數(shù)列求和面面觀

王瑞丁

[摘? ?要]數(shù)列求和是數(shù)列部分的一個重要內(nèi)容，數(shù)列求和的方法雖然各有特色，但只要了解相關(guān)數(shù)列通項的特征，并合理地化歸，靈活運用數(shù)列求和的常用方法進行數(shù)列求和，數(shù)列求和問題就能迎刃而解.

[關(guān)鍵詞]數(shù)列求和;公式法;分組拆分法;錯位相減法

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20 -0027-03

數(shù)列求和是數(shù)列部分的一個重要內(nèi)容，它是數(shù)列知識的綜合體現(xiàn).在解決數(shù)列求和問題時，需要熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式與方法.對此.深入研究數(shù)列求和的方法十分重要.常見的數(shù)列求和方法主要有以下幾種.

一、公式法

如果可以明確所求的數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，就可以直接利用公式法來處理.等差數(shù)列的求和公式為[Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2];等比數(shù)列的求和公式為[Sn=a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q]（[q≠1]）或[Sn=na1（q=1）].

[例1]（2017·江蘇，7）等比數(shù)列[an]的各項均為實數(shù)，其前n項和為[Sn].已知[S3=74]，[S6=634]，則[a8=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

分析：根據(jù)題目條件確定公比[q≠1]，利用等比數(shù)列的前n項和公式列出兩式，利用兩式對應(yīng)相除來求解公比q，代入其中一個式子求解首項[a1]，再利用等比數(shù)列的通項公式求解即可.

解析：由題可知公比[q≠1]（否則條件不成立），

而[S3=a1（1-q3）1-q=74]，[S6=a1（1-q6）1-q=634]，兩式對應(yīng)相除并整理有[q3=8]，解得[q=2]，

代入[a1（1-23）1-2=74]可得[a1=14]，則[a8=a1q7=14×27=32]，故答案為32.

點評：利用公式法求解數(shù)列求和問題時，一般都是明確數(shù)列的屬性，直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式來處理.利用等比數(shù)列的求和公式時，一定要注意公比是否為1的條件，進而選擇相應(yīng)的公式來求解.

二、分組拆分法

當(dāng)數(shù)列的通項是等差數(shù)列或等比數(shù)列的和的形式時，則可進行分組拆分，分別利用基本數(shù)列的求和公式求和.注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和[1].

[例2]已知等比數(shù)列[an]中，若[a1=3]，公比[q>1]，且[3（an+2+an）-10an+1=0（n∈N*）].

（1）求數(shù)列[an]的通項公式;

（2）設(shè)數(shù)列[bn+13an]是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列[bn]的通項公式和前n項和[Sn].

分析：（1）結(jié)合數(shù)列遞推關(guān)系式并利用等比數(shù)列的通項公式加以轉(zhuǎn)化，進而確定公比q的值，得以確定相應(yīng)的通項公式;（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義確定相應(yīng)數(shù)列的通項，并求解[bn]的通項，通過分組拆分，分別結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式來處理.

解析：（1）由于[3（an+2+an）-10an+1=0]，可得[3（anq2+an）-10anq=0]，即[3q2-10q+3=0]，

而公比[q>1]，可得[q=3]，又首項[a1=3]，所以數(shù)列[an]的通項公式為[an=3n];

（2）由于[bn+13an]是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則有[bn+13an=1+2（n-1）]，

可得[bn=2n-1-13an=2n-1-3n-1]，

所以[Sn=1+3+…+（2n-1）-1+3+32+…+3n-1=n2-123n-1].

點評：對于復(fù)雜的數(shù)列，若直接利用數(shù)列的通項公式無法進行求和，則可考慮分解為幾個容易求和的基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列），對數(shù)列通項中的和式進行重新分組與拆分，分組拆分后各自組成常見的基本數(shù)列，再分別利用公式進行求和.

三、錯位相減法

對一個由等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項之積組成的數(shù)列的前n項和問題，常用錯位相減法求和.這種方法主要用于求數(shù)列[an·bn]的前n項和，其中[an]、[bn]分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，等式兩端同時乘以公比后進行錯位相減，再利用等比數(shù)列的求和公式加以轉(zhuǎn)化即可[2].

[例3]（2017·天津理，18）已知[an]為等差數(shù)列，前n項和為[Sn（n∈N*）]，[bn]是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，[b2+b3=12]，[b3=a4-2a1]，[S11=11b4].

（Ⅰ）求[an]和[bn]的通項公式;

（Ⅱ）求數(shù)列[a2nb2n-1]的前n項和[（n∈N*）].

分析：（Ⅰ） 運用基本量法先求出等比數(shù)列的公比，從而求出[bn]的通項公式，再求出等差數(shù)列[an]的公差和首項，從而求出其通項公式;（Ⅱ）數(shù)列[a2nb2n-1]是由等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項相乘而得到的，運用錯位相減法求出數(shù)列[a2nb2n-1]的前n項和.

