基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的變截面拱面外彎扭振動(dòng)分析

劉 茂, 王忠民

(西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，西安 710048)

拱形結(jié)構(gòu)以其優(yōu)美的造型、合理的受力特點(diǎn)和相對(duì)良好的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，被廣泛應(yīng)用于土木工程、機(jī)械設(shè)備和航空航天等領(lǐng)域中。例如拱橋、吊車拱形吊臂、拱形太陽(yáng)能電板等。在工程實(shí)際中，拱形結(jié)構(gòu)截面多以變截面的形式出現(xiàn)，如拱橋則是兩端橫截面積較大，中間橫截面積較小的拱結(jié)構(gòu)。當(dāng)這種拱結(jié)構(gòu)受到側(cè)向外力作用時(shí)，會(huì)發(fā)生面外的彎扭振動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)特性研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

自19世紀(jì)以來(lái)，許多研究人員對(duì)拱的振動(dòng)問題做了大量的研究。Irie等[1]應(yīng)用傳遞矩陣法研究了兩端固定圓形和矩形橫截面的Timoshenko圓形拱的面外自由振動(dòng)特性。趙章泳等[2]研究了彈性支承對(duì)圓弧拱自由振動(dòng)特性的影響規(guī)律。Laura等[3]使用Ritz方法，研究了厚度呈線性變化并帶有集中質(zhì)量的對(duì)稱圓弧拱的自由振動(dòng)特性。Eftekhari[4]考慮了橫向剪切和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的影響，通過初值方法研究了具有均勻橫截面的圓弧拱的面外彎扭自由振動(dòng)。危媛丞等[5]使用Rayleigh-Ritz法分析了配重影響下兩端固定圓拱的面外自由振動(dòng)問題。陳耀等[6]對(duì)固接拋物線淺拱的靜力及動(dòng)力穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究?？垫玫萚7]運(yùn)用樣條有限點(diǎn)法分析了恒載效應(yīng)對(duì)拱結(jié)構(gòu)自振頻率的影響。

對(duì)變截面拱面外彎扭振動(dòng)問題，其運(yùn)動(dòng)微分方程為變系數(shù)的偏微分方程，一般的數(shù)值計(jì)算方法效率較低。1996年，Shabana首次提出了基于大變形有限元和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法(absolute nodal coordinate formulation, ANCF)，該方法選取全局坐標(biāo)系下的位置矢量及梯度作為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)大位移、大轉(zhuǎn)動(dòng)和大變形問題具有較好的適用性，并且質(zhì)量陣為常數(shù)陣，沒有科氏力和離心力的影響。Berzeri等[8]系統(tǒng)地歸納了基于歐拉-伯努利梁的平面一維梁?jiǎn)卧獜椥粤Φ谋磉_(dá)形式。李彬等[9]利用能量守恒原理驗(yàn)證了ANCF在分析大變形柔性梁系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)問題中的正確性。趙春璋等[10]基于ANCF研究了變截面梁的動(dòng)力學(xué)特性。王忠民等[11]基于ANCF分析了伸展懸臂梁的撓度響應(yīng)。李鵬飛等[12]通過對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)ANCF法對(duì)柔順機(jī)構(gòu)建模與分析更具有適應(yīng)性。張君茹等[13]討論了ANCF斜率不連續(xù)問題的解決辦法。

本文基于ANCF建立Euler-Bernoulli拱單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，應(yīng)用Lagrange方程得到變截面拱面外彎扭的運(yùn)動(dòng)微分方程，分析了兩端固定的變截面圓弧拱的面外自由振動(dòng)特性，獲得了圓弧拱中心角、半徑、高寬比以及均布徑向載荷等參數(shù)對(duì)變截面圓弧拱面外彎扭振動(dòng)的頻率的影響，最后分析了變截面拋物線型非圓弧拱的彎扭振動(dòng)特性。

1 變截面拱面外彎扭變形描述

1.1 基本假設(shè)

