納機(jī)電系統(tǒng)的核心部件，其在生物醫(yī)藥領(lǐng)域、微納米機(jī)電領(lǐng)域等得到了廣泛應(yīng)用[1]。例如，為了避免系統(tǒng)共振，需要知道微管的自振頻率，為了防止微管道出現(xiàn)屈曲及顫振失穩(wěn)，需要掌握系統(tǒng)的臨界速度等[2,3]。輸流微管的結(jié)構(gòu)尺寸一般在微米甚至納米級(jí)，實(shí)驗(yàn)已證明在微尺度下，材料尺度參數(shù)對(duì)微結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能有顯著影響[4]。近年來，輸流微管的動(dòng)力學(xué)特性研究已經(jīng)取得了豐碩的成果。梁峰等[5,6]以修正偶應(yīng)力理論為基礎(chǔ)，建立了熱彈性耦合輸流微管的運(yùn)動(dòng)方程，分析了環(huán)境溫度、微尺度參數(shù)對(duì)系統(tǒng)固有頻率和臨界速度的影響。李明等[7,8]以非局部彈性理論為基礎(chǔ)，應(yīng)用Hamilton原理建立了單層碳納米管輸流管系統(tǒng)的振動(dòng)方程，研究流體速度、溫度和材料微尺度參數(shù)對(duì)碳納米管系統(tǒng)固有頻率和顫振失穩(wěn)臨界速度的影響。Bahaadini等[9]采用改進(jìn)的非局部彈性理論對(duì)懸臂式碳納米管的顫振和失穩(wěn)進(jìn)行了分析。Dehrouyeh-Semnani等[10]建立了輸流微管的非線性動(dòng)力學(xué)方程，研究了諧波載荷作用下輸流微管的共振特性。Guo等[11]將加工缺陷耦合到懸臂輸流微管的三維非線性動(dòng)力學(xué)方程中，分析了周期運(yùn)動(dòng)、加工缺陷和微尺度參數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性的影響。李倩等[12]通過對(duì)非線性輸流微管系統(tǒng)的共振響應(yīng)分析，研究了質(zhì)量比、流速、附加軸向力對(duì)共振幅值的影響。Ghayesh等[13]研究了非線性彈性介質(zhì)中輸流微管的粘彈性耦合動(dòng)力學(xué)特性。以上研究均表明，在微納米尺度下，材料的微尺度參數(shù)對(duì)輸流微管的特性有顯著影響，但是這些輸流微管的材料都是基于各向同性的單一均質(zhì)材料。隨著輸流微管的應(yīng)用環(huán)境越來越復(fù)雜多變，如在超高溫、超低溫、高磁等物理場(chǎng)作用下，單一均質(zhì)的輸流微管已經(jīng)不能滿足使用要求。

從以上數(shù)據(jù)來看，政府包辦的社會(huì)福利機(jī)構(gòu)在縣一級(jí)寥寥無幾，床位數(shù)與孤兒實(shí)際數(shù)量之比約為1:9，遠(yuǎn)遠(yuǎn)無法滿足孤兒的需求，全國(guó)80%以上的孤兒散落于民間，由孤兒親屬、民間機(jī)構(gòu)等收養(yǎng)。在公辦福利機(jī)構(gòu)不足、服務(wù)設(shè)施缺乏的情況下，民間孤兒救助組織的介入，可有效緩解政府壓力，彌補(bǔ)政府在孤兒救助方面的缺位。

為了提高復(fù)雜環(huán)境下輸流微管的穩(wěn)定性，一種新型功能梯度材料被提出，并獲得了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。Zhou等[14]研究了管內(nèi)流體速度和軸向激勵(lì)對(duì)功能梯度懸臂輸流管非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響。Tang等[15]進(jìn)行了功能梯度輸流管的后屈曲行為分析。Liang等[16]研究了多跨功能梯度輸流管的動(dòng)力學(xué)特性。Baghlani等[17]進(jìn)行了熱環(huán)境下彈性地基包圍的功能梯度材料輸流管的自由振動(dòng)分析。以上研究表明，功能梯度材料能夠顯著提高輸流管的穩(wěn)定性和臨界速度，尤其在環(huán)境多變的復(fù)雜載荷作用下，功能梯度輸流管的性能顯著優(yōu)于各項(xiàng)同性均質(zhì)輸流管。但是這些研究是在宏觀大尺度下進(jìn)行的，對(duì)于微納尺度下輸流微管的研究，碳納米管是最先獲得學(xué)者們關(guān)注的。Deng等[18]運(yùn)用雜交法研究了微尺度效應(yīng)對(duì)多跨粘彈性功能梯度輸流納米管穩(wěn)定性的影響。Tong等[19,20]研究了功能梯度碳納米管在熱磁耦合作用下的穩(wěn)定性。Liu等[21]建立了具有初始缺陷的功能梯度納米管的非線性動(dòng)力學(xué)方程，基于非局部應(yīng)變梯度理論，研究了初始缺陷、微尺度效應(yīng)和功能梯度材料冪律指數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。Wang等[22]研究了表面應(yīng)力對(duì)功能梯度納米輸流微管的非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響。這些研究表明，在納米尺度下，功能梯度材料的冪律指數(shù)、表面應(yīng)力分布、材料尺度參數(shù)及流體與管壁的作用機(jī)理等，都對(duì)功能梯度納米輸流微管系統(tǒng)的臨界速度、固有頻率有顯著影響。

