類比在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用手段探究

周菲菲

【摘要】高中數(shù)學(xué)的學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.其中，邏輯推理包含歸納、類比、演繹.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)探究如何運用類比的思想方法使教學(xué)更加容易，讓數(shù)學(xué)知識“點線成面”，提高學(xué)生學(xué)習(xí)成效，鍛煉學(xué)生解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】類比;思想方法;核心素養(yǎng);負(fù)遷移

類比，即“類比推理”，亦稱“類比法”，是根據(jù)兩個或兩類對象某些屬性的相同，推出它們的其他屬性也可能相同的推理方法.類比的過程是由此及彼的過程，從兩個對象具有某些相似或相同的屬性事實出發(fā)，推出其中一個對象可能具有另一個對象已具有的其他屬性.

天文學(xué)家開普勒說：“類比是我最可靠的老師.”哲學(xué)家康德說：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進(jìn).”作為一種思維方法，類比在人類生活、生產(chǎn)中得到了廣泛應(yīng)用，發(fā)揮了巨大作用，深潛器、聽診器、活字印刷、飛機的減振裝置等的發(fā)明無不源于類比.

學(xué)科教學(xué)中，類比方法也被大量應(yīng)用.教師在物理教學(xué)中，講電流的概念時，可用水流來類比;講電壓時，可用水壓來類比;類比電勢能和重力勢能的概念，電勢能和重力勢能的公式就不難理解了.教師在化學(xué)教學(xué)中講解電離平衡時，也可引導(dǎo)學(xué)生類比以前學(xué)過的化學(xué)平衡.

一、創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膶嵗惐壬钋榫?/p>

有些數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實生活，是從生產(chǎn)、生活中抽象出來的.對于這些概念的教學(xué)，教師可以結(jié)合恰當(dāng)?shù)那榫?，類比一些感性的生活實例，引?dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性.

例1 高中數(shù)學(xué)集合概念教學(xué)

學(xué)生進(jìn)入高中，接觸的第一個新知識就是集合，雖然在小學(xué)、初中及生活中對“同一類對象匯集在一起”有所感知，但對集合的無序性、互異性和確定性還是很難理解.

教師在教學(xué)中，可以類比生活實例，比如：教室中的35個學(xué)生組成一個“集合”，每個學(xué)生就是一個“元素”，每個學(xué)生“屬于”這個班級.每個學(xué)生都是不同的個體，這是元素的互異性;每個學(xué)生換座位之后，這個班級沒有改變，這是元素的無序性;某個學(xué)生是不是這個班級的一員，都會有一個明確的答案，這是元素的確定性.

例2 排列組合概念的教學(xué)

理解排列組合的概念，分清有序、無序的區(qū)別是重難點.

教學(xué)中，教師可以將有序的兩兩排列類比為寫信，無序的兩兩組合類比為打電話、握手.

教師將學(xué)生耳熟能詳?shù)纳顚嵗敫拍罱虒W(xué)的課堂，創(chuàng)設(shè)具體可感的生活情境，可以引導(dǎo)學(xué)生開展抽象的思維活動，在類比中獲得新知.

二、類比已學(xué)知識，遷移到新概念的學(xué)習(xí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們常常會有“似曾相識”的感覺.我們可以把這些“類似”進(jìn)行比較、聯(lián)想，將一個數(shù)學(xué)對象已知的特殊性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去，從而獲得另一個對象的性質(zhì).

（一）同章節(jié)知識點的類比

例3 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)概念教學(xué)

教師可以做以下類比：

y=ax（a>1）y=ax（0

[]?? []

y=logax（a>1）y=logax（0

研究了指數(shù)函數(shù)在a>1時的解析式、定義域、值域、定點、單調(diào)性等性質(zhì)之后，學(xué)生可以借助幾何畫板等信息化手段，畫出指數(shù)函數(shù)在a>1時的函數(shù)圖像，再結(jié)合列表的方式，可類比得出a>1時指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

研究了指數(shù)函數(shù)、學(xué)習(xí)了對數(shù)函數(shù)的概念后，在研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，也可以分為a>1和01時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得出a>1時對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，再類比得出0

從這個實例可以看出，類比是對知識進(jìn)行理線穿點、融會貫通的好辦法.通過類比，學(xué)生既能從舊知中得出新知，還能成對、成串地鞏固兩組重要函數(shù)的性質(zhì).

在后續(xù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合練習(xí)中，經(jīng)常會用到函數(shù)圖像輔助解題.解題時，往往可以通過y=2x的圖像類比得出y=3x，y=（12）x，y=13x，y=log2x，y=log3x，y=log12x，y=log13x的圖像，然后“看圖說話”，采用數(shù)形結(jié)合的方法即可輕松解決問題.

例4 等差數(shù)列、等比數(shù)列概念教學(xué)

通過下表類比，在類比的過程中，學(xué)生能感知到：在等差數(shù)列中相關(guān)的加法、減法、乘法運算，到等比數(shù)列中是對應(yīng)的乘法、除法、乘方運算，這就像是運算的一種“升級”.

1.an=am+（n-m）d

2.等差數(shù)列中，等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍然成等差數(shù)列

3.若m+n=t+s，則am+an=at+as

1.an=am·qn-m（q≠0）

2.等比數(shù)列中，等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍然成等比數(shù)列

3.若m+n=t+s，則am·an=at·as

除此之外，同章節(jié)知識點的類比還可以運用在以下內(nèi)容的學(xué)習(xí)中：

雙曲線與橢圓的概念、圖形、方程、性質(zhì)、特征的類比;三角函數(shù)的幾組誘導(dǎo)公式的記憶、證明過程的類比;余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的圖像、性質(zhì)的類比;余弦定理與正弦定理的公式、適用范圍的類比;幾何概型與古典概型的概念、公式的類比;排列與組合的公式、模型的類比;線面平行與線面垂直的判定、性質(zhì)定理的類比……

通過以上類比，學(xué)生不僅能識記、理解相關(guān)定義、公式、性質(zhì)等，還可以感受到兩者之間的聯(lián)系，加深對概念的理解.

（二）不同學(xué)段知識點的類比

例5 對數(shù)概念教學(xué)

對數(shù)，對學(xué)生來說是一個陌生的名詞，教師在教學(xué)設(shè)計中，可以類比小學(xué)、初中所學(xué)知識，讓學(xué)生理解加減、乘除、乘方開方這些互逆運算，從而使對數(shù)的概念不那么突兀，讓學(xué)生明白，對數(shù)其實就是指數(shù)運算的一個逆運算.