相依函數(shù)型數(shù)據(jù)條件分位數(shù)估計的漸近性研究

丁 潔， 余新宏

(安徽農(nóng)業(yè)大學 經(jīng)濟技術學院，安徽 合肥 230001)

眾所周知,條件分位數(shù)在許多領域都有著廣泛的應用,條件分位數(shù)估計是非參數(shù)分析的一個非常重要的問題。就條件分位數(shù)估計的非參數(shù)估計問題而言,通常來說也如同條件均值估計、條件密度估計一樣,存在解釋變量

X

取值于

R

空間,相應的響應變量

Y

取值于

R

空間的情形。此外,樣本(

X

,

Y

)通常被認為是獨立同分布,或者是具有某種相依性的隨機變量。

隨著國內(nèi)外對統(tǒng)計的重視程度不斷提升,人們開始收集金融、醫(yī)療等領域的數(shù)據(jù),開始對函數(shù)型非參數(shù)統(tǒng)計進行全方面研究,早期在文獻[8-11]中有詳細研究,上述文獻詳細討論了獨立同分布或者某種相依場合下估計量的逐點收斂性。特別的,在獨立同分布的條件下,文獻[9]利用Kolmogorov熵的方法討論了統(tǒng)計學各估計量,條件累積分布,條件風險率函數(shù)的一致收斂性。然而由于條件分位數(shù)在金融等領域的廣泛應用以及時間序列的相依性,本研究利用Kolmogorov熵的方法獲得條件分位數(shù)的幾乎完全一致收斂性,將獨立同分布的情形推廣到相依情形,同時將逐點收斂性推廣到一致收斂性。

在本研究中設為半度量空間的子集,數(shù)量為的Kolmogorov 熵。為算術混合,且速度。設(

X

,

Y

)1≤≤同分布于(

X

,

Y

),這里

X

取值于有半度量的抽象無限維空間(

F

,

d

),

Y

取值于

R

空間。全章

C

,

C

′,

C

以及為正常數(shù),并且分別在不同的情形下取不同的值。

相應的條件分位數(shù)記為

(1)

和

(2)

(3)

H

為

j

次連續(xù)可微函數(shù),并且滿足

H

′=

K

。這里,

K

和

K

為實值非負核函數(shù)。光滑算子

h

=

h

,

g

=

g

均為正實數(shù)列,并且當時

n

→∞,趨向于0。

1 基本假設

這里

(4)

上述思想主要采用文獻[8]中引理6.17和引理11.17的做法。

此外,對于任意的

l

∈{0,1,2,…,

j

},記

這里,

此外, 為得到本章主要結論,引入一些常用的假設。

關于小球概率,假設,

(H1)?

x

∈

S

,0<

Cφ

(

h

)≤

P

(

X

∈

B

(

x

,

h

))≤

C

′

φ

(

h

)<∞,這里,當

h

→0時

φ

(

h

)→0。(H2)函數(shù)

φ

(

h

)滿足(

nφ

(

h

))=

O

(log

n

)。

關于核函數(shù)

K

和

K

,假設(H4)

K

是緊支撐集[0,1]上的非負有界核函數(shù)。

(H6) ?(

x

,

x

)∈

S

×

S

, ?(

y

,

y

)∈

S

×

S

,對于某個

b

>0和

b

>0，

(5)

有關相依結構,假設

(H7)?

θ

>

C

β

+1>2,對于任意給定的?

l

∈{0,1,2,…,

j

},滿足,

(6)

注:假設(H1)～(H6)詳細情況可參見文獻[8]。與獨立同分布情形相比,條件(H7)為相依結構的影響。

最后,關于

S

上的Kolmogorov熵,引入文獻[9]中所用的假設,

(H8a) 當

n

充分大時,

(H8b)對某個任意給定的

β

>1,

2 引理證明

引理1: 在條件(H1)～(H8)下,對于

l

=1,2,…,

j

,得出

引理2:在條件(H1)～(H8)下,我們有

(8)

引理1的證明:這里的證明利用了Ferraty等證明方法。 具體有如下分解:

(9)

這里,

(10)

并且,

(11)

這里,需要證明:

(12)

(13)

并且,

(14)

首先證明(12)式,由于,

(15)

關于

F

,對于任意

n

>0,

(16)

由文獻[8]中命題A.11 ii)以及Kolmogorov熵的定義,取

r

=log

n

>1,對某一個正常數(shù)C<∞,得出,

進一步,由(6)式,得出

(17)

因此,由(16)和(17)式,

根據(jù)條件(H8b),得出

(18)

對于

F

, 由條件(H1)(H4)以及(10)式,

由此可以推出,

接下來,利用和的證明的同樣的步驟,得出

(19)

最后,類似的

(20)

由(15)式以及(18)～(20)式,(12)式成立。

關于(13)式的證明。 由于

由(5)式,顯然(13)式成立。

最后證明(14)式。證明主要是基于如下分解:

(21)

對于

T

,由于

類似于的證明,可以得到

(22)

同理,

(23)

對于

T

, 由于

H

的連續(xù)可微性,得出

由假設條件(H3) 以及(4)式,得出

(24)

類似于的證明,得出

(25)

關于

T

,類似于

F

的證明并且由條件(A8b),得出

(26)

最后,由(21)-(26)式,等式(14)成立。

引理2的證明:根據(jù)文獻[8]中的分解:

(27)

因此,只要下面的兩個等式成立以及結合前面所證明的(12)式:

(28)

(29)

事實上,

3 定理證明

定理:在條件 (H1)～(H9)下,得出

(30)