考慮關(guān)聯(lián)荷載驗(yàn)證時(shí)變抗力的橋梁結(jié)構(gòu)可靠度評估方法

金聰鶴, 錢永久, 徐望喜, 黃俊豪

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

橋梁結(jié)構(gòu)在正常使用過程中，由于自然因素和荷載作用使得材料老化，構(gòu)件疲勞、錯(cuò)位或開裂。另有統(tǒng)計(jì)表明車輛最大荷重與交通量會隨著橋梁服役期齡增長而增加[1-2]，這些因素使得橋梁結(jié)構(gòu)可靠性降低，對橋梁的安全服役造成隱患。由于資金和人力物力資源有限，不可能對每一座橋梁進(jìn)行充分地維修或更換構(gòu)件，可取的做法是：首先對在役橋梁進(jìn)行安全性能評價(jià)，作為其后續(xù)管理、養(yǎng)護(hù)與加固的科學(xué)依據(jù)[3]。橋梁結(jié)構(gòu)的安全性能評估需要在可靠度理論框架指導(dǎo)下進(jìn)行[4]，例如我國在役規(guī)范中推薦的驗(yàn)算點(diǎn)法[5]，或是基于結(jié)構(gòu)承載力劣化的時(shí)變可靠度算法[6]。后者能夠評估退化結(jié)構(gòu)在一定時(shí)間范圍的可靠性，具備廣泛的工程前景與重大社會經(jīng)濟(jì)效益，成為了國內(nèi)外十分關(guān)注的課題[7-8]。

另一方面，在役橋梁結(jié)構(gòu)受到服役荷載的驗(yàn)證作用。驗(yàn)證荷載截?cái)嗔藰蛄嚎沽Φ纳衔卜植?，使得抗力的統(tǒng)計(jì)參數(shù)發(fā)生變化。服役歷史荷載的驗(yàn)證作用會提高結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)[9]。高估或低估歷史荷載的驗(yàn)證作用會使得既有橋梁時(shí)變可靠度計(jì)算結(jié)果不夠準(zhǔn)確，對正確評估其安全性能不利。因此，橋梁可靠性分析需要準(zhǔn)確考慮歷史荷載信息對當(dāng)前抗力分布的影響。

Fujino等[10]提出了驗(yàn)證荷載實(shí)驗(yàn)：對既有結(jié)構(gòu)施加預(yù)先確定大小的荷載以確定結(jié)構(gòu)當(dāng)前承載力，但結(jié)果往往趨于保守。Faber等考慮不同強(qiáng)度的歷史荷載作用于抗力退化的橋梁結(jié)構(gòu)，討論了確保結(jié)構(gòu)剩余使用壽命可靠度的最佳驗(yàn)證荷載的比率。禹智濤基于驗(yàn)證荷載實(shí)驗(yàn)對抗力分布的更新作用，提出了基于串——并聯(lián)體系的橋梁結(jié)構(gòu)多失效模式時(shí)變可靠度分析方法；索清輝等討論了歷史荷載驗(yàn)證作用對橋梁可靠度提升的時(shí)效。樊學(xué)平等[11]通過分析橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)，研究了基于驗(yàn)證荷載信息和抗力退化模型的可靠度修正方法。李全旺等[12]基于Bayesian原理，采用車載歷史信息作為驗(yàn)證荷載，提出了考慮劣化因素的結(jié)構(gòu)時(shí)變抗力更新方法，并給出了顯示公式，相較于Stewart等[13]提出的基于單次歷史荷載重復(fù)驗(yàn)證的MCS(monte carlo simulation)方法提升了計(jì)算效率，但并未考慮荷載隨機(jī)過程的相關(guān)性對更新后抗力分布函數(shù)的影響。

作用于橋梁的荷載作用通常表現(xiàn)出時(shí)間相關(guān)性[14-17]。趙丁蘇等[18]基于單人三向荷載的相關(guān)性強(qiáng)弱建立了步行頻率的傅里葉級數(shù)模型；李全旺等提出了服從正態(tài)分布荷載樣本考慮時(shí)間關(guān)聯(lián)性的迭代算法，并采用MCS計(jì)算了結(jié)構(gòu)的時(shí)變可靠度。結(jié)果表明：不考慮歷史荷載的時(shí)間關(guān)聯(lián)性會低估結(jié)構(gòu)的可靠性。因此，有必要提出一種簡潔可行的方法，在已有研究的基礎(chǔ)上，考慮荷載隨機(jī)過程時(shí)間相關(guān)性強(qiáng)弱對結(jié)構(gòu)抗力更新的影響，基于此計(jì)算結(jié)構(gòu)后繼服役期的時(shí)變可靠度，并討論其安全性。