解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列[an]的公差為d，等比數(shù)列[bn]的公比為q，

由已知[b2+b3=12]，得[b1（q+q2）=12]，而[b1=2]，所以[q2+q-6=0]，

又因為[q>0]，解得[q=2]，所以[bn=2n];

由[b3=a4-2a1]，可得[3d-a1=8]，由[S11=11b4]，可得[a1+5d=16]，

聯(lián)立以上兩式，解得[a1=1]，[d=3]，由此可得[an=3n-2];

所以數(shù)列[an]的通項公式為[an=3n-2]，數(shù)列[bn]的通項公式為[bn=2n];

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列[a2nb2n-1]的前n項和為Tn，

由[a2n=6n-2]，[b2n-1=2×4n-1]，有[a2nb2n-1=（3n-1）×4n]，

故[Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n-4）×4n-1+（3n-1）×4n]，

[4Tn=2×42+5×43+…+（3n-7）×4n-1+（3n-4）×4n+（3n-1）×4n+1]，

上述兩式相減，得[-3Tn=2×4+3×（42+43+…+4n）-（3n-1）×4n+1=3×4×（1-4n）1-4-4-（3n-1）×4n+1=-（3n-2）×4n+1-8]，

得[Tn=3n-23×4n+1+83]，

所以數(shù)列[a2nb2n-1]的前n項和為[3n-23×4n+1+83].

點評：應(yīng)用錯位相減法求和寫出[Sn]與[qSn]的表達(dá)式時，應(yīng)特別注意將兩式同項對齊，以便于下一步準(zhǔn)確寫出[Sn-qSn]的表達(dá)式.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比[q]為未知數(shù)時，應(yīng)對該公比是否為1進行討論;而當(dāng)將[Sn]與[qSn]相減合并同類項時，注意錯位及未合并項的符號.

四、裂項相消法

把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項.如果數(shù)列的通項公式可轉(zhuǎn)化為[an=f（n+1）-f（n）]形式，可嘗試采用此法，使用此法時必須注意哪些項被消去，哪些項被保留.用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項，如[1n（n+1）=1n-1n+1]等.

[例4]（2017·全國Ⅲ卷文，17）設(shè)數(shù)列[an]滿足[a1+3a2+…+（2n-1）an=2n].

（Ⅰ）求數(shù)列[an]的通項公式;

（Ⅱ）求數(shù)列[an2n+1]的前n項和.

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式得到[n≥2]時的表達(dá)式，通過兩式相減并整理得到[an]的表達(dá)式，驗證[a1]的情況即得數(shù)列[an]的通項公式;（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論得到[an2n+1]的表達(dá)式，并通過裂項處理后再求和即可達(dá)到目的.

解析：（Ⅰ）因為[a1+3a2+…+（2n-1）an=2n]，

故當(dāng)[n≥2]時，[a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）]，

兩式相減得[（2n-1）an=2]，所以[an=22n-1]（[n≥2]），

又由題可得[a1=2]，從而數(shù)列[an]的通項公式為[an=22n-1];

（Ⅱ） 記數(shù)列[an2n+1]的前n項和為[Sn]，

由（Ⅰ） 知[an2n+1=2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1]，

[則 Sn=1-13+13-15+…+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1].

點評：對于裂項后有明顯相消項的一類數(shù)列，在求和時常采用裂項相消求和法.分式的求和多利用此法，可用待定系數(shù)法對通項公式進行拆項，相消時應(yīng)注意消去項的規(guī)律，即消去哪些項，保留哪些項.

五、并項求和法

把數(shù)列的一些項合并成熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列后再來進行求和處理.

[例5]數(shù)列[an]滿足[an+1=2sinnπ2-1an+2n]，[n∈N*]，則數(shù)列[an]的前100項和為（）.

A. 5 050B. 5 100C. 9 800D. 9 850

分析：根據(jù)三角函數(shù)的特征，對[n]進行分類討論，再利用并項求和法求出數(shù)列[an]的前100項和.

解析：設(shè)[k∈N*]，當(dāng)[n=2k]時，[a2k+1=-a2k+4k]，即[a2k+1+a2k=4k] ①，

當(dāng)[n=2k-1]時，[a2k=a2k-1+4k-2] ②，

聯(lián)立①②可得，[a2k+1+a2k-1=2]，

所以數(shù)列[an]的前100項和為

[S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100]

[=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）]

[=（a1+a3+…+a99）+（-a3+4）+（-a5+4×2）+…+（-a101+4×50）]

[=25×2+-（a3+a5+…+a101）+4×（1+2+…+50）=25×2-25×2+4×50×（1+50）2=5 100]，故答案選B.

點評：將一個數(shù)列分成若干段，然后各段分別利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式或其他求和方法來處理.利用并項求和法求解數(shù)列問題的常見類型：一是數(shù)列的通項公式中含有絕對值符號;二是數(shù)列的通項公式中含有符號因子“[（-1）n]”等.

總之，數(shù)列求和的方法雖然各有特色，但只要了解相關(guān)數(shù)列通項的特征，合理地化歸，掌握數(shù)列求和的常用方法，數(shù)列求和問題就能迎刃而解.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 張嫻，韓文美.剖析數(shù)列命題陷阱，挖掘失分原因[J].高中生之友，2019（10）：40-41.

[2]? 田淑玲.數(shù)列求和方法歸類談[J].理科考試研究，2020（3）：33-34.

（責(zé)任編輯 黃春香）