高中數(shù)學(xué)抽象的特征、評價與培養(yǎng)

摘? ?要

數(shù)學(xué)抽象具有符號化、模型化、量化特征，它有助于培養(yǎng)學(xué)生能夠從一般意義和方法上進(jìn)行思考，發(fā)展理性思維，提升抽象概括能力。教師可以從概念教學(xué)、問題解決、總結(jié)反思等教學(xué)環(huán)節(jié)來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科關(guān)鍵能力，通過學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中的表現(xiàn)來進(jìn)行評價，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人價值。

關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)抽象? 學(xué)科價值? 評價標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)[1]。它是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征之一，貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的整個過程。數(shù)學(xué)抽象主要是從數(shù)量與數(shù)量、圖形與圖形的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言表征出從具體的事物背景中抽象出的一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)。高中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)需要一個漸進(jìn)的過程：教師首先要對數(shù)學(xué)抽象的特征、表現(xiàn)形式、育人價值等有比較清晰準(zhǔn)確的理解和認(rèn)識;其次要明確在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力是落實(shí)抽象素養(yǎng)的根本途徑;最后要將數(shù)學(xué)抽象的各種表現(xiàn)形成課程資源，通過科學(xué)合理的個性化的教學(xué)設(shè)計(jì)在教學(xué)活動中達(dá)成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科價值

數(shù)學(xué)對象是思維的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)抽象又是數(shù)學(xué)思維形成的基礎(chǔ)和重要途徑。數(shù)學(xué)抽象促進(jìn)了數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)關(guān)系的建構(gòu)，推動了數(shù)學(xué)學(xué)科的產(chǎn)生和發(fā)展。數(shù)學(xué)概念是經(jīng)歷若干次抽象，隱去其現(xiàn)實(shí)意義形成的一種思維的產(chǎn)物;數(shù)學(xué)法則、公式是通過對一類對象的共性進(jìn)行概括抽象而成;數(shù)學(xué)建模則是對對象從量的方面進(jìn)行抽象概括所得。

在數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程中，數(shù)學(xué)抽象讓知識和思維方式具有更廣泛的適用性，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的進(jìn)一步發(fā)展;有助于學(xué)生思維方式的進(jìn)一步改善和提升，提高其思維品質(zhì)，使其能夠更好地透過現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)展自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)生在不同的數(shù)學(xué)情境中進(jìn)行抽象，得到數(shù)學(xué)概念、規(guī)則和命題、思想方法和知識結(jié)構(gòu)體系，厘清數(shù)學(xué)對象的來龍去脈及形成方式，積累從具體到抽象的活動體驗(yàn)，理解數(shù)學(xué)對象的含義并把握其本質(zhì)屬性，在更高的層面上理解數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)，形成自覺地從一般化角度思考問題的習(xí)慣，不斷提升抽象概括能力，進(jìn)一步發(fā)展理性思維。只有學(xué)生具備了較好的思維能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，才能在獲取知識的同時發(fā)展創(chuàng)新能力和高階思維能力，才能夠具備良好的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，完善學(xué)科關(guān)鍵能力。

二、數(shù)學(xué)抽象的基本特征

1.符號化特征

數(shù)學(xué)抽象研究事物或現(xiàn)象的量的關(guān)系和空間形式，其結(jié)果就是用數(shù)學(xué)符號作為數(shù)學(xué)思維活動的載體，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想交流與傳播，使得事物或現(xiàn)象關(guān)系表述變得統(tǒng)一、簡潔、有序。例如，研究一個對象隨著另一個對象的變化而變化的變化規(guī)律，就抽象為函數(shù)的單調(diào)性，具體的符號化語言就描述為“設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，區(qū)間D？哿I：如果？坌x1，x2∈D，當(dāng)x1f（x2） ）那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D單調(diào)遞增（減）”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象的符號化特征可以培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力。學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)環(huán)境中逐步感受和理解抽象的符號化特征，感受數(shù)學(xué)抽象以簡馭繁高度概括的能力，并能在問題解決過程中合理地使用數(shù)學(xué)符號，合乎邏輯地進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。

