一題多變 提升數(shù)學(xué)思維深刻性

周 沖

(江蘇省南通市通州灣三余初級中學(xué) 226331)

初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生探究性思維和發(fā)散性思維，提倡一題多變的形式.要求學(xué)生做數(shù)學(xué)題時，能及時聯(lián)想知識之間的關(guān)聯(lián)性，靈活解決不同的問題，實現(xiàn)多解歸一.一題多變，就是對同一道問題多次改變條件或者結(jié)論，再進(jìn)行思考并解答.初中數(shù)學(xué)教學(xué)要應(yīng)用一題多變模式，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三和觸類旁通的能力，提升數(shù)學(xué)思維的深刻性和靈活性.筆者結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗，提出橫向聯(lián)想、縱向變式和綜合轉(zhuǎn)化三種模式，以達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的.

一、橫向聯(lián)想，改變外延

橫向聯(lián)想，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中打破思維局限，以知識之間的橫向相似為出發(fā)點，提出新的想法和觀點.橫向聯(lián)想要求學(xué)生不僅掌握書本知識，還懂得了基本的計算規(guī)則和方法，在知識外延的拓展訓(xùn)練中，深刻理解了相關(guān)理論的用法.學(xué)生從知識的橫向聯(lián)系中獲得啟發(fā)，從而發(fā)現(xiàn)知識或者方法的開放性，同時也理解了解決問題的靈活性.

例如，“菱形”的教學(xué)中，菱形的性質(zhì)有兩個：(1)四條邊長度相等；(2)對角線互相垂直且平分.事實上，基于這兩個性質(zhì)，會發(fā)現(xiàn)菱形的判定方法有兩個：(1)4條邊長度相等的四邊形為菱形；(2)對角線相互垂直且平分的四邊形為菱形.因此，菱形的性質(zhì)與判定方法互為橫向關(guān)系.為了讓學(xué)生更好地理解這種關(guān)系，筆者設(shè)計了一道例題，如下圖1所示：已知四邊形ABCD為菱形，其對角線AC和BD相交于O點，在OA和OC上分別取一點E和F，使AE=CF，試分別基于菱形兩個性質(zhì)和判定方法證明：四邊形EBFD為菱形.針對此題，學(xué)生首先可以用需要用正向思路利用菱形四邊相等性質(zhì)及三角形全等定理證明EB=BF=CF=FD.其次，可以利用對角線垂直平分性質(zhì)證明OE=OF，進(jìn)而再基于菱形對角線垂直平分判定方法證明四邊形EBFD為菱形.由此，同一道題通過證明方法的橫向變遷，學(xué)生就會菱形性質(zhì)及判定方法的橫向互換，通過對比還會發(fā)現(xiàn)兩種證明方法哪個更快，提升遷移能力.

所以，橫向聯(lián)想能夠活躍學(xué)生的思維，讓學(xué)生在解題過程中不再生搬硬套，而做到靈活創(chuàng)新.但橫向數(shù)學(xué)思維模式的培養(yǎng)，需要有一定的“似曾相識”度，要求學(xué)生有一定的解題經(jīng)驗，才能在面對相似問題的時候，采取構(gòu)造、轉(zhuǎn)化或者遷移的方法解決問題.在橫向一題多解的過程中，重組了學(xué)生零散的知識，也充分調(diào)動了他們思維能力，磨練了意志.

二、縱向變式，深處漫溯

橫向主要是通過一題多變或者一題多解讓學(xué)生的思維更加開闊，而縱向變式則主要提升學(xué)生對復(fù)雜情況或未知問題，積極思考聯(lián)系已有知識并加以應(yīng)用，提升對已有知識的深度應(yīng)用，進(jìn)而實現(xiàn)深度思維的提升.初中數(shù)學(xué)的知識點相對較多，聯(lián)系也錯綜復(fù)雜，因而，非常適用于采用縱向變式提升學(xué)生的深度思維能力.

