關(guān)注多元表征 注重模型建構(gòu)

錢兆蘭 王建榮

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊第六單元第62～63頁例5、“練一練”。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生結(jié)合具體問題情境，在解決問題的過程中經(jīng)歷探索乘法分配律的過程，建構(gòu)相應(yīng)模型，理解、掌握并運(yùn)用乘法分配律。

2.使學(xué)生在觀察、比較、分析、抽象和概括等活動過程中，發(fā)展推理能力，增強(qiáng)符號意識，體會數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)、簡潔，感悟模型思想。

3.使學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動的過程中，獲得學(xué)習(xí)成功的體驗，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解、掌握并運(yùn)用乘法分配律。

【教學(xué)難點(diǎn)】

從現(xiàn)實背景中抽象概括出乘法分配律，建構(gòu)、感悟模型。

【課前思考】

“乘法分配律”是乘法、加法混合運(yùn)算定律，是多位數(shù)乘法和有關(guān)簡便運(yùn)算的理論依據(jù)，是中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)合并同類項、提取公因式等知識的基礎(chǔ)，是乘法運(yùn)算定律教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

綜觀各版本教材，例題情境圖都貼近生活實際，隱含模型特征，試圖引領(lǐng)學(xué)生在解決問題的過程中，通過分析數(shù)量關(guān)系，認(rèn)識到“乘法的意義”是乘法分配律的核心本質(zhì)，認(rèn)識乘法分配律并建立模型。我們跳出“僅關(guān)注得數(shù)相等結(jié)論”的局限，關(guān)注“數(shù)”“形”“數(shù)量關(guān)系”“生活實際”的緊密結(jié)合，在課堂教學(xué)中充分引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷計算結(jié)果、情境表征、幾何表征、符號表征和意義表征的探究過程，通過不同形式的數(shù)學(xué)表征，從“乘法的意義”“乘法分配律的基本形式”兩方面對乘法分配律展開立體多維式探究，從幾何直觀角度為學(xué)生從本質(zhì)上理解乘法分配律提供清晰形象的模型支撐。

【教學(xué)過程】

教師進(jìn)行課前談話：愛好旅游的一家人，常用相機(jī)記錄下美好的瞬間。出示合影照片（孩子在中間，爸爸媽媽在兩邊，各用一只手緊緊牽著孩子），如果你是照片中的小朋友，從爸爸媽媽緊緊牽著自己的手能感受到什么？

學(xué)生交流感受：爸爸愛我！媽媽愛我！爸爸媽媽都愛我！兩句話合成一句話來說意思一樣，數(shù)學(xué)上也有這樣類似的表達(dá)。

一、情境導(dǎo)入，探究新知

師：學(xué)校器材室新到了一批普通籃球和花色籃球，仔細(xì)看圖1，你知道了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：上面3層普通籃球，下面2層花色籃球，每層6個。

師：會列式解決“柜子里兩種籃球一共有多少個？”這個問題嗎？

[教師鼓勵學(xué)生說兩道綜合算式：3×6+2×6和（3+2）×6]

師：這兩道算式可以用等號連接嗎？

師：不計算，看這兩個式子本身，能說明相等嗎？

生：能，都表示求5個6是多少，乘法的意義很清楚。

師：觀察（3+2）×6=3×6+2×6，等式兩邊的式子有什么聯(lián)系？

師：右邊式子是怎么從左邊式子得來的？

生：左邊式子括號里的3和2分別與6相乘，再相加。

師：表達(dá)得真清楚，3+2的和乘6，可以寫成3和2分別與6相乘再相加，結(jié)果不變。

師：為便于保管，管理員老師給柜子裝上了柜門（出示圖2），請看數(shù)據(jù)。

柜門的面積一共是多少平方分米？能列綜合算式解決這個問題嗎？

思考1：不計算，看這個圖你還能說明左右兩個式子相等嗎？

思考2：圖轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)（課件演示），你還能看懂左右兩個式子相等嗎？

師生交流后認(rèn)為：旋轉(zhuǎn)后的圖形也能說明左右兩個式子相等。15×20求的是（ ），10×20求的是（ ），它們加起來算出了（ ），（15+10）×20算的也是（ ）。

