一道根式線性和最小值問題的探究

重慶市兩江中學(xué)校(401120)鄧元潔 彭鋒

2020年俄羅斯奧林匹克不等式試題如下:

這是一道四個二次根式線性和最小值問題,文[1]介紹了用對稱原理和平衡狀態(tài)分析思考數(shù)學(xué)問題;筆者從“層次對稱”和巧妙利用取等號條件,配系數(shù)等方法破解此題.

分析求四個二次根式的線性和的最小值,一看就知道本題不簡單,用純代數(shù)的方法求解肯定行不通,應(yīng)該考慮化歸思想綜合運(yùn)用多種方法求解.從式子的結(jié)構(gòu)我們聯(lián)想到兩點間的距離公式,于是建立平面坐標(biāo)系,將式子轉(zhuǎn)化為形,數(shù)形結(jié)合,借形解數(shù).

解析在直角坐標(biāo)系Oxy中,設(shè)P(x,y),A(1,0),B(1,1),C(0,1),由兩點間的距離公式將所求式子轉(zhuǎn)化為線性和得M=3PO+5PB+下面用地位平等對稱的數(shù)學(xué)思想來思考問題切入求解.

如上圖1,注意到邊長為1 的正方形OABC的四個頂點對于動點P來說地位平等對稱,要使M取最小值,故應(yīng)該考慮系數(shù)較大的線性之和最小.根據(jù)地位平等對稱的原則,將系數(shù)最大的5PB拆分,一共分為三組(即三個層次)每組的系數(shù)和相等,要使總和最小,則系數(shù)最大的線段和應(yīng)該最小,于是有如下解法.

圖1

解法1(三角法,用正弦定理解三角形求解)設(shè)∠OPA=θ∈[0,π],在ΔPAB中,由正弦定理可得:

圖2