一種半主動負(fù)剛度動力吸振器

邢昭陽, 申永軍,2, 邢海軍, 李向紅

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機械工程學(xué)院，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，石家莊 050043)

研究人員對動力吸振器(dynamic vibration absorber，DVA)的研究已長達(dá)一個世紀(jì)之久，如今DVA已經(jīng)成為振動控制領(lǐng)域比較常見的減振器件。傳統(tǒng)的DVA[1-3]能夠有效抑制主系統(tǒng)的窄帶響應(yīng)，但是對于低頻振動和寬帶振動的控制性能卻差強人意。在機械設(shè)備的啟停過程中，很多時候會在激勵頻帶內(nèi)出現(xiàn)多個共振峰，如果不能有效抑制這種共振響應(yīng)，可能對設(shè)備的精度和使用壽命造成嚴(yán)重影響。DVA按照對外界能源的輸入需求可以分為三大類：被動式、半主動式和主動式，近些年來，學(xué)者們以低頻、寬帶、輕質(zhì)為設(shè)計理念，對三類DVA均進(jìn)行了大量研究。

由于被動式DVA結(jié)構(gòu)簡單、使用成本低，被廣泛應(yīng)用于工程實際，學(xué)者們主要從結(jié)構(gòu)方面對其進(jìn)行了優(yōu)化與改進(jìn)。盡管已有許多關(guān)于拓寬被動式動力吸振器的有效吸振頻帶的研究，但它們對結(jié)構(gòu)在激勵頻帶內(nèi)具有多個共振峰的寬頻帶振動的吸振效果依然不理想[4]。附加兩個或多個不同頻率的DVA可以拓寬系統(tǒng)的減振頻帶[5-7]，但是這會導(dǎo)致系統(tǒng)的質(zhì)量增加。Shen將負(fù)剛度應(yīng)用到DVA中，發(fā)現(xiàn)負(fù)剛度DVA能夠有效抑制系統(tǒng)響應(yīng)，具有更寬的減振頻帶和更低的諧振頻率，但是由于負(fù)剛度的特性，系統(tǒng)在低頻區(qū)的響應(yīng)會被放大[8-10]。一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)，加入放大機構(gòu)如慣容[11-13]或杠桿元件[14-15]也可以獲得寬頻帶、輕量化的DVA。主動式DVA能夠根據(jù)主系統(tǒng)的運動狀態(tài)即時調(diào)節(jié)DVA的參數(shù)[16-17]，使DVA能夠時刻處于抑制主系統(tǒng)振動的最優(yōu)狀態(tài)。雖然主動式DVA振動性能優(yōu)越，但是由于其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、能耗大、使用成本過高，且有時可能會失穩(wěn)，在工程中的應(yīng)用受到較大限制[18]。

半主動式DVA因其結(jié)構(gòu)簡單、能耗低、穩(wěn)定性好而受到研究人員的關(guān)注。Koo將基于速度和位移的控制策略引入到DVA中[19]，相比于被動式DVA大幅降低了主系統(tǒng)的振幅，但是系統(tǒng)的減振頻帶與固有頻率并沒有顯著改變。胡海巖等提出了一種半主動式DVA[20-21]，研究發(fā)現(xiàn)通過追蹤外界激勵頻率調(diào)節(jié)分段線性剛度元件的間隙，能夠拓寬DVA的工作頻帶，具有較好的減振性能。Nagarajaiah等[22]利用短時傅里葉變換，根據(jù)激勵的主頻率相應(yīng)地改變DVA的剛度或阻尼[23]，實現(xiàn)了比最優(yōu)的被動式DVA更好的減振效果。Gao等[24]研究了一種變質(zhì)量DVA，通過識別激勵頻率調(diào)節(jié)DVA的質(zhì)量，能夠在寬頻段內(nèi)有效抑制主系統(tǒng)的振動響應(yīng)。郎君等[25]將基于阻尼的開關(guān)控制策略應(yīng)用到Voigt型DVA中，數(shù)值仿真的結(jié)果表明相比于被動式DVA，半主動模型能夠顯著地提升系統(tǒng)的減振性能。在半主動控制系統(tǒng)的優(yōu)化過程中，大多數(shù)學(xué)者選擇改變阻尼實現(xiàn)擬負(fù)剛度，或者直接改變系統(tǒng)的正剛度以提高控制效果，而一些研究表明，基于負(fù)剛度的半主動控制同樣能夠提高系統(tǒng)的振動控制性能。韓超[26]將可調(diào)式電磁負(fù)剛度裝置應(yīng)用到隔振系統(tǒng)中，能夠在不改變裝置結(jié)構(gòu)的前提下改變電流以調(diào)整負(fù)剛度的大小，實驗結(jié)果表明該裝置能夠有效抑制系統(tǒng)共振峰值。郝巖[27]設(shè)計了一種分段式負(fù)剛度裝置并將其應(yīng)用到動力吸振系統(tǒng)，盡管有效降低了主系統(tǒng)共振振幅，但是卻放大了低頻區(qū)間上的響應(yīng)。