2.模型化特征

數(shù)學(xué)研究對象是現(xiàn)實(shí)世界中的事物，它是多變而又是多樣的。只有把研究對象通過數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行模型化，才能通過一般模型化進(jìn)行問題研究。如自然界中的日出日落，寒來暑往等周而復(fù)始現(xiàn)象，我們可以把這種現(xiàn)象理想化為周而復(fù)始的變化，進(jìn)而模型化為單位圓圓周上的點(diǎn)的圓周運(yùn)動模型來進(jìn)行問題研究。這是對研究對象通過理想化進(jìn)行簡化，在事物的直接模型上抽象出一般模型，在一般模型的研究基礎(chǔ)之上，建立數(shù)學(xué)抽象關(guān)系。在教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象的模型化特征能夠提高學(xué)生思維水平，促進(jìn)學(xué)生智慧的發(fā)展。

3.量化特征

數(shù)學(xué)抽象是從數(shù)量關(guān)系上揭示客觀事物的本質(zhì)及規(guī)律的一種研究方法，是逐層抽象不斷發(fā)展的。如函數(shù)概念的抽象，就經(jīng)歷了從客觀世界中的事物對應(yīng)關(guān)系量化為數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系，再從初中變量對應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)變到高中的非空數(shù)集上的實(shí)數(shù)對應(yīng)關(guān)系的過程。具體事物量化為變量是量化的結(jié)果。變量抽象為實(shí)數(shù)，變量說過渡到實(shí)數(shù)對應(yīng)說，是函數(shù)概念分層抽象的結(jié)果。數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的量化特征能夠促進(jìn)學(xué)生高階思維的產(chǎn)生，促進(jìn)創(chuàng)新思維的發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)抽象的評價標(biāo)準(zhǔn)

喻平教授參照布盧姆學(xué)習(xí)評價模型、PISA學(xué)習(xí)評價模型和SOLO學(xué)習(xí)評價模型，提出將數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價劃為知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三種形態(tài)的理論構(gòu)想[2]?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）給出數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的三級水平（見表1）。

按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》給出的三級水平標(biāo)準(zhǔn)和喻平教授的構(gòu)想，在實(shí)際操作層面，我們可以把數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的評價簡化為表2的三級形態(tài)。這三級形態(tài)是呈金字塔的進(jìn)階形態(tài)，基層底部是數(shù)學(xué)抽象對基礎(chǔ)知識的理解，中間是通過數(shù)學(xué)抽象形成知識的遷移，頂層設(shè)計(jì)是通過數(shù)學(xué)抽象達(dá)到知識創(chuàng)新的目的，如圖1。

四、數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)策略

1.重塑概念形成過程

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。概念的形成過程是經(jīng)歷豐富的感性認(rèn)識到深刻的理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)變，需要經(jīng)過多層次的分析、比較、抽象和概括，因此，數(shù)學(xué)概念的形成過程是最典型的數(shù)學(xué)抽象的過程[3]。在教學(xué)中，教師利用數(shù)學(xué)典型概念，進(jìn)行個性化設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一次完整的數(shù)學(xué)概念的抽象過程：辨別（刺激模式）→分化（各種屬性）→類化（共同屬性）→抽象（本質(zhì)屬性）→檢驗(yàn)（確認(rèn)）概括（形成概念）→形式化（符號表達(dá)）[4]，形成數(shù)學(xué)抽象的基本路徑，在具體概念的形成中學(xué)會數(shù)學(xué)抽象。從辨別到概括是第一次抽象，用自然語言對概念進(jìn)行直觀描述;從概括到形式化是第二次抽象，用數(shù)學(xué)符號對概念進(jìn)行嚴(yán)格表征。

例如導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，首先是對一個實(shí)例進(jìn)行屬性分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)高臺跳水運(yùn)動員的平均速度的變化特點(diǎn)：若時間間隔越來越小，則在某一時刻的平均速度就會越來越趨近于某個常數(shù)，即運(yùn)動員在這一時刻的瞬時速度，并從物理角度給出符號表示。然后再對拋物線割線逼近切線問題進(jìn)行屬性分析，探討切線斜率的意義，并從數(shù)學(xué)的角度給出符號表示。在上述過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)兩類不同背景的問題形式表達(dá)的一致性，完成第一次抽象。去掉瞬時速度的物理背景和曲線切線斜率的幾何背景，抽象出瞬時變化率的本質(zhì)屬性，得到導(dǎo)數(shù)的概念并用符號表示，實(shí)現(xiàn)第二次抽象。