1 時(shí)變可靠度計(jì)算方法

在考察期(0,T)內(nèi)，橋梁結(jié)構(gòu)在任意時(shí)刻的抗力R(t)可以表述為初始抗力R0乘以抗力衰減函數(shù)g(t)的連續(xù)隨機(jī)過程[19]；設(shè)這段內(nèi)發(fā)生了n次荷載效應(yīng)S1,S2,…,Sn，由于荷載效應(yīng)的作用時(shí)間較短，因此考慮為脈沖型隨機(jī)過程，例如Poisson隨機(jī)過程或Bernoulli隨機(jī)過程，如圖1所示。其中t1,t2,…,tn為對應(yīng)荷載效應(yīng)的發(fā)生時(shí)刻；Si對應(yīng)的時(shí)變抗力值為R(ti)，發(fā)生時(shí)刻ti服從(0,T)的均勻分布。則結(jié)構(gòu)在(0,T)不失效的概率Pl(T)記為[20-21]：

圖1 荷載平穩(wěn)隨機(jī)過程與抗力衰減示意圖

Pl(T)=P{Z>0,?t∈(0,T]}=P{R(t1)>

S1∩R(t2)>S2∩…∩R(tn)>Sn,t∈(0,T]}

(1)

其中Z表示結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)，表示為[22]：

Z=R-S

(2)

對于典型的適筋梁破壞，梁體的承載力主要由抗拉鋼筋銹蝕速率決定。Enright等基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出了抗力衰減函數(shù)g(t)的經(jīng)驗(yàn)公式：

(3)

式中:Ti表示銹蝕起始的時(shí)刻。假設(shè)荷載效應(yīng)Si為彼此獨(dú)立且服從同一分布的隨機(jī)變量，累積分布函數(shù)FS(s)，聯(lián)立式(1)、(2)得：

(4)

荷載效應(yīng)關(guān)于發(fā)生時(shí)刻T*的聯(lián)合密度函數(shù)：

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)得[6]：

(6)

以平穩(wěn)Poisson過程描述荷載效應(yīng)，在(0,T)發(fā)生了n次荷載效應(yīng)的概率為：

(7)

式中:λ為Poisson參數(shù)，表示荷載發(fā)生的頻率(1/a)。將式(6)代入式(7)，并注意到結(jié)構(gòu)可靠的必要條件為荷載效應(yīng)大于初始抗力的次數(shù)N(T)=0。整理得：

Pl(T)=

(8)

式中積分項(xiàng)n依據(jù)R(t)>max{S1,S2,…,Sn}取1?？紤]初始抗力R0的隨機(jī)性，設(shè)其概率密度函數(shù)為fR0(r)，則式(8)可寫為：

Pl(T)=

(9)

式(9)即Mori等提出的時(shí)變可靠度公式，被國際《在役結(jié)構(gòu)評估規(guī)范》所推薦，并取得了廣泛應(yīng)用。

(10)

式中,fR(r)表示T1時(shí)刻之前抗力的密度函數(shù)。然而，上式未能考慮結(jié)構(gòu)承載力的劣化效應(yīng)，因此會高估歷史荷載對時(shí)變抗力的驗(yàn)證作用。李全旺等基于時(shí)變抗力與衰減函數(shù)完全線性相關(guān)的假設(shè)，提出了考慮橋梁承載能力劣化的驗(yàn)后抗力密度函數(shù)計(jì)算公式：

(11)

式中:r0為初始抗力的樣本值；FS,i(s)表示(0,T1)內(nèi)第i個(gè)時(shí)間區(qū)間(ti-1,ti](t0=0)最大荷載效應(yīng)的累計(jì)分布函數(shù)，但在實(shí)際運(yùn)用中采用了第一個(gè)統(tǒng)計(jì)區(qū)間的最大荷載效應(yīng)累計(jì)分布函數(shù)FS,1(s)進(jìn)行全局計(jì)算，為平穩(wěn)隨機(jī)過程；且假設(shè)荷載效應(yīng)之間彼此獨(dú)立。對李全旺等由S1迭代至S2的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表明S2與S1同分布，同樣為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且僅適用于荷載效應(yīng)服從同一正態(tài)分布的情形。