為了改善負(fù)剛度在低頻區(qū)間上對DVA性能的負(fù)面影響，本文將基于頻率識別的控制策略應(yīng)用于郝巖提出的負(fù)剛度動力吸振系統(tǒng)，通過短時傅里葉變換對外界激勵頻率進(jìn)行識別并相應(yīng)地改變系統(tǒng)的負(fù)剛度，能夠在整個頻率域上提高系統(tǒng)的振動控制性能。

1 半主動負(fù)剛度動力吸振器

1.1 動力學(xué)模型

圖1所示為半主動負(fù)剛度DVA模型，其中m1和m2、k1和k2分別代表主系統(tǒng)和DVA的質(zhì)量和剛度，k3為可調(diào)的接地負(fù)剛度裝置，其提供的負(fù)剛度數(shù)值可以連續(xù)變化，F(xiàn)0和ω分別表示激振力振幅和頻率，x1和x2分別代表主系統(tǒng)和DVA的位移。

圖1 半主動負(fù)剛度動力吸振器模型

根據(jù)牛頓第二定律可以得到該系統(tǒng)的動力學(xué)方程

(1)

引入以下參數(shù)

式(1)可化為

(2)

1.2 負(fù)剛度對被動式DVA性能的影響

本文旨在改善被動式負(fù)剛度動力吸振器(passive negative stiffness dynamic vibration absorber，PN-DVA)在低頻區(qū)域振動加劇的問題。對于圖1所示的半主動負(fù)剛度DVA，當(dāng)其接地負(fù)剛度k3確定后，該模型即轉(zhuǎn)化為圖2所示的PN-DVA，因此，有必要首先對被動式負(fù)剛度動力吸振器進(jìn)行分析。彭海波等以抑制主系統(tǒng)最大振幅為目標(biāo)，對圖2所示的PN-DVA進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，得到了其主系統(tǒng)的振幅放大因子、最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)負(fù)剛度比。該模型主系統(tǒng)的振幅放大因子A1為

圖2 被動式負(fù)剛度動力吸振器

(3)

其中

頻率比ν、阻尼比ξ和負(fù)剛度比α的最優(yōu)值分別為

(4)

圖3給出了PN-DVA與傳統(tǒng)模型在簡諧激勵下的減振性能對比。在低頻區(qū)域和共振區(qū)域內(nèi)，負(fù)剛度的存在與否對DVA的性能產(chǎn)生了完全相反的影響：在低頻區(qū)域內(nèi)，不含負(fù)剛度的傳統(tǒng)模型減振效果好；在共振區(qū)域附近，PN-DVA的減振性能更好。因此，如果可以隨著外界激勵頻率的變化相應(yīng)地改變負(fù)剛度k3的數(shù)值，就可以進(jìn)一步提高負(fù)剛度DVA的減振性能。

圖3 不同模型的減振性能對比

1.3 on-off控制策略

由于在低頻區(qū)和共振區(qū)內(nèi)，負(fù)剛度對DVA的性能影響截然不同，本文提出一種開關(guān)(on-off)負(fù)剛度控制策略，其形式為

(5)

接下來具體討論on狀態(tài)下的負(fù)剛度取值以及on-off狀態(tài)切換的臨界頻率。由于接地負(fù)剛度裝置并不會影響系統(tǒng)的承載能力，因此在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，負(fù)剛度的最大值即為該系統(tǒng)的最優(yōu)負(fù)剛度。為了最大限度地降低吸振系統(tǒng)的固有頻率，應(yīng)該使PN-DVA中的負(fù)剛度值盡可能取最大，因此，在本文模型中負(fù)剛度k3的最大值為

k3max=k2αopt

(6)

選取主系統(tǒng)參數(shù)m1=40 kg、k1=1 600 N/m、質(zhì)量比μ=0.1，則由式(4)可以得到νopt=1.408 5，ξopt=0.356 2，αopt=-0.705 9，在負(fù)剛度不同時，本文模型主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 不同負(fù)剛度時減振性能對比

