一類半線性拋物方程解的微分Harnack不等式*

孔萃嫻,吳 慧

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

本文研究半線性拋物方程的 Cauchy 問(wèn)題

(1)

其中q>1,ω0(x)≥0,h(t) 及其導(dǎo)數(shù)h′(t) 都是非負(fù)的.

文獻(xiàn) [4,5] 表明微分 Harnack 不等式在拋物型問(wèn)題的研究中是十分重要的.微分 Harnack 不等式的應(yīng)用包括推導(dǎo) H?lder 連續(xù)性,獲得熱核的 Gaussian 界等一些重要結(jié)論. Li P和Yau S T[3]對(duì)微分 Harnack 不等式的研究方法被 Hamilton 引入幾何流的研究中,并且在 Ricci 流的研究中發(fā)揮了重要的作用[2].

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)(1)式存在一光滑正解ω(x,t):n×(0,+∞)→(0,+∞)，并且l=lnω,存在常數(shù)ρ,σ,a,c0,d滿足

(2)

(3)

那么對(duì)所有的t,有

(4)

第2節(jié)中將證明定理1,第3節(jié)將給出 Harnack 估計(jì)的應(yīng)用.

2 微分 Harnack 估計(jì)

本節(jié)首先對(duì)微分 Harnack 估計(jì)進(jìn)行推導(dǎo).定理1的證明主要運(yùn)用極值原理.本文主要研究下式

H:=ρΔl+σ|?l|2+c0h(t)el(q-1)+φ(x,t),

(5)

其中ρ,σ,c0∈且φ:n×[0,+∞)→[0,+∞) 待定.

引理2.1 設(shè)ω(x,t)∈C∞(n×[0,+∞)) 是(1)式中的光滑正解,l(x,t):=lnω,H定義見(jiàn) (5)式.有

Ht=ΔH+2?H·?l+(q-1)h(t)el(q-1)H+2(ρ-σ)|??l|2+

(ρ(q-1)+σ-c0q)(q-1)h(t)el(q-1)|?l|2+c0h′(t)el(q-1)-

(q-1)h(t)el(q-1)φ+φt-Δφ-2?φ·?l.

(6)

證明因?yàn)閘(x,t):=lnω，則ω=el代入 (1) 式得

lt=Δl+|?l|2+h(t)el(q-1).

對(duì)Δ-算子計(jì)算如下

Δ|?l|2=2?l·?Δl+2|??l|2.

(7)

(5)式兩邊關(guān)于t求導(dǎo),得

Ht=ρ(Δl)t+σ(|?l|2)t+c0(h(t)el(q-1))t+φt.

(8)

經(jīng)過(guò)計(jì)算,得

?t(Δl)=Δ(Δl)+Δ|?l|2+(q-1)2h(t)el(q-1)|?l|2+(q-1)h(t)el(q-1)Δl,

?t(|?l|2)=2?l·?Δl+2?l·?|?l|2+2(q-1)h(t)el(q-1)|?l|2,

?t(h(t)el(q-1))=h′(t)el(q-1)+(q-1)h(t)el(q-1)(Δl)+(q-1)h(t)el(q-1)|?l|2+

(q-1)h2(t)e2l(q-1).

利用以上式子以及(7),(8)式可化為

Ht=ρ[Δ(Δl)+2?l·?Δl+2|??l|2+(q-1)h(t)el(q-1)Δl+(q-1)2h(t)el(q-1)|?l|2]+

σ[Δ|?l|2-2|??l|2+2?l·?|?l|2+2(q-1)h(t)el(q-1)|?l|2]+

c0[h′el(q-1)+(q-1)h(t)el(q-1)Δl+(q-1)h(t)el(q-1)|?l|2+(q-1)h2(t)e2l(q-1)]+φt.

(9)

由于

ΔH=ρΔ(Δl)+σΔ(|?l|2)+c0Δ(h(t)el(q-1))+Δφ=

ρΔ(Δl)+σΔ(|?l|2)+c0(q-1)h(t)el(q-1)((q-1)|?l|2+Δl)+Δφ,

且?H=ρ?(Δl)+σ?(|?l|2)+c0?(h(t)el(q-1))+?φ=

ρ?(Δl)+σ?(|?l|2)+c0(q-1)h(t)el(q-1)?l+?φ,

進(jìn)而有H=ρΔl+σ|?l|2+c0h(t)el(q-1)+φ.

整理 (9)式 即可得 (6)式.

定理1的證明定義n空間中的n維矩形區(qū)域定義為:φD:D×(0,+∞)→(0,+∞).設(shè)

(10)

對(duì)應(yīng)于 (5) 式,有

HD:=ρΔl+σ|?l|2+c0h(t)el(q-1)+φD(x,t).

當(dāng)D→n時(shí),HD→H0.當(dāng)xi→pi,qi或者t→0 時(shí),φD→+∞,HD>0.假設(shè)存在第一個(gè)時(shí)間t0和點(diǎn)x0∈D,使得HD(x0,t0)=0.因此,在 (x0,t0) 處,有

(HD)t≤0,?HD=0,ΔHD≥0,

(11)

0≥(HD)t=ΔHD+2?HD·?l+(q-1)h(t)el(q-1)HD+2(ρ-σ)|??l|2+

[ρ(q-1)+σ-cq](q-1)h(t)el(q-1)|?l|2+ch′(t)el(q-1)-

(q-1)h(t)el(q-1)φD+(φD)t-ΔφD-2?φD·?l≥

c0h′(t)el(q-1)-(q-1)h(t)el(q-1)φD+(φD)t-ΔφD-2?φD·?l.

(12)

將 (11)式代入(12)式的最右端并設(shè)X=h(t)el(q-1)和Y=|?l|2,結(jié)合條件得

c0h′(t)el(q-1)-(q-1)h(t)el(q-1)φD+(φD)t-ΔφD-2?φD·?l=

ch′(t)el(q-1)-(q-1)XφD+(φD)t-ΔφD-2?φD·?l=

(13)

根據(jù)條件(2)式可得

(14)

由(14)式可得(13)式最右端式子的前4項(xiàng)都是非負(fù)的.

利用均值不等式得

(15)

由于(13)式的前4項(xiàng)非負(fù),結(jié)合(15)式即可得

(16)

經(jīng)過(guò)計(jì)算,有

(17)

(18)

(19)

將(10),(17)和(18)式代入(19)式的左端得

由(3)式得Aa2edt-da>0.由于a,b滿足

則(19)式成立.由定理1.1中ρ,σ,a,d,c0的取值范圍得到(13)的最右端恒正,得到矛盾.假設(shè)解在n空間中存在,令pi→-∞,qi→+∞,則定理1得證.

3 應(yīng) 用

本節(jié)將沿著時(shí)空路徑對(duì)微分方程 (3) 進(jìn)行積分,得到經(jīng)典 Harnack 不等式.

(20)

其中x1,x2∈n,0

證明定義函數(shù)μ(t)=(x(t),t),其中t∈[t1,t2].函數(shù)μ為 (x1,t1),(x2,t2)∈n×[0,+∞) 與 0

沿著μ對(duì)u進(jìn)行計(jì)算

其中ρ≥2σ且ρ≥c0.因此,有

對(duì)不等式積分,沿μ取下確界,有

即

(21)

將l=lnω代入 (21),經(jīng)過(guò)計(jì)算,得

整理上式可得 (20)式.