若考慮荷載過程為非平穩(wěn)Poisson過程，則需要對不同時(shí)段的最大荷載效應(yīng)的分布逐一統(tǒng)計(jì)，這顯著增加了MCS程序的計(jì)算量，但對T1時(shí)刻抗力的驗(yàn)證作用意義不大。因此本文假設(shè)荷載過程為平穩(wěn)Poisson過程。

Copula函數(shù)常用來描述隨機(jī)變量的相關(guān)性[24]，近年來在土木工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。宋帥等[25]基于不同Copula函數(shù)簇提出了描述橋墩、支座等構(gòu)件的橋梁易損性分析方法；劉月飛基于最小信息準(zhǔn)則(akaike information criterion)和Bayesian準(zhǔn)則建立了橋梁結(jié)構(gòu)串并聯(lián)體系聯(lián)合失效概率的混合Copula模型表達(dá)式；陳建兵等[26]基于vine Copula建模理論，研究了混凝土受壓本構(gòu)關(guān)系中基本參數(shù)的相關(guān)性和最優(yōu)邊緣參數(shù)分布；Liu等[27]基于結(jié)構(gòu)監(jiān)測應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)，建立了考慮結(jié)構(gòu)失效模式非線性關(guān)聯(lián)的Gaussian Copula分析方法。通過Copula函數(shù)構(gòu)建多維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)，在隨機(jī)變量單調(diào)變換下，線性相關(guān)系數(shù)不具有不變性，符合荷載發(fā)生時(shí)刻不固定的特性。因此，本文基于Copula函數(shù)描述荷載效應(yīng)的時(shí)間相關(guān)性。

第三章討論了二維隨機(jī)變量分別采用Gaussian Copula和t-Copula構(gòu)造Copula函數(shù)的尾部相關(guān)性強(qiáng)弱。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造相鄰荷載變量相關(guān)系數(shù)的對稱矩陣，采用n元Gaussian Copula或t-Copula生成與邊緣分布位置相關(guān)的隨機(jī)數(shù)行向量，再通過荷載S1的邊緣分布生成具備相關(guān)性的荷載樣本{s1,s2,…,sn}，依據(jù)MCS方法建立了驗(yàn)后抗力樣本篩選方案。第四章以某鋼筋混凝土簡支梁橋?yàn)槔?，分析了關(guān)聯(lián)荷載過程對該橋20年的時(shí)變抗力R20的驗(yàn)證作用，依據(jù)R20的驗(yàn)證結(jié)果計(jì)算了結(jié)構(gòu)后繼服役期的時(shí)變可靠度，最后依據(jù)關(guān)聯(lián)荷載驗(yàn)證作用的可靠度結(jié)果分析了該橋梁在20～40年的可靠性，討論了考慮荷載時(shí)間相關(guān)性對橋梁后繼服役期安全性能評估的影響。

2 基于Copula隨機(jī)數(shù)矩陣的驗(yàn)后抗力更新方法

設(shè)荷載過程S1,S2,…,Sn的聯(lián)合分布函數(shù)為FS1,S2,…Sn(s1,s2,…sn)，則式(11)可以寫為：

(12)

FS1,S2,…Sn(s1,s2,…sn)=

C(FS1(s1),FS2(s2),…FSn(sn))

(13)

(14)

然而，構(gòu)造一個(gè)n維隨機(jī)變量的Copula函數(shù)非常復(fù)雜，通過式(14)進(jìn)行積分進(jìn)而獲得fR1(r)的精確解是不現(xiàn)實(shí)的。因此需借助計(jì)算機(jī)軟件，采用MCS方法建立R1樣本值r1的篩選機(jī)制，進(jìn)而獲得fR1(r)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。