2.構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)問題鏈

概括是把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來進(jìn)行考察的思維方式，以抽象為基礎(chǔ)，是抽象的發(fā)展[5]。數(shù)學(xué)抽象性在逐級抽象、逐次提高的過程中，總是伴隨著概括。

例如在推導(dǎo)兩角差的余弦公式的教學(xué)中，通過兩個誘導(dǎo)公式：

引導(dǎo)學(xué)生探究特殊角“”和“”的去向，猜想得到：

通過對cos（）與cos（）的結(jié)構(gòu)進(jìn)行考察聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生歸納和概括出它們應(yīng)該有相同的展開形式這一共同特征，這是對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的一次概括抽象。學(xué)生進(jìn)一步感受，一個有余弦之積，一個有正弦之積，又感覺應(yīng)該有相同的形式，那么這個相同的形式就應(yīng)該是余弦之積、正弦之積都有。得到：cos（？仔-？琢）=cos？仔cos？琢+sin？仔sin？琢，cos（）=cos cos+sin sin，這是從③④兩式的考察中尋找到的共同特征，是在①②兩式抽象基礎(chǔ)上的概括，是抽象的發(fā)展，揭示出①②兩式的本質(zhì)特征。

我們還可以在學(xué)生學(xué)習(xí)的不同階段，依據(jù)不同內(nèi)容形式來培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力，不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。例如在章節(jié)復(fù)習(xí)課中，通過引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)知識和方法，培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的提煉和概括能力，而解題方法的遷移往往也是一種數(shù)學(xué)抽象。在解題教學(xué)中，一方面，通過一題多解、一題多變，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角認(rèn)識問題，同一個問題抽象為不同的數(shù)學(xué)模型;看似不同的問題，抽象出同一個數(shù)學(xué)模型，不斷強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)，提升解決問題的能力。

3.酶化數(shù)學(xué)思想

學(xué)生能夠領(lǐng)悟蘊(yùn)含在知識中的數(shù)學(xué)方法，形成理解和分析問題的學(xué)科思維能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的最高表現(xiàn)[6]。一方面，通過情境或問題設(shè)置，讓學(xué)生在自主探究的思維活動中聯(lián)想和應(yīng)用已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)抽象能力。通過數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，從起點(diǎn)上發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。例如在兩角差的余弦公式的證明方法的思考過程中，引導(dǎo)學(xué)生回顧cos（）=sin？琢的證明后，對“單位圓法”的抽象概括是將方法模式化的一種抽象表現(xiàn)。另一方面，教師要幫助學(xué)生積累形成數(shù)學(xué)思維能力的方法與思想，如聯(lián)想與概括、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、劃歸與轉(zhuǎn)化等等。例如對于函數(shù)奇偶性的學(xué)習(xí)，完全可以引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的方法展開：從圖像特征到兩點(diǎn)刻畫再到函數(shù)值關(guān)系的抽象;橢圓幾何性質(zhì)的探究可以從圓“均勻壓縮”為橢圓抽象展開。學(xué)生既可以體會從已有知識到新知識的抽象過程，也可以借助抽象完善對知識體系與結(jié)構(gòu)的認(rèn)識與理解。借助知識特征與相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法與思想，可以不斷提升數(shù)學(xué)抽象的能力和水平，逐步加深對知識本質(zhì)的認(rèn)識和理解。

愛因斯坦曾經(jīng)說過，教育無非就是將所有學(xué)過的東西都遺忘后所留下來的東西。對數(shù)學(xué)教育來說，學(xué)生遺忘的是那些具體的數(shù)學(xué)知識，而留下來的就是他已經(jīng)具有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是一種內(nèi)在的思維品質(zhì)與能力，只有轉(zhuǎn)化為外在的學(xué)習(xí)行為時我們才能觀察到學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成和發(fā)展情況。只有將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)同具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動聯(lián)系在一起，我們才可以根據(jù)學(xué)生在解決問題中的表現(xiàn)，來有效地評價學(xué)生的素養(yǎng)水平。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)也絕非一朝一夕之功，在教學(xué)中只有持之以恒地創(chuàng)設(shè)有利于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的活動，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)才會持續(xù)穩(wěn)定地發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯? 郭振玲】