從圖4中可以看出隨著負(fù)剛度數(shù)值從k3max降低到0的過程中，在左側(cè)低頻區(qū)域內(nèi)，當(dāng)k3=0時本文模型的減振性能達(dá)到最優(yōu)；在共振區(qū)域內(nèi)，當(dāng)k3=k3max時能夠更好地抑制主系統(tǒng)振動；在高頻區(qū)域內(nèi)，負(fù)剛度數(shù)值的改變對減振性能的影響很小。因此，根據(jù)激勵頻率的變化使負(fù)剛度k3在0與k3max之間進(jìn)行切換，可以使本文模型的減振性能達(dá)到最優(yōu)。

k3=0和k3=k3max時主系統(tǒng)的幅頻曲線如圖5所示，M和N點是兩條幅頻曲線的交點，從圖中可以很明顯得出結(jié)論：當(dāng)外界激勵與主系統(tǒng)的頻率之比滿足λ<λM和λ>λN時，在負(fù)剛度k3=0的情況下動力吸振器的減振性能更好；當(dāng)λM<λ<λN時，在負(fù)剛度數(shù)值k3=k3max的情況下動力吸振器的共振峰值更低，具有更好的減振效果。

圖5 主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線

M點與N點處的頻率比λM和λN可以令k3=0和k3=k3max時的振幅放大因子相等得到，即

A1|k3=0=A1|k3=k3max

(7)

由f=ω/2π和λ=ω/ω1可以得到外界激勵頻率f與歸一化的頻率比λ的關(guān)系

f=λω1/2π

(8)

于是本文提出的開關(guān)(on-off)控制策略為

(9)

為了闡述該控制策略具體的實現(xiàn)方式，圖6給出了系統(tǒng)的工作原理圖。受到激勵源作用的主系統(tǒng)會產(chǎn)生振動，附著于主系統(tǒng)上的位移傳感器會將主系統(tǒng)的振動情況傳遞給數(shù)據(jù)采集儀，隨后數(shù)據(jù)處理模塊會將采集到的信號進(jìn)行時頻分析并將信號的主頻率與系統(tǒng)的臨界頻率(M、N兩點的頻率)比較，最后根據(jù)on-off控制策略利用控制器實現(xiàn)負(fù)剛度的切換。

圖6 系統(tǒng)工作原理圖

2 時頻分析

1.3節(jié)中提出的on-off控制策略，其關(guān)鍵在于主系統(tǒng)振動過程中能夠及時地識別外界激勵頻率。在實際工程中，許多激勵信號嚴(yán)格來說都是非平穩(wěn)的，短時傅里葉變換能夠揭示信號頻率隨時間的分布規(guī)律，其基本思想是將一個時間信號分解為若干個小的時間段(假設(shè)每一時間段內(nèi)的信號是平穩(wěn)的)，然后利用傅里葉變換對每個時間段進(jìn)行分析，確定信號在每個時間段內(nèi)的頻率。使用短時傅里葉變換對信號進(jìn)行時頻分析的步驟如下：

步驟1將激勵信號x(τ)與一個窗函數(shù)h(τ-t)相乘

(10)

式中:窗函數(shù)選擇漢寧窗，t是窗口中心時間，τ是信號的運行時間。

(11)

(12)

步驟3計算信號的主頻率

通過短時傅里葉變換得到信號在t時刻的瞬時頻率ωi

ωi={ω|P(ti,ω)=max{P(ti,ω)}}

(13)

由于短時傅里葉變換的窗函數(shù)受到Heisenberg測不準(zhǔn)原理的限制，不能夠同時使時間和頻率分辨率達(dá)到最優(yōu)。在m(m=20)個步長內(nèi)對測得的瞬時頻率取平均值，可以從一定程度上減小這種偏差，最終得到信號的主頻率ωd

(14)

現(xiàn)以一個非平穩(wěn)信號為例，對其進(jìn)行時頻分析。如圖7所示，構(gòu)造了最大振幅為10 N的非平穩(wěn)隨機力激勵信號，它由5 000個數(shù)據(jù)點組成，時間歷程為50 s，在5～15 s，20～30 s，35～45 s內(nèi)頻率分別為3 Hz，6 Hz和9 Hz，其余時間段內(nèi)激勵為零。通過短時傅里葉變換對該信號進(jìn)行分析(窗函數(shù)采用漢寧窗)，得到其時頻分布三維圖和等高線圖分別如圖8(a)和8(b)所示。