圖2所示為兩個(gè)服從相同正態(tài)分布N～(1 000,2002)的二維隨機(jī)變量Y1和Y2的t-Copula函數(shù)和Gaussian Copula函數(shù)的概率密度函數(shù)圖。其中線性相關(guān)系數(shù)ρ(Y1,Y2)分別為0.9和0.7。學(xué)生t-分布是分析下尾數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性的重要統(tǒng)計(jì)工具[28]，當(dāng)自由度df，學(xué)生t-分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。近年來，荷載效應(yīng)下尾分布敏感性受到學(xué)界越來越多重視[29]。df越小，抗力尾部敏感性越大，結(jié)果相較于Gaussian Copula差異越顯著。本節(jié)中t-Copula的自由度df分別取1和10。

(a)t-Copula, df=1, ρ(Y1,Y2)=0.7

描述隨機(jī)變量相關(guān)性的參數(shù)很多，例如Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman秩相關(guān)系數(shù)等。荷載過程的時(shí)間相關(guān)性通常采用線性相關(guān)(Pearson相關(guān))描述。若n維隨機(jī)變量的線性相關(guān)系數(shù)矩陣A已知，可由Copula函數(shù)生成一個(gè)n維隨機(jī)數(shù)矩陣，其每一行代表一個(gè)取自[0,1]上均勻分布的樣本，表示n個(gè)隨機(jī)變量分別處于自身邊緣分布中的位置。例如在圖2(c)的二維t-Copula中，對Y2的核分布估計(jì)取0.5，則t-Copula函數(shù)在Y2=0.5處垂直于“Y2核分布估計(jì)”軸的切面在xOz面上的投影即為Y1取值[0,1]的概率密度。當(dāng)ρ(Y1,Y2)增大(圖2(b)、2(d))或df減小(圖2(a))時(shí)，Y1取值為0.5的概率增大，這是基于Copula函數(shù)構(gòu)造的n維Copula隨機(jī)數(shù)矩陣工作的原理。此外，t-Copula相較于Gaussian Copula存在較厚的尾部，能更好地描述隨機(jī)變量之間的下尾部相關(guān)性。

根據(jù)Sklar定理，n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)可以分解為n個(gè)邊緣分布和一個(gè)n元Copula函數(shù)，因此服從正態(tài)分布的n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)應(yīng)當(dāng)為一個(gè)n元Gaussian Copula，但仍可采用t-Copula或其它Copula來描述。反之，Copula函數(shù)的邊緣分布函數(shù)形式亦不受限制。因此，采用Copula函數(shù)描述隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)性時(shí)，可以假設(shè)它們的邊緣分布服從類型相同的分布。

設(shè)任意兩個(gè)荷載隨機(jī)變量Si和Sj(j>i)的Pearson相關(guān)系數(shù)為ρ(Si,Sj)，Toriumi等描述了風(fēng)荷載關(guān)于時(shí)間和空間的相關(guān)性，其中時(shí)間相關(guān)系數(shù)采用指數(shù)衰減模型進(jìn)行計(jì)算：

ρ(Si,Sj)=exp[-m(tj-ti)]

(15)

式中:m為Pearson相關(guān)系數(shù)參數(shù)，m越大，荷載之間的時(shí)間相關(guān)性越弱。t的單位為年(a)。荷載效應(yīng)的類型不同，分布規(guī)律也不同。車載效應(yīng)往往表現(xiàn)為多峰分布，例如GPD(generalized pareto distribution)分布或廣義極值分布；而風(fēng)荷載的分布類型與其作用的結(jié)構(gòu)和受力構(gòu)件相關(guān)，呈現(xiàn)非正態(tài)分布特性。根據(jù)上文分析，采用Copula函數(shù)構(gòu)造隨機(jī)數(shù)矩陣，基于平穩(wěn)隨機(jī)過程，可以假設(shè)荷載效應(yīng)服從同一正態(tài)分布。雖然不夠準(zhǔn)確，但不妨礙討論荷載過程關(guān)聯(lián)性強(qiáng)弱對fR1(r)評估結(jié)果的影響。

借助Matlab程序可以構(gòu)造Gaussian Copula等5類Copula函數(shù)。本文分兩種情況來討論生成歷史荷載樣本的方法，并給出基于MCS實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)后抗力參數(shù)統(tǒng)計(jì)具體步驟。