師：我們又得到了一組等式，看一看，它和上面一組等式是一樣嗎？

師生交流后認(rèn)為：兩組等式左右兩邊有著相同的聯(lián)系。

【思考】情境引入，問題先行，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗來解決問題，在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題，引發(fā)思考，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索新知識的心理需求。借助情境，“數(shù)”“形”“數(shù)量關(guān)系”“生活實際”緊密結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，初步建構(gòu)乘法分配律知識模型。

二、觀察舉例，明理建模

師：像這樣有聯(lián)系的式子你能寫出幾組嗎？

（師生嘗試共寫）

師：左邊式子是“（6+2）×4=（ ）”，你能寫出右邊式子嗎？

生：6×4+2×4。

師：如果知道右邊式子是“（ ）=89×10+11×10”，左邊呢？

生：（89+11）×10。

師：剛寫出的兩組式子符合上面等式左右兩邊式子的聯(lián)系特征嗎？

師：像這樣的算式你能再寫一些嗎？請在自己的本子上寫一組。

（學(xué)生集體交流）

師：這樣的算式寫得完嗎？

師：黑板上面兩組等式，我們剛才用不同方法解釋了它們左右兩邊式子是相等的，剛寫出的算式左右兩邊的式子是不是也相等呢？

教師相機(jī)出示活動要求：

1.從列舉的式子中任選一組算式寫在學(xué)習(xí)單上。

2.用你喜歡的方法說明選擇的算式左右兩邊是否相等。

3.和同桌交流你的想法。

（學(xué)生自主活動、交流，師相機(jī)指導(dǎo)）

生：我選的算式是（6+2）×4=6×4+2×4，我用“計算”“點(diǎn)子圖”的方法說明了兩邊式子相等。

生：我選的算式是……我用“計算”和“乘法意義”說明。

生：我選的算式是……我用“計算”和“長方形圖”來說明。

師：同學(xué)們很會思考，用多種方法說明了這些算式左右兩邊是相等的。大家選擇的算式左右兩邊有沒有不相等的？

師（小結(jié)）：像這樣有聯(lián)系特征的算式左右都是相等的。

【思考】在學(xué)生初步感知乘法分配律的意義和基本形式、初步建構(gòu)知識模型的基礎(chǔ)上，教師由扶到放讓學(xué)生舉例寫相同聯(lián)系特征的一組算式，引導(dǎo)學(xué)生自主用計算結(jié)果、情境表征、幾何表征、符號表征和意義表征等多種方法驗證說明，充分經(jīng)歷探究過程，進(jìn)一步感知認(rèn)識乘法分配律的意義和基本形式，實現(xiàn)對乘法分配律知識模型的再建構(gòu)。

三、觀察比較，抽象概括

師：橫著觀察這些等式，剛才已發(fā)現(xiàn)它們左右兩邊式子有聯(lián)系。

師：豎著觀察這些等式，先看它們左邊的式子有什么特征，再看右邊式子是怎樣從左邊式子得來的。

生：左邊的式子都是兩個數(shù)的和乘一個數(shù)，右邊式子都是左邊式子括號里的兩個加數(shù)分別和括號外面的數(shù)相乘，再相加。

師：這里蘊(yùn)含著一個規(guī)律，同學(xué)們用自己的話把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在小組里說一說。

（學(xué)生小組交流）

師：一起來看教材中“小番茄”是怎么說的。

師：大家發(fā)現(xiàn)的是數(shù)學(xué)中的一個重要規(guī)律——乘法分配律。

師：前面學(xué)習(xí)加法、乘法的交換律和結(jié)合律時，都用了字母式子表示，如果用字母a、b、c分別表示三個數(shù)，乘法分配律可以怎樣寫？

（教師板書字母式子）

師：用自己的話說說這個字母式子表示的意思。

師：你是怎么理解乘法分配律里面“分配”兩個字的？

（學(xué)生交流，教師板書添加兩條弧線，引導(dǎo)學(xué)生感受“分別乘，再相加”）

【思考】教師組織、引導(dǎo)學(xué)生對寫出的等式進(jìn)行再觀察、再比較，用自己的語言描述、歸納其中的規(guī)律，進(jìn)一步深化對乘法分配律的理解，讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示乘法分配律的過程，感悟模型思想及數(shù)學(xué)符號的簡潔，培養(yǎng)符號意識。