圖7 非平穩(wěn)信號

由圖8(a)和圖8(b)可以看出激勵信號明顯存在三種頻率分量，其能量主要集中于3 Hz，6 Hz和9 Hz，各自對應(yīng)的時間分布在5～15 s，20～30 s，35～45 s內(nèi)，與圖7中構(gòu)造的非平穩(wěn)激勵信號特征高度吻合。圖9給出了更具體的時頻分布規(guī)律，從圖中可以看出由短時傅里葉變換得到的信號主頻率與實際頻率較為吻合，在時間分布上的偏差也很小。因此，本文模型對于負(fù)剛度的on-off控制，可以通過短時傅里葉變換實現(xiàn)。

(a)三維圖

圖9 非平穩(wěn)信號的時間頻率分布圖

3 數(shù)值仿真與模型對比

3.1 數(shù)值仿真

對于1.3節(jié)中提出的on-off負(fù)剛度控制策略，倘若外界激勵頻率的變化不會觸發(fā)開關(guān)狀態(tài)的切換，系統(tǒng)的負(fù)剛度值也不會發(fā)生變化，在此期間內(nèi)模型實際上是一個被動式DVA。因此，根據(jù)式(3)和式(9)可以得到主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線的解析解。選取計算時間500 s，利用四階榮格庫塔法可以得到主系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解，選取穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的最大值并進(jìn)行歸一化處理，從而得到主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解與解析解曲線如圖10所示，圖中解析解由實線表示，數(shù)值解由圓圈表示，解析解與數(shù)值解高度吻合，說明本文提出動力吸振器能夠達(dá)到理論分析的減振性能。

圖10 解析解與數(shù)值解對比

3.2 與其它模型對比

3.2.1 簡諧激勵下的響應(yīng)對比

為了驗證本文提出的動力吸振器的減振性能，在主系統(tǒng)受到簡諧激勵時，將本文模型與Den Hartog提出的Voigt型DVA和 Shen提出的PN-DVA和半主動控制Voigt模型(semi-active voigt DVA，SV-DVA)[25]進(jìn)行了對比。選取質(zhì)量比μ=0.1，各個模型在最優(yōu)參數(shù)下的幅頻曲線如圖11所示。通過對比發(fā)現(xiàn)本文模型不僅拓寬了DVA的減振頻帶，衰減了共振區(qū)域的振幅，而且有效抑制了主系統(tǒng)在低頻區(qū)間內(nèi)的響應(yīng)。雖然在主系統(tǒng)固有頻率附近SV-DVA模型的振動響應(yīng)更小，但是本節(jié)模型能夠在整個頻率域上降低系統(tǒng)的最大振幅。

圖11 與其它動力吸振器對比

3.2.2 非平穩(wěn)激勵下的響應(yīng)對比

在實際生產(chǎn)過程中，系統(tǒng)所受的激勵一般是非平穩(wěn)的，因此有必要進(jìn)一步對非平穩(wěn)激勵下的主系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行研究。在圖7中的非平穩(wěn)激勵作用下得到了本文模型與其它兩種模型的主系統(tǒng)響應(yīng)曲線，如圖12所示，圖12(a)為主系統(tǒng)的實際位移曲線，圖12(b)為主系統(tǒng)位移響應(yīng)的包絡(luò)線。

從圖12中可以看出，本文提出的基于開關(guān)控制的負(fù)剛度DVA在低頻段比PN-DVA減振性能更好；在共振頻段附近與傳統(tǒng)的Voigt模型相比具有明顯的優(yōu)勢；在高頻段也能夠達(dá)到比其它兩種模型更好的振動控制效果。因此，本文模型在能夠在整個頻率域內(nèi)有效抑制主系統(tǒng)的振動幅值。

(a)位移響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

提出了一種基于開關(guān)(on-off)控制的半主動負(fù)剛度動力吸振器模型，可以根據(jù)外界激勵頻率的變化控制負(fù)剛度在on與off兩種狀態(tài)之間進(jìn)行切換。本文模型集合了傳統(tǒng)模型與被動負(fù)剛度模型的優(yōu)點，克服了被動負(fù)剛度模型在低頻區(qū)域內(nèi)加劇系統(tǒng)振動的缺陷，在簡諧激勵和非平穩(wěn)激勵作用下均表現(xiàn)出良好的減振性能，能夠在整個頻率域內(nèi)有效抑制系統(tǒng)振動。