2.1 Gaussian Copula和t-Copula函數(shù)

由于Matlab可以直接構(gòu)造n元Gaussian Copula或t-Copula函數(shù)，因此可以直接由Pearson相關(guān)系數(shù)矩陣A生成n維隨機(jī)數(shù)矩陣。為方便Monte Carlo運(yùn)算，本文將n維隨機(jī)數(shù)矩陣的行數(shù)設(shè)為1。首先，依據(jù)式(15)計(jì)算出相鄰荷載的線性相關(guān)系數(shù)并構(gòu)造系數(shù)矩陣A，采用family值為“Gaussian”或“t”的Copularnd函數(shù)構(gòu)造隨機(jī)數(shù)行向量，再通過norminv函數(shù)，根據(jù)S1的邊緣分布生成一行關(guān)聯(lián)荷載樣本值。驗(yàn)后抗力參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法如下：

步驟1對于考察期為(0,T1)的結(jié)構(gòu)，生成一個(gè)Poisson隨機(jī)數(shù)，參數(shù)為λT1。

步驟2根據(jù)初始抗力R0的分布，隨機(jī)生成一個(gè)樣本值r0。

步驟3在(0,T1)生成n個(gè)服從均勻分布的時(shí)間點(diǎn)t1,t2,…,tn，表示驗(yàn)證荷載的發(fā)生時(shí)間，其中n=λT1，且0

步驟4根據(jù)式(14)計(jì)算相鄰驗(yàn)證荷載之間的Pearson相關(guān)系數(shù)ρij=ρ(Si,Sj)。

步驟5生成n階Pearson相關(guān)系數(shù)對稱矩陣A，形如下式：

(16)

步驟6通過步驟5產(chǎn)生的Pearson相關(guān)系數(shù)矩陣A生成行數(shù)為1、列數(shù)為n的Gaussian Copula或t-Copula隨機(jī)數(shù)行向量。

步驟7通過步驟6生成的Copula隨機(jī)數(shù)行向量和荷載S1的邊緣分布，產(chǎn)生一組具備相關(guān)性的驗(yàn)證荷載樣本{s1,s2,...,sn}。

步驟8若對任意i=1,2,…,n均有r0·g(ti)>si成立，這表明結(jié)構(gòu)在(0,T1)可靠，計(jì)算rT1=r0·g(T1)；否則表示結(jié)構(gòu)在考察期失效，舍去此rT1并返回步驟1。

步驟9重復(fù)步驟1～8Q次，從得到的q次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中統(tǒng)計(jì)rT1的均值和方差。當(dāng)Q足夠大時(shí)，rT1的均值和方差即fR1(r)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，且有Pl(T1)=q/Q。

根據(jù)上述步驟，可以基于關(guān)聯(lián)荷載過程得到T1時(shí)刻更新后的抗力分布，以及結(jié)構(gòu)在(0,T1)的時(shí)變可靠度。

2.2 Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula函數(shù)

注意到，采用本文提出的Copula隨機(jī)數(shù)矩陣法，默認(rèn)了荷載發(fā)生的次數(shù)n≥2。因此若Poisson隨機(jī)數(shù)的參數(shù)較小時(shí)，需要在MCS程序中考慮n=0或n=1的情況，不再贅述。

3 實(shí)例分析

某II類環(huán)境條件鋼筋混凝土簡支梁橋，雙向四車道設(shè)計(jì)，橫斷面如圖3所示。主梁為T型梁，計(jì)算跨度20 m，截面尺寸如圖4所示?；炷翉?qiáng)度等級C40，鋼筋等級HRB335，安全等級二級。本文只考慮主梁純彎狀態(tài)適筋破壞的失效模式，可采用式(2)描述其功能函數(shù)。時(shí)變抗力R(t)以主梁跨中截面的抗彎承載力表示，對于施加于梁上的正應(yīng)力產(chǎn)生的荷載效應(yīng)S同樣以跨中截面彎矩計(jì)。若為建筑、水工或其他復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)，則需要采用非線性功能函數(shù)描述結(jié)構(gòu)的功能狀態(tài)，或建立多失效模式的串并聯(lián)模型。

圖3 橋梁半橫斷面圖(cm)

圖4 主梁尺寸與配筋(mm)

