“微元法”求解物理習(xí)題

龍禮波

摘? ?要：微元法是解決物理問題的基本方法，它貫穿于高中階段的物理知識體系，滲透于一些物理概念、公式中，應(yīng)用于物理難題或高考壓軸題中?，F(xiàn)分別以“質(zhì)量元Δm”“電荷元Δq”“時間元Δt”“速度變化元Δv”四類典型例題逐一分析，旨在拓寬解決物理問題的方法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)物理的水平，提高物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：微元法;質(zhì)量元;電荷元;時間元;速度變化元

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）6-0026-2

微元法是一種“化整為零”的解題方法，可以分析復(fù)雜的研究對象或物理過程，解答用常規(guī)方法無法解決的物理難題。使用微元法處理問題時，需要將其分解為多個微小的“元對象”或是“元過程”，因為“微元”所遵循的規(guī)律是相同的，就可以通過重點分析其中一個“微元”，將所有“微元”進行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進而迅速解決問題。

1? ? 質(zhì)量元Δm

例1 在一輛加速啟動的汽車中，放置了一桶水，測量發(fā)現(xiàn)水面與車所行駛的水平路面夾角為θ，如圖1所示，求汽車啟動的加速度？

解析 研究整桶水無法求解，用“微元法”可以將問題簡化。

在水面上選取水的質(zhì)量元Δm，對Δm進行受力分析。

由力的合成圖得：

由牛頓第二定律得：

所以a=gtanθ，方向與汽車啟動方向一致。

2? ? 電荷元Δq

例2 如圖2所示，電量為Q的正電荷均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上，求在圓環(huán)軸上距圓心O點為x處的P點的電場強度。

解析 帶電圓環(huán)不能看成點電荷，因此不能直接用E=求P點的場強，可用微元法求解。

在環(huán)上取極小電量Δq，由點電荷的場強公式可得：

電荷元在P點的場強：ΔE=k

將ΔE分解：ΔEx=ΔEcosα

根據(jù)對稱性，P點的場強：

方向沿x軸的正方向。

討論：①當(dāng)x=0即圓心處E=0;②當(dāng)x→∞，E= ，這時帶電圓環(huán)可視為點電荷。

3? ? 時間元Δt

例3 如圖3所示水力采煤時，用水槍在高壓下噴出強力的水柱沖擊煤層。設(shè)水槍噴口橫截面積S=5 cm2，水速v=50 m/s，假設(shè)水柱垂直射在煤層的表面上，沖擊煤層后水的速度變?yōu)榱?。求：水柱對煤層的平均沖力。（ρ=1.0×103 kg/m3）

解析 選取在極短時間Δt內(nèi)的一小段水柱為研究對象，質(zhì)量為Δm=ρ SvΔt。這段水柱是在煤層的反作用力下發(fā)生動量的變化。

由動量定理得：FΔt=Δmv-0

由牛頓第三定律可得，水對煤層的平均作用力為1.25×103 N。

拓展? 如圖4所示，一艘帆船在靜水中由于風(fēng)力的推動做勻速直線運動，帆面的面積為S，風(fēng)速為v1，船速為v2（v2

解析 風(fēng)吹帆面是一個連續(xù)的過程，無法研究全過程，只能用微元法求解。

由于船做勻速運動，選帆面為參考系。選取吹到帆面的空氣微元為研究對象。經(jīng)時間Δt后，微元速度由（v1-v2）變?yōu)榱?，空氣微元的質(zhì)量Δm=ρS（v1-v2）Δt，空氣微元在帆面的反作用力下發(fā)生動量的變化。

由動量定理得：FΔt=Δm（v1-v2）-0

由牛頓第三定律可得，帆面受到的平均作用力為ρS（v1-v2）2

4? ? 速度變化元Δv

例4 如圖5所示，一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上有一質(zhì)量為m的金屬桿，導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌的一端連接阻值為R的電阻（其他電阻不計）。磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場垂直導(dǎo)軌平面?，F(xiàn)給金屬桿一個水平向右的初速度v0，設(shè)導(dǎo)軌足夠長，試求金屬桿在導(dǎo)軌上運動的最大距離？

解析? 桿在安培力作用下，做變減速運動直至停止。由于安培力是變力，對全過程無法用牛頓定律求解。設(shè)桿在某時刻速度為vi，取一極短時間Δt，速度變化了Δvi，發(fā)生了一小段位移Δxi，可認為安培力Fi是恒力：

桿在安培力的作用下發(fā)生動量的變化：

然后對微元求和，∑ viΔt=∑mΔvi

其中，∑viΔt=x（總位移），∑Δvi=v0

解得：x=

如圖6所示，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場垂直于光滑水平面，虛線為磁場的邊界，質(zhì)量為m、電阻為R、邊長為L的正方形金屬框，在光滑絕緣的桌面上以速度v0垂直邊界線進入磁場，求線框進入磁場后的速度？

解析 線框在安培力作用下，變減速通過邊界線，當(dāng)線框完全進入磁場后以速度v勻速運動。設(shè)線框某時刻速度為vi，取時間元Δt，速度變化元Δvi，對微元：viΔt=mΔvi

對微元求和：∑viΔt=∑mΔvi

其中∑viΔt=L，∑Δvi=v0-v

解得：v=v0-

學(xué)生掌握了微元法不僅有助于對物理概念、規(guī)律的理解，也拓寬了解決物理問題的新途徑，進而提高學(xué)生的物理綜合素質(zhì)。

（欄目編輯? ? 鄧? ?磊）