為便于計(jì)算，對(duì)變截面拱面外彎扭振動(dòng)模型作以下幾個(gè)基本假設(shè)：拱的面外彎扭振動(dòng)為小變形情形；材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系服從胡克定律，即材料為線彈性；拱面外彎扭變形時(shí)，其橫截面保持為平面，軸線無(wú)伸縮變形。

1.2 ANCF的單元形函數(shù)

(a)矩形變截面拱模型

在圖1(a)中，將矩形變截面拱等分為n個(gè)等弧長(zhǎng)拱單元，建立單元坐標(biāo)系osyz，se為每個(gè)單元的軸線弧長(zhǎng)，s為單元弧坐標(biāo)，如圖2所示。

圖2 拱單元模型

設(shè)拱單元軸線上任意一點(diǎn)P的面外線位移u和面外扭轉(zhuǎn)角θ的列陣表示為

(1)

式中，S(s)、N(s)是單元弧坐標(biāo)s的函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，可表示為

(2)

式中，

式中，λe=s/se。

(3)

式中，i,j為拱單元兩端的節(jié)點(diǎn)編號(hào)，e(e=1,2,3,…,n)為單元編號(hào)。

2 變截面拱面外彎扭振動(dòng)微分方程

2.1 拱單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣

設(shè)拱材料的密度為ρ，橫截面積為A(s)，則拱單元的動(dòng)能為

(5)

拱結(jié)構(gòu)面外撓曲率Ky和繞s軸的扭曲率Ks分別為[14]

(6)

式中，u′=du/ds，u″=d2u/ds2。

(7)

式中:EIy(s)為拱面外彎曲剛度；GJs(s)為扭轉(zhuǎn)剛度。

(8)

拱單元的總勢(shì)能表示為

(9)

式中，Iy(s)=b(s)3h(s)/12，Js(s)=βb(s)3h(s)，β為扭轉(zhuǎn)因數(shù)，設(shè)高寬比η=h(s)/b(s)，β與高寬比η的值有關(guān)[15]。

拱單元的剛度矩陣為

(10)

2.2 運(yùn)動(dòng)微分方程和特征方程

設(shè)q為總體節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列陣，Be為總體節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列陣q和單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列陣qe之間的轉(zhuǎn)換矩陣，則有

q=Beqe

(11)

于是，拱的總動(dòng)能和總勢(shì)能表示為

(12)

式中:M為總體質(zhì)量矩陣;K為總體剛度矩陣：

(13)

Lagrange函數(shù)為

(14)

把式(14)代入Lagrange方程

(15)

得到拱結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)微分方程

(16)

方程(16)的解設(shè)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)形式

q=Asin(ωt+φ)

(17)

式中:A為幅值列陣;ω為拱面外彎扭振動(dòng)的頻率;φ為初相位。

把式(17)代入式(16)，利用線性齊次方程非零解的充要條件，得到變截面拱面外彎扭自由振動(dòng)時(shí)的特征方程

det(K-ω2M)=0

(18)

3 算 例

3.1 矩形等截面圓弧拱

表1 兩端固定矩形等截面圓弧拱面外彎扭振動(dòng)頻率隨單元數(shù)目變化情況

圖3 兩端固定等截面圓弧拱振型圖

從表1的數(shù)據(jù)可以看出，基于ANCF計(jì)算等截面圓拱的頻率，劃分的單元數(shù)目較少時(shí)(n=4)便可得到較好的結(jié)果。隨著單元數(shù)目的增多，ANCF的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]解相對(duì)誤差逐漸變小，當(dāng)拱單元的單元數(shù)n=24時(shí)，其相對(duì)誤差僅為0.46%。從圖3可以看出，一階振型形狀近似為半波正弦曲線，二階振型近似為一個(gè)周期的正弦曲線，三階振型近似為一個(gè)半周期的正弦曲線；對(duì)于奇數(shù)階(如一階和三階振型)，對(duì)稱于圓弧拱中心角的對(duì)稱線；對(duì)于偶數(shù)階振型(如二階)，反對(duì)稱于對(duì)稱線。

3.2 矩形變截面圓弧拱

(19)