依據(jù)文獻(xiàn)[30]進(jìn)行抗彎承載力復(fù)核，可得到T梁的初始正截面抗彎承載力M0=6 050 kN·m；梁體自重產(chǎn)生的跨中彎矩為Mq=1 064 kN·m；從而得到結(jié)構(gòu)除去梁體自重的初始狀態(tài)承載力為μ(R0)≈5 000 kN·m。據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)?shù)孛磕暌挥?λ=1(1/a))的最大荷載效應(yīng)Si與R0的比值為3∶5，另設(shè)置一對照組為3∶10。鋼筋混凝土梁抗彎承載力服從對數(shù)正態(tài)分布，變異系數(shù)0.15；最大荷載效應(yīng)服從正態(tài)分布，變異系數(shù)0.2，抗力衰減函數(shù)取為g(t)=10.005t。設(shè)Ti=0，T1=20a，T=40a。首先采用本文方法對20年的時(shí)變抗力R20進(jìn)行歷史荷載驗(yàn)證，并基于驗(yàn)后R20信息對該橋梁20～40年的后繼服役期結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)行評估。所有MCS次數(shù)Q均為100萬次；t-Copula自由度參數(shù)df分別取1、2、5、10和20。

3.1R20驗(yàn)證結(jié)果

若不經(jīng)歷史荷載驗(yàn)證，通過計(jì)算分別得到μ(R20)=4 500 kN·m和σ(R20)=675 kN·m。表1和表2分別給出了m取不同值時(shí)，采用Gaussian Copula和df=1的t-Copula進(jìn)行MCS的R20驗(yàn)證結(jié)果。

表1 Gaussian Copula的R20驗(yàn)證結(jié)果

表2 t-Copula的R20驗(yàn)證結(jié)果(df=1)

表1中，對照組1采用王草提出的MCS方法，即將荷載效應(yīng)視為彼此獨(dú)立的隨機(jī)變量進(jìn)行驗(yàn)證荷載實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)組12和對照組2將m值設(shè)置的很大，以至于荷載過程的關(guān)聯(lián)性弱到可以忽略不計(jì)。通過對比實(shí)驗(yàn)組12和對照組1的結(jié)果，可以看出R20的驗(yàn)證結(jié)果十分接近，均值約為4 710 kNm，這表明了本文方法的正確性。對比實(shí)驗(yàn)組1～12，結(jié)果表明：隨著m值不斷增大，荷載過程的關(guān)聯(lián)性逐漸減弱，R20的驗(yàn)后均值不斷增大，方差逐漸減小，這表明荷載過程的關(guān)聯(lián)性與其對結(jié)構(gòu)抗力的驗(yàn)證作用成反比。荷載時(shí)間相關(guān)性越弱，驗(yàn)證作用越明顯，但結(jié)構(gòu)的失效概率越大；對照組2結(jié)果表明：驗(yàn)證荷載強(qiáng)度較低時(shí)，更新后的R20均值方差與理論衰減的情形相比幾乎沒有變化，因此在考慮歷史荷載的驗(yàn)證作用時(shí)不宜選擇太過保守的荷載強(qiáng)度。綜上，采用Gaussian Copula進(jìn)行時(shí)變抗力的參數(shù)估計(jì)時(shí)，本文提出的驗(yàn)證方法可以很好地考慮荷載關(guān)聯(lián)性強(qiáng)弱對驗(yàn)后橋梁抗力結(jié)果的影響。

由于自由度相對較小，t-Copula尾部強(qiáng)相關(guān)性特征較為明顯。當(dāng)m值相等時(shí)，采用t-Copula函數(shù)構(gòu)造隨機(jī)數(shù)行向量進(jìn)行MCS實(shí)驗(yàn)，對R20的驗(yàn)證作用應(yīng)當(dāng)比采用Gaussian Copula的要弱。對比表1和表2的數(shù)據(jù)可以證明這一點(diǎn)。例如當(dāng)m=20時(shí)，df=1的t-Copula的驗(yàn)后抗力均值比Gaussian Copula減小了94.84 kN·m，相當(dāng)于μ(R20)的2.1%；驗(yàn)后標(biāo)準(zhǔn)差增加了36.12 kN·m，相當(dāng)于σ(R20)的5.4%。這意味著在df∈[1,∞)的整個(gè)區(qū)間，當(dāng)m≤20，驗(yàn)后抗力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差變化范圍不會超過理論值的2.1%和5.4%。因此，df的取值在進(jìn)行t-Copula時(shí)變抗力參數(shù)評估時(shí)不宜取得過大，否則可直接采用Gaussian Copula；也不宜小于1，例如當(dāng)df=0.01時(shí)，m=10的驗(yàn)后均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為4 565.91 kN·m和629.83 kN·m，接近df=1時(shí)m=0.1的情形，失去參考意義。