四、分層練習(xí)，靈活運(yùn)用

1.“練一練”第1題（略）。

2.橫著看，在得數(shù)相同的算式后面畫“√”。

（28+16）×7=28×7+16×7??????????????? （）

（5×4）×17=5×17+4×17?????????????????? （）

40×50+60×90=（40+60）×90???????? （）

74×99+74=74×（99+1）????????????? （）

師：最后一組式子的兩個算式，如要計算，你選哪一個？為什么？

生：74×（99+1），因為計算簡便。

師：簡便運(yùn)算在以后的學(xué)習(xí)中我們將進(jìn)一步探究。

【思考】教師引導(dǎo)學(xué)生填空，從不同角度做出解釋，幫助學(xué)生更好地把握乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵，初步體驗應(yīng)用乘法分配律可以使一些計算簡便，為今后學(xué)習(xí)有關(guān)的簡便計算做鋪墊。

五、回顧小結(jié)，鏈接拓展

師：回顧一下，今天我們是怎樣認(rèn)識乘法分配律的？

生：在解決問題過程中，看到一個數(shù)學(xué)現(xiàn)象→舉出了更多的例子→用不同的方法進(jìn)行了解釋說明→歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律→用符號表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

師：在學(xué)習(xí)生活中我們經(jīng)常要用這樣的方法進(jìn)行探索研究。

師：今天學(xué)習(xí)的乘法分配律是兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再相加。如果括號里是三個或更多個數(shù)相加的和，乘法分配律還適用嗎？如果括號里的加法換成減法呢？

師：有興趣的同學(xué)課后可以用我們剛才學(xué)習(xí)的方法繼續(xù)研究。

【思考】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧整節(jié)課，一起探究學(xué)習(xí)乘法分配律的全過程，幫助學(xué)生對乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵進(jìn)行整體性把握，同時給學(xué)生以方法的指引。

【反思】

本節(jié)課教師以學(xué)生為主體，在充分研讀、理解教材編排意圖的基礎(chǔ)上，對教材進(jìn)行了適度改編，從“柜子里兩種籃球一共有多少個”“柜門的面積一共是多少平方分米”兩個問題入手展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法（列不同綜合算式）解決實際問題，得出具備乘法分配律意義特征的等式，繼而展開探究。

一、做到形神兼?zhèn)?，多維度理解規(guī)律

在教學(xué)中，我們往往只重視乘法分配律的概括和歸納，只注意了乘法分配律的“形”。在本節(jié)課中，教師更加重視乘法分配律的意義的理解和建構(gòu)，特別是學(xué)生的自主建構(gòu)。在探索、練習(xí)等多個環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生解釋和驗證，防止出現(xiàn)“（5×4）×17=5×17+4×17”這樣的錯誤，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注乘法分配律的“神”。教師安排了多個算式讓學(xué)生觀察、對比、討論，結(jié)合已有的知識和經(jīng)驗，進(jìn)行多維度理解，扎實掌握所學(xué)知識。

二、關(guān)注數(shù)學(xué)表征，實現(xiàn)意義建構(gòu)

在教學(xué)中，教師從生活情境入手，安排了籃球圖、長方形面積計算等，讓學(xué)生認(rèn)識、感悟數(shù)學(xué)的多種表征方法，在豐富學(xué)生思維的同時，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實際，嘗試自主運(yùn)用多樣的方法來解釋說明算式是否相等，加強(qiáng)對算式意義的理解，為乘法分配律的建構(gòu)提供意義支撐。豐富的學(xué)習(xí)材料，不同的數(shù)學(xué)表征方法，幫助學(xué)生自然、成功地建構(gòu)了乘法分配律的意義模型，促進(jìn)了學(xué)生對乘法分配律的理解。

三、培養(yǎng)模型思想，積累活動經(jīng)驗

乘法分配律是重要的數(shù)學(xué)模型，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)知識的基礎(chǔ)。由于它包含兩級運(yùn)算，變式較多，學(xué)生理解掌握較為困難。針對難點(diǎn)，教師以建模為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從問題解決，到具體數(shù)據(jù)的討論，再上升到規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與歸納，最終形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。課的最后，師生一起回顧了整節(jié)課探究學(xué)習(xí)乘法分配律的全過程，梳理探究學(xué)習(xí)的一般過程和常用方法，學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)亦水到渠成，讓學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)生活中，探索研究類似知識有了可參考的經(jīng)驗和路徑。

（作者單位：江蘇省鹽城市新河實驗小學(xué)）