(x+1)t2+(2x2+x)t+x3=0

(1)

再對上式(1)進(jìn)行因式分解，注意，化簡后的方程式關(guān)于t的一元二次方程，而不再是關(guān)于x的一元三次方程，意味著x是個未知常量.分解后的因式為：

(t+x)[(x+1)t+x2]=0

(2)

解答上式(2)得到x+t=0或者(x+1)t+x2=0

學(xué)生根據(jù)二次方程根的形式繼續(xù)解題，獲得最終答案.數(shù)學(xué)算式解答，需要學(xué)生摒棄思維定勢，具備一定的深度轉(zhuǎn)換思想，已知未知轉(zhuǎn)換、有理無理轉(zhuǎn)換、數(shù)和式統(tǒng)一、函數(shù)和形結(jié)合，才能利用已知的公式進(jìn)行創(chuàng)新突破學(xué)習(xí)，拓展思維，獲得知識的外延.

縱向變式是一種有效提升學(xué)生探索意識的方法，在實際教學(xué)中，教師需要適時地開展縱向變式的引導(dǎo)教學(xué)，讓學(xué)生不再局限于基礎(chǔ)知識，而是基于基礎(chǔ)進(jìn)行深度探索求知，讓思維活躍的同時，提升縱向探究能力.

三、綜合轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

創(chuàng)新既需要橫向拓展，也需要縱向探究.初中數(shù)學(xué)中一題多變的目的是為了提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合思維能力，進(jìn)而培養(yǎng)綜合素養(yǎng).讓學(xué)生從多角度、多方位和多層次對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考，其目的是樹立學(xué)生面對問題有突破思維局限的意識，更深刻地理解自身所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，將“不變”的知識通過橫、縱向搭配，探究“變”的問題和規(guī)律.

例如，圖2所示的圖形，求證：∠A+∠B=∠C+∠D.這個題目很簡單，學(xué)生既可以用三角形內(nèi)角和為180°與對角相等搭結(jié)合來證明，也可以直接用三角形的外角性質(zhì)(任意一個外角等于與它不相鄰的任意兩個內(nèi)角之和)與對角相等結(jié)合來證明.但如果遇到圖3所示的情況，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.其僅僅橫向遷移就很難解題了.解決這個問題，需要學(xué)生將三角形內(nèi)角和為180°向多邊形的內(nèi)角和為(n-2)×180°縱向拓展，才能再基于三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解.首先，需要學(xué)生對圖形進(jìn)行觀察，思考怎樣搭建這五個角的等量關(guān)系.其次，學(xué)生首先會嘗試?yán)眯∪切?，如△AFJ，基于此擴(kuò)展范圍至大三角形，如三角形ACI，可以建立∠A+∠C+∠AIC=180°.以此類推，發(fā)現(xiàn)內(nèi)部五邊形每個角都用了一次三角形內(nèi)角和等式，而∠A、∠B、∠C、∠D和∠E重復(fù)運用了兩次，因此，(∠A+∠B+∠C+∠D+∠E)×2+(∠AIC+∠EFC+∠AGD+∠BHE+∠BJD)=5×180°=900°.再結(jié)合五邊形內(nèi)角和，進(jìn)而進(jìn)行計算就可以得出：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.由此，學(xué)生就會樹立起三角形性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和之間的橫縱向聯(lián)系，提升幾何解題思維.

綜合轉(zhuǎn)化對于初中教學(xué)是一大難點，在實際教學(xué)中，不能完全以試題答案為主線引導(dǎo)學(xué)生思考，而應(yīng)該基于客觀，進(jìn)行必要的試錯反思，樹立正確的解題規(guī)律意識，才能培養(yǎng)學(xué)生正確的綜合轉(zhuǎn)化思維.

綜上所述，一題多變的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，可以讓學(xué)生快速識別并抓住問題核心，找到問題本質(zhì)和規(guī)律，快速計算出結(jié)果.這種學(xué)習(xí)方式，使得學(xué)生思維得到了拓展和遷移，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維.當(dāng)然，一題多變的方式不僅限于上述三種，不管什么樣的變化方式，終究脫離不開書本的相關(guān)定義、定理、公式等，所以在培養(yǎng)學(xué)生變化思維的過程中，應(yīng)當(dāng)注意以不變應(yīng)萬變的思考方式，不能為了追求“變”而忽略“不變”.