圖5、圖6和圖7分別給出了驗(yàn)后R20均值、標(biāo)準(zhǔn)差和0—20年時(shí)變可靠度Pl(20)的比較。由圖可知，當(dāng)m值相同時(shí)，t-Copula的驗(yàn)后抗力均值較小，標(biāo)準(zhǔn)差較大，20年的可靠度較高。t-Copula的自由度越大，驗(yàn)證效果越顯著，但結(jié)構(gòu)通過歷史荷載驗(yàn)證的概率越低；由于t-Copula和Gaussian Copula都有對稱的尾部，因此當(dāng)m逐漸增大時(shí)，荷載過程的下尾部時(shí)間關(guān)聯(lián)性降低，因此驗(yàn)證作用得到增強(qiáng)，結(jié)構(gòu)失效風(fēng)險(xiǎn)也增大。t-Copula函數(shù)相較于Gaussian Copula函數(shù)的驗(yàn)證作用較弱，結(jié)果偏于保守；當(dāng)df增大時(shí)，驗(yàn)證結(jié)果逐漸接近Gaussian Copula。df=10至20的增量與df=20至Gaussian(df→∞)的增量十分接近。因此，采用t-Copula進(jìn)行基于歷史荷載的抗力驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，自由度參數(shù)df的建議取值范圍介于1～20。

圖5 R20驗(yàn)后均值對比

圖6 R20驗(yàn)后標(biāo)準(zhǔn)差對比

圖7 Pl(20)對比

3.2 時(shí)變可靠度計(jì)算結(jié)果

采用第3章提出的抗力更新方法進(jìn)行時(shí)變可靠度的MCS：在總計(jì)Q次實(shí)驗(yàn)中，記錄對任意i=1,2,…,n都有r0·g(ti)>si的次數(shù)為q，當(dāng)Q足夠大時(shí)，Pl(T)=q/Q。若考慮荷載過程為彼此獨(dú)立的隨機(jī)變量，可以通過式(9)直接進(jìn)行計(jì)算，或采用上述方式并將m設(shè)置得很大。多次實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)m值超過100時(shí)，不論采用t-Copula還是Gaussian Copula構(gòu)造隨機(jī)數(shù)行向量，采用式(9)和Q>50萬次以上數(shù)值模擬得出的可靠度結(jié)果誤差很小，因此本文取m=2 000代替式(9)進(jìn)行基于獨(dú)立平穩(wěn)荷載過程的時(shí)變可靠度計(jì)算。

圖8～圖11分別給出了不同m值時(shí)采用t-Copula函數(shù)和Gaussian Copula函數(shù)構(gòu)造隨機(jī)數(shù)行向量的結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度評估結(jié)果，驗(yàn)證了李全旺等的結(jié)論。后繼服役期的結(jié)構(gòu)抗力R20的參數(shù)分別以表1和表2的驗(yàn)證結(jié)果為準(zhǔn)，并假設(shè)后繼服役期作用于結(jié)構(gòu)的年荷載效應(yīng)最大值的均值和變異系數(shù)也分別為3 000 kN·m和0.2。其中時(shí)變失效概率Pf(T)=1-Pl(T)；可靠度指標(biāo)β為Pl(T)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的反函數(shù)值，其中后繼服役期的可靠度和時(shí)變失效概率起始時(shí)間為第20年。由圖可知，不論采用df=1的t-Copula還是Gaussian Copula，m越小、荷載過程關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)，則結(jié)構(gòu)在后繼服役期的可靠度越高，結(jié)構(gòu)越偏于安全。另外，不同m值對應(yīng)的可靠度和失效概率在重新評估后的短時(shí)期較為接近，當(dāng)采用Gaussian Copula函數(shù)時(shí)甚至存在明顯的交叉點(diǎn)，如圖9和圖11所示。在本文中，這一時(shí)期約為抗力更新后的1—2年。在交叉點(diǎn)之前，荷載關(guān)聯(lián)性越弱，結(jié)構(gòu)可靠度反而越高。這表明：對于成功服役了T1的既有橋梁結(jié)構(gòu)：(0,T1)的歷史驗(yàn)證荷載發(fā)生時(shí)間分布越偏于離散，表明荷載過程的時(shí)間關(guān)聯(lián)性越弱，越趨于彼此獨(dú)立，驗(yàn)證作用越顯著，因此結(jié)構(gòu)在T1時(shí)刻采用驗(yàn)后抗力計(jì)算的時(shí)變可靠度越高。但后繼服役期由于抗力衰減程度和荷載效應(yīng)的分布一致，可靠度由同一時(shí)期的荷載關(guān)聯(lián)性所決定。比較圖8和圖9，當(dāng)m值相同時(shí)Gaussian Copula的可靠度衰減程度明顯快于df=1的t-Copula。因此需要格外注意T1時(shí)刻抗力更新的結(jié)果。驗(yàn)證荷載時(shí)間離散程度越大，T1時(shí)刻抗力驗(yàn)證作用越顯著，后繼服役期橋梁結(jié)構(gòu)可靠度衰減越快，安全性越差，需要在未來1—2年采取適當(dāng)?shù)募庸毯途S修措施。