表2 兩端固定正方形變截面圓弧拱面外彎扭振動(dòng)頻率

圖4 兩端固定正方形變截面圓弧拱彎扭振型圖

由表2可以看出，計(jì)算結(jié)果與有限元解(作者用ANSYS軟件計(jì)算的結(jié)果)相對(duì)誤差較?。徽叫巫兘孛鎴A弧拱的一階頻率比以邊長(zhǎng)為hO和邊長(zhǎng)為hB的等截面圓弧拱的頻率要大，而二階、三階頻率處于兩者中間。對(duì)比圖3與圖4可以看出，等截面圓弧拱和變截面圓弧拱振型圖的形狀基本一致。

下面討論不同參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)頻率影響規(guī)律。

中心角對(duì)變截面圓弧拱的頻率的影響。在保證半徑不變、高寬比η=1的條件下，計(jì)算得到中心角對(duì)變截面圓弧拱的頻率的影響如圖5所示。

圖5 正方形變截面圓弧拱頻率隨中心角的變化關(guān)系

從圖5中可以看出，變截面圓弧拱的頻率隨著中心角的增大而減小，并且其改變對(duì)二、三階頻率影響較大，對(duì)一階頻率影響較小；隨著中心角的增加，曲線越來(lái)越平緩，說明中心角越大時(shí)，其對(duì)圓弧拱頻率的影響越小。

半徑對(duì)變截面圓弧拱頻率的影響。在保證圓心角不變、高寬比η=1的條件下，計(jì)算得到半徑對(duì)變截面圓弧拱頻率的影響如圖6所示?？梢钥闯觯l率隨著半徑的增大而減小，且其改變對(duì)二、三階頻率的影響較大，一階頻率影響較小。

圖6 正方形變截面圓弧拱頻率隨半徑的變化關(guān)系

橫截面高寬比對(duì)變截面圓弧拱的頻率的影響。在保證高度與正方形變截面圓弧拱的邊長(zhǎng)相同、圓心角和半徑不變的條件下，計(jì)算得到高寬比對(duì)變截面圓弧拱頻率的影響如圖7所示?？梢钥闯?，變截面圓弧拱的頻率隨著高寬比的增大而減小，其改變對(duì)二、三階頻率影響較大，對(duì)一階頻率影響較小。

圖7 變截面圓弧拱頻率隨高寬比變化關(guān)系

圖8 正方形變截面圓弧拱的頻率隨外載荷倍數(shù)的變化關(guān)系

3.3 矩形變截面拋物線拱

圖9 正方形變截面拋物線拱模型

(20)

其近似曲率半徑表示為

(21)

表3 兩端固定正方形變截面拋物線拱面外彎扭振動(dòng)的頻率

圖10 兩端固定正方形變截面拋物線拱彎扭振型圖

由表3可以看出，變截面拋物線拱的一階頻率比以邊長(zhǎng)為hO和邊長(zhǎng)為hB的等截面拋物線拱的頻率都要大，而二、三階頻率則處于兩者中間，這點(diǎn)與正方形變截面圓弧拱頻率的變化規(guī)律基本一致，但是拋物線拱的所有頻率數(shù)值均大于圓弧拱，振型圖基本一致。

4 結(jié) 論

(1)通過等截面圓弧拱面外彎扭振動(dòng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和已有結(jié)果對(duì)比，說明絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法是一種很實(shí)用的動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法。

(2)正方形變截面圓弧拱面外彎扭振動(dòng)振型的整體趨勢(shì)與等截面圓弧拱基本一致，但是變截面圓弧拱的一階頻率比以左端、中間的正方形作為等截面圓弧拱的一階頻率都要大，而二階、三階頻率則處于兩者中間；變截面圓弧拱振動(dòng)的頻率分別隨中心角、半徑和高寬比增大而減小，并且他們改變對(duì)二、三階頻率影響較大，對(duì)一階頻率影響較小；均布徑向載荷增大使得結(jié)構(gòu)頻率減小，其對(duì)二、三階頻率影響較小，對(duì)一階頻率影響較大。

(3)相同跨度和矢高的變截面拋物線拱與變截面圓弧拱的頻率相差不大，其前三階頻率變化規(guī)律基本一致，振型圖大致基本一致。