圓錐曲線平行弦的一組新性質(zhì)探源

蔣道波 (安徽省蚌埠第二中學(xué) 233000)

藍(lán)賢光老師在文[1]提出了圓錐曲線平行弦的一組新性質(zhì)，筆者經(jīng)過(guò)仔細(xì)思考，發(fā)現(xiàn)這一組性質(zhì)本源實(shí)際上是圓錐曲線直徑的性質(zhì)．圓錐曲線的直徑，就是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的有窮遠(yuǎn)極線，關(guān)于圓錐曲線的直徑，我們有如下定理：[2]

定理 直徑是圓錐曲線的一組平行弦中點(diǎn)的軌跡．

下面給出藍(lán)賢光老師所提的性質(zhì)1和性質(zhì)2的一個(gè)新的幾何證明，證明的過(guò)程其實(shí)也是解釋筆者所做出的判斷的過(guò)程.首先觀察文[1]的性質(zhì)1：

性質(zhì)1如圖1，設(shè)OP是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)弦，弦MN與OP平行，且直線MN交拋物線C的對(duì)稱軸于點(diǎn)T(異于點(diǎn)O)，則 |TM-TN|=OP(當(dāng)點(diǎn)T為弦MN的內(nèi)分點(diǎn)時(shí))或|TM+TN|=OP(當(dāng)點(diǎn)T為弦MN的外分點(diǎn)時(shí))．

圖1

證明設(shè)U為MN的中點(diǎn)，V為OP的中點(diǎn)，根據(jù)直徑的性質(zhì)，結(jié)合拋物線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線相切，可得直線UV與直線OT平行．

(1)當(dāng)點(diǎn)T為弦MN的內(nèi)分點(diǎn)時(shí)，|TM-TN|=2TU，且OP=2OV，結(jié)合平行四邊形OTUV的性質(zhì)，TU=OV，所以|TM-TN|=OP．

(2)當(dāng)點(diǎn)T為弦MN的外分點(diǎn)時(shí)，|TM+TN|=2TU，且OP=2OV，結(jié)合平行四邊形OTUV的性質(zhì)，TU=OV，所以|TM+TN|=OP．

接下來(lái)，對(duì)文[2]所提出的性質(zhì)2進(jìn)行解釋．

圖2

證明設(shè)U為MN的中點(diǎn)，V為OP的中點(diǎn)，根據(jù)直徑的性質(zhì)，直線UV經(jīng)過(guò)橢圓的中心O．

至于文[1]提出的性質(zhì)3：

讀者可以仿照筆者關(guān)于性質(zhì)1和性質(zhì)2所給出的解釋完成論證，本文不再贅述．

通過(guò)上面的證明過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，文[1]的圓錐曲線平行弦的一組新性質(zhì)的源頭確為圓錐曲線直徑的性質(zhì).