圖8 t-Copula構(gòu)造行向量的橋梁時(shí)變可靠度指標(biāo)(df=1)

圖9 Gaussian Copula構(gòu)造行向量的橋梁時(shí)變可靠度指標(biāo)

圖10 t-Copula構(gòu)造行向量的橋梁時(shí)變失效概率(df=1)

圖11 Gaussian Copula構(gòu)造行向量的橋梁時(shí)變失效概率

4 結(jié) 論

本文基于橋梁結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度理論，采用Copula函數(shù)構(gòu)造隨機(jī)數(shù)矩陣的方法，編寫MCS可靠度程序，討論了服從平穩(wěn)Poisson過程的荷載時(shí)間關(guān)聯(lián)性強(qiáng)弱對結(jié)構(gòu)劣化抗力更新結(jié)果的影響，并對某鋼筋混凝土簡支梁橋進(jìn)行了可靠度計(jì)算。得出了以下結(jié)論：

(1)歷史驗(yàn)證荷載的時(shí)間關(guān)聯(lián)性會降低時(shí)變抗力的驗(yàn)證效果：荷載過程的時(shí)間關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)，驗(yàn)后抗力的均值提升和標(biāo)準(zhǔn)差降低效果約不顯著。采用t-Copula函數(shù)生成隨機(jī)矩陣的驗(yàn)證效果低于Gaussian Copula。

(2)對既有橋梁結(jié)構(gòu)，歷史驗(yàn)證荷載發(fā)生時(shí)間分布越偏于離散，表明荷載過程越趨于彼此獨(dú)立，對時(shí)變抗力的驗(yàn)證效果越明顯，橋梁在后繼服役期的可靠度下降趨勢也越顯著。因此，歷史荷載強(qiáng)度和發(fā)生頻率相同時(shí)，荷載過程的時(shí)間離散程度越高，對橋梁結(jié)構(gòu)在后繼服役期的安全性能評價(jià)越不利。有必要格外關(guān)注既有橋梁抗力重新評估后1—2年內(nèi)的荷載狀況，必要時(shí)對結(jié)構(gòu)采取加固和維修措施。

(3)歷史荷載強(qiáng)度會影響當(dāng)前時(shí)刻橋梁抗力的評價(jià)結(jié)果。算例中，采用正態(tài)分布描述荷載過程時(shí)，將一年一遇的荷載均值從結(jié)構(gòu)初始抗力的30%提高到60%時(shí)，驗(yàn)后抗力R20的均值提高了約4.7%，標(biāo)準(zhǔn)差降低了約15%，但可靠度降低了0.22，增加了結(jié)構(gòu)失效的風(fēng)險(xiǎn)。因此，在役結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度評估時(shí)需采用合理的歷史驗(yàn)證荷載強(qiáng)度。

(4)采用本文提出的MCS方法，當(dāng)采用t-Copula函數(shù)生成隨機(jī)數(shù)矩陣時(shí)，自由度參數(shù)df的取值區(qū)間建議介于1～20。