以上研究都是基于功能梯度碳納米管展開的，而針對(duì)結(jié)構(gòu)尺寸在微米量級(jí)的功能梯度輸流微管的研究目前鮮見報(bào)道，且由于微納米的尺度量級(jí)相差在103，使得微納米輸流管展現(xiàn)出完全不同的力學(xué)性能。因此，本文針對(duì)輸流微管在微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)應(yīng)用中的振動(dòng)問題，基于高階連續(xù)介質(zhì)理論中的修正偶應(yīng)力理論，運(yùn)用Hamilton原理，首次建立功能梯度懸臂輸流微管的動(dòng)力學(xué)方程，研究功能梯度懸臂輸流微管的自由振動(dòng)特性，探討通過功能梯度材料來提高微米輸流管系統(tǒng)穩(wěn)定性的可能性。主要研究管內(nèi)流體速度、功能梯度材料的冪律指數(shù)、微尺度參數(shù)和質(zhì)量比對(duì)輸流微管系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而為功能梯度微米管在MEMS中的應(yīng)用提供理論支持。

1 功能梯度懸臂輸流微管的運(yùn)動(dòng)方程

功能梯度懸臂輸流微管的結(jié)構(gòu)如圖1 所示，管道內(nèi)徑為Ri，外徑為Ro，參考點(diǎn)半徑為r，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，假設(shè)流體是定常流，速度為U，管內(nèi)單位長(zhǎng)度流體的質(zhì)量為M。功能梯度材料的屬性按照冪律指數(shù)規(guī)律分布[23]，其有效材料性能可表示為：

E(r)=ViEi+VoEo

(1)

G(r)=ViGi+VoGo

(2)

ρ(r)=Viρi+Voρo

(3)

(4)

Vo=1-Vi

(5)

式中：下標(biāo)i表示管道內(nèi)層，下標(biāo)o表示管道外層；n為功能梯度材料的冪律指數(shù)；E、G、ρ分別為功能梯度管道的彈性模量、剪切模量和密度；V為組分材料的體積分?jǐn)?shù)。

聽說文學(xué)社曾經(jīng)愿意給她付印，稿子呈到中央宣傳部書報(bào)檢查委員會(huì)那里去，擱了半年，結(jié)果是不許可。人常常會(huì)事后才聰明，回想起來，這正是當(dāng)然的事；對(duì)于生的堅(jiān)強(qiáng)和死的掙扎，恐怕也確是大背“訓(xùn)政”之道的。今年五月，只為了《略談皇帝》這一篇文章，這一個(gè)氣焰萬丈的委員會(huì)就忽然煙消火滅，便是“以身作則”的實(shí)地大教訓(xùn)。

(6)

式中：l為材料微尺度參數(shù)；w為微管的橫向振動(dòng)位移。其中：

(7)

(8)

功能梯度懸臂輸流微管的動(dòng)能為：

(9)

式中：m*為功能梯度懸臂輸流微管的單位長(zhǎng)度質(zhì)量，其表達(dá)式為：

(10)

輸流微管內(nèi)流體的動(dòng)能為：

(11)

對(duì)于本文的懸臂輸流微管系統(tǒng)，采用Benjamin[25]在1961年提出的Hamilton原理，其表達(dá)式為：

(12)

其中，L=Tp+Tf-Up是系統(tǒng)的拉格朗日方程，rL、τL分別為微管道端部處的位置矢量和切向單位矢量。將式(6)、(9)和(11)代入式(12)，經(jīng)過變分計(jì)算，并忽略重力、阻尼力、流體壓力的影響，可得功能梯度懸臂輸流微管的線性運(yùn)動(dòng)方程：

(13)

則方程(18)化為：

④ 虞美人草(舊女性和現(xiàn)代女性)http:///pakuten.rakuten.co.jp/esuke,2008/2009/2009/

所謂小題，是指在教學(xué)過程中發(fā)生的具體問題，是語文教師在教學(xué)中迫切需要解決并通過努力可以解決的問題。語文教師需要在教學(xué)實(shí)踐中細(xì)致入微地考察疑難問題，不放過任何細(xì)枝末節(jié)。小題的“小”，是指從細(xì)微處著眼，從教學(xué)的小處著手，研究的范圍和切入點(diǎn)要小，但對(duì)這些“小題”卻必須高度重視，在研究過程中要較真，既要做真研究，也要做實(shí)文章，不能輕視和隨意，對(duì)這些“小”要另眼相看，相信研究的價(jià)值并激發(fā)創(chuàng)新能力。所謂大做，就是指要能以小見大，能夠以研究者的姿態(tài)出現(xiàn)在實(shí)踐舞臺(tái)上，把小題做大、做強(qiáng)，做出特色、做出水平來。

(14)

基于Euler-Bernoulli梁和修正偶應(yīng)力理論，功能梯度懸臂輸流微管的應(yīng)變能定義為[24]：