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    與廣義薛定諤算子相關(guān)的利茲變換及其交換子的Lp緊性

    2021-08-26 07:34:14丁姍姍
    關(guān)鍵詞:交換子緊性利茲

    丁姍姍

    (中國(guó)人民解放軍陸軍特種作戰(zhàn)學(xué)院,510500,廣東省廣州市)

    0 引 言

    在泛函分析理論中,緊算子是一類重要的分支.令L是從巴拿赫空間X映射到另一個(gè)巴拿赫空間Y的線性算子,如果X中任意一個(gè)有界子集在L下的像都是Y中的相對(duì)緊子集,則L是緊算子.關(guān)于緊算子的一個(gè)經(jīng)典例子是索伯列夫嵌入定理.通過這樣的嵌入,可以將橢圓有界性問題轉(zhuǎn)化為Fredholm積分方程.關(guān)于緊算子的更多研究,可以參考文獻(xiàn)[1-3].

    設(shè)T是一個(gè)卷積奇異積分算子.1978年,Uchiyama在文獻(xiàn)[4]中給出了交換子[b,T]的有界性和緊性,并證明了對(duì)于1

    根據(jù)文獻(xiàn)[7]和[8],在本文中,始終假設(shè)μ滿足以下條件:存在正常數(shù)C0、C1和δ使得對(duì)于0

    (1)

    μ(B(x,2r))≤C1{μ(B(x,r))+rn-2},

    (2)

    其中B(x,r)表示以x為圓心,以r為半徑的開球.由文獻(xiàn)[8]知,(1)式等價(jià)于

    實(shí)際上,(1)式可以認(rèn)為是尺度不變的Kato條件,(2)式意味著測(cè)度μ可以使球加倍,并滿足μ(B(x,r))≥Crn-2.申在文獻(xiàn)[7,8]中指出:如果dμ=V(x)dx,并且V(x)是非負(fù)位勢(shì),滿足

    即V(x)屬于逆赫爾德類,則測(cè)度μ滿足(1),(2).

    其中C1是(2)中的常數(shù).

    其中γ:[0,1]→n是絕對(duì)連續(xù)的,并且滿足γ(0)=x,γ(1)=y.

    1 相關(guān)性質(zhì)及引理

    2n+1維的海森堡群n是一個(gè)具有基本流行2n×的冪零李群.群結(jié)構(gòu)為

    所有非平凡交換關(guān)系形式[Xj,Xn+j]=-4X2n+1,j=1,2,…n.

    次調(diào)和算子Δ和梯度?分別定義為

    |g|=(|x|4+|t|2)1/4,g=(x,t)∈n.

    令d(g,h)=|g-1h|,則以g為圓心,r為半徑的球定義為

    B(g,r)={h∈n,|g-1h|

    性質(zhì)1 假設(shè)μ滿足(1)和(2),則

    (a)對(duì)于任意x∈n,有0

    (b)如果r=m(x,μ)-1,則rn-2≤μ(B(x,r))≤C1rn-2;

    引理1 設(shè)μ滿足(1)和(2),δ∈(0,1),則當(dāng)s>2-δ,存在常數(shù)C,使得

    引理2 (Frechet-Kolmogorov) 對(duì)于1≤p<∞,Lp(n)的子集G是強(qiáng)預(yù)緊的當(dāng)且僅當(dāng):

    引理3 設(shè)μ是n,n≥3上的非負(fù)拉東測(cè)度且滿足(1),(2),δ∈(0,1),則

    本文將在第2、3節(jié)中分別證明與廣義薛定諤算子相關(guān)的利茲變換及其對(duì)偶變換[b,T]在n和n上的緊性. 為了簡(jiǎn)化敘述,將利用ab表示a≤Cb.

    定理1 設(shè)μ是n,n≥3上的非負(fù)拉東測(cè)度且滿足(1)和(2),δ∈(0,1),m>1,b∈VMO(n).

    由引理2知,要證[b,T]的緊性,只需證明[b,T]滿足下述3個(gè)條件:

    定理1的證明先證明第2個(gè)結(jié)論. 根據(jù)對(duì)偶性可以同樣證明出第1個(gè)結(jié)論.

    Ⅰ. 由引理1知若f∈Lp(n),p>2-δ,則n). 當(dāng)2-δ

    對(duì)于上式的第一部分,如果令f=f1+f2,其中f1=fχ2B,則

    Ⅲ. 對(duì)于任意x,z∈n,a>2k0,

    對(duì)于任意整數(shù)k≥0,記bk=B(x,2ka|t|),Ck=B(x+t,2k(a+1)|t|).

    再估計(jì)I3(x).對(duì)于任意滿足|z-x|

    根據(jù)引理3,由赫爾德不等式有

    最后估計(jì)I4(x).因?yàn)閍|t|<(a+1)|t|

    對(duì)Ii(x),(i=1,2,3,4)的估計(jì)意味著對(duì)任意ε>0,存在正常數(shù)a0和C,使得若(a0+1)|t|

    假設(shè)p≥1,R在Lp(n)上有界,K(g,h)為R的核函數(shù).令H(g,h)表示(n×n){g=h}上的非負(fù)局部可積函數(shù),如果存在δ>0和整數(shù)k0>0,使得對(duì)于有

    則稱H(g,h)是核函數(shù)K(g,h)的控制函數(shù).

    1)H1(m):存在K(g,h)的控制函數(shù)H(g,h)使得

    2)H2(m):存在N≥1使得對(duì)于任意v,R>N,g∈n且|g|>vR,有

    3)H3(m):存在r0>0使得對(duì)于任意0

    實(shí)際上,H1(m)表示有界性條件,H2(m)表示局部Lp條件,H3(m)表示一致收斂條件.如果R的核函數(shù)滿足上述3個(gè)條件,則R是緊的.因此上述條件又稱為緊性條件.

    引理4[6]定理3.8假設(shè)μ滿足(1)和(2),δ∈(0,1), 當(dāng)2-δ

    定理2 設(shè)μ是n,n≥3上的非負(fù)拉東測(cè)度且滿足(1)和(2),δ∈(0,1).如果K(g,h)滿足Hi(m),i=1,2,3,則與廣義薛定諤算子相關(guān)的利茲變換R在Lp(n)上是緊的.

    證明由與廣義薛定諤算子相關(guān)的利茲變換的有界性及引理4知,要證明R在Lp(n)上的緊性,只需證K(g,h)滿足定義2中的緊性條件.

    首先,證明K(g,h)滿足H1(m).對(duì)于K(g,h),存在控制函數(shù)

    選擇N0>log2C1+1,固定N=N0,則對(duì)于任意r>0,任意整數(shù)k,當(dāng)|gh-1|<2k+1r,|uh-1|<|hg-1|時(shí),有|gu-1|<2k+3r.根據(jù)Minkowski不等式和性質(zhì)2有

    其次,證明K(g,h)滿足H2(m).對(duì)于任意v,R>2,g,h∈n,|g|>vR,|h|

    根據(jù)Minkowski不等式和性質(zhì)2有

    最后,相似地,對(duì)于任意r>0有

    所以K(x,y)滿足H3(m).

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