高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)策略

潘萬超

(福建省福州第十一中學(xué) 350001)

一、利用導(dǎo)數(shù)求解曲線切線問題

用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，是高考重點(diǎn)考查的知識點(diǎn)之一.以下針對導(dǎo)數(shù)法求切線方程的常見題型進(jìn)行歸類分析，并提出幾點(diǎn)有效的教學(xué)策略.

1.已知切點(diǎn)求切線方程

策略一求導(dǎo)數(shù)→代切點(diǎn)→得斜率→切線方程

例1 曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是____.

解析f′(x)=3x2，則在點(diǎn)P(1,12)處切線的斜率k=f′(1)=3，故所求切線方程為y-12=3(x-1)，化簡得y=3x+9.令x=0，則y=9.

2.已知切線過某點(diǎn)求切線方程

策略二設(shè)切點(diǎn)→求導(dǎo)數(shù)→點(diǎn)斜式→代入已知點(diǎn)→切線方程

例2 已知曲線y=x3+11，求過點(diǎn)P(0,13)且與曲線相切的直線方程.

3.雙切點(diǎn)未知求公切線方程

策略三設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)→求兩個(gè)導(dǎo)數(shù)→點(diǎn)斜式方程組→斜截式方程組→由斜率相等、縱截距相等得參數(shù)值→切線方程

例3 (2016新課標(biāo)全國Ⅱ卷 理16)若直線y=kx+b是曲線C1：y=lnx+2的切線，也是曲線C2：y=ln(x+1)的切線，則b=____.

點(diǎn)評在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩個(gè)“說法”，即“求曲線在點(diǎn)P處的切線方程”和“求曲線過點(diǎn)P的切線方程”，前者指明了以點(diǎn)P為切點(diǎn)，后者點(diǎn)P可能是切點(diǎn)，也可能是切線經(jīng)過的某個(gè)已知點(diǎn).學(xué)生解答此類問題有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：其一，審題不認(rèn)真，未對點(diǎn)P的位置進(jìn)行判斷，誤以為P一定是切點(diǎn)(比如例題2)；其二，當(dāng)所給點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，無法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行聯(lián)系，不懂得預(yù)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(比如例題3).因此，解決與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問題時(shí)，要提醒學(xué)生首先確定已知點(diǎn)是否為曲線的切點(diǎn)是正確求解的關(guān)鍵所在.

二、利用導(dǎo)數(shù)求解導(dǎo)數(shù)單調(diào)性問題

單調(diào)性問題是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，有效利用導(dǎo)數(shù)判斷區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，其本質(zhì)就是判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)問題，在實(shí)際的解答中，證明不等式f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)恒成立，并且不恒為零.一般來說，首先需要明確函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，接著對導(dǎo)數(shù)的正負(fù)進(jìn)行判斷得出相應(yīng)的結(jié)論.如果題目中沒有明確x的范圍，需要先求解出定義域，在定義域內(nèi)完成單調(diào)性的討論.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.證明：函數(shù)f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

此題主要考查學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解，根據(jù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)完成解題.面對含字母系數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題，策略之一是利用分類討論思想解題，需要根據(jù)函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，并且對其區(qū)間內(nèi)的正負(fù)進(jìn)行判斷.策略之二是對原函數(shù)f(x)進(jìn)行二階求導(dǎo)，會收到意想不到的效果，避免了分類討論.

策略一利用分類討論思想

解析根據(jù)已知中函數(shù)f(x)得出f′(x)=m·emx+2x-m=m(emx-1)+2x.當(dāng)m≥0時(shí)，x∈(-∞，0)時(shí)，emx-1≤0，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，emx-1≥0，f′(x)>0；當(dāng)m<0時(shí)，x∈(-∞，0)時(shí)，emx-1>0，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，emx-1<0，f′(x)>0.因此，當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.

策略二利用f(x)的二階導(dǎo)數(shù)

解f′(x)=m·emx+2x-m，注意到f′(0)=0，于是再求導(dǎo)得到f″(x)=m2emx+2.由于f″(x)>0，于是y=f′(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，又f′(0)=0，所以當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f′(x)>0.即當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.

點(diǎn)評利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷時(shí)，如果函數(shù)解析式中含有參數(shù)，且參數(shù)對導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷有影響，需要對參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的分類討論，進(jìn)一步判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，這是通性通法.當(dāng)然，如果能觀察出一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)根，可以借助二階導(dǎo)數(shù)判斷一階導(dǎo)數(shù)的符號，進(jìn)而判斷原函數(shù)的單調(diào)性，也是重要的方法補(bǔ)充.

三、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)圖象問題

函數(shù)圖象是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，對學(xué)生推理能力和數(shù)形結(jié)合思想有著比較高的要求.需要學(xué)生明確導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，如導(dǎo)數(shù)正負(fù)對函數(shù)單調(diào)性的影響，導(dǎo)數(shù)絕對值大小對圖象走勢影響等.同時(shí)需要從導(dǎo)數(shù)圖象中提出相關(guān)的信息，導(dǎo)數(shù)正負(fù)值對應(yīng)著函數(shù)單調(diào)性，圖象和x軸交點(diǎn)等.

例5 如圖中所示，一個(gè)正五角星的薄片，對稱軸和水面垂直，勻速從水面露出，假如五角星露出水面的時(shí)間為t，露出水面的面積是S(t)(S(0)=0)，那么導(dǎo)函數(shù)y=S′(t)的圖象大致為( ).

解析 策略一直接法

根據(jù)正五角星的形狀，開始面積增加的幅度成直線狀態(tài)，在某一時(shí)刻面積突然跳躍性地增大，此時(shí)S(t)的圖象上反應(yīng)為斷點(diǎn)形狀，是一個(gè)分段函數(shù)的圖象，S′(t)也有類似變化，然后面積繼續(xù)增加，但增加的幅度變小，接著面積增加的幅度又變大，然后變小.只有A符合，故選A.

策略二排除法

考察最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻，面積沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C；總面積一直保持增加，沒有減少，排除B；在正五角星兩肩位置露出水面時(shí)，面積改變?yōu)橥蛔?，圖象產(chǎn)生中斷，故排除D.

點(diǎn)評本題考查函數(shù)圖象、導(dǎo)數(shù)圖象、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，重點(diǎn)考查學(xué)生對函數(shù)圖象的識別能力，對導(dǎo)數(shù)的探究能力和應(yīng)用能力.可以采用不同的教學(xué)策略幫助學(xué)生進(jìn)行分析，比如可以將正五角星露出水面的過程分為四個(gè)階段分別分析.也可以利用排除法，考察初始點(diǎn)和終結(jié)點(diǎn)是否吻合，某個(gè)特殊變化過程是否吻合，從而做出正確的選擇.

導(dǎo)數(shù)是高中階段的重要知識內(nèi)容，在高考中有著非常大比重，導(dǎo)數(shù)具有工具性特點(diǎn)，并且和其他知識點(diǎn)有著密切的關(guān)系，使得導(dǎo)數(shù)問題非常的多樣、復(fù)雜，面對導(dǎo)數(shù)問題常常無從下手.因此，結(jié)合相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)問題，對相關(guān)導(dǎo)數(shù)解題進(jìn)行分析和探究，明確不同類型問題的解題思路，提高學(xué)生的解題能力，構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂.