單元教學(xué)視域下的數(shù)學(xué)新授課設(shè)計(jì)理念

【摘 要】學(xué)科核心素養(yǎng)的提出為課堂教學(xué)帶來了新的挑戰(zhàn)。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)新授課教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要立足單元教學(xué)，關(guān)注相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容在不同課時(shí)教學(xué)之間的整體設(shè)計(jì)，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、蘊(yùn)含的思想以及學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。研究者以“同底數(shù)冪的除法”教學(xué)為例，闡述單元教學(xué)視域下的數(shù)學(xué)新授課的設(shè)計(jì)理念：形成結(jié)構(gòu)式的知能系、生成啟發(fā)式的問題鏈、設(shè)計(jì)進(jìn)階式的活動(dòng)序。

【關(guān)鍵詞】單元教學(xué);知能系;問題鏈;活動(dòng)序;核心素養(yǎng)

【作者簡介】徐賢凱，高級(jí)教師，上海市青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)東校區(qū)數(shù)學(xué)教研組組長，青浦區(qū)初中數(shù)學(xué)學(xué)科兼職教研員，上海市雙名工程“攻關(guān)計(jì)劃”后備人選。 數(shù)學(xué)素養(yǎng)是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育研究的一項(xiàng)重要課題，學(xué)科核心素養(yǎng)的提出為課堂教學(xué)帶來了新的挑戰(zhàn)[1]。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是一個(gè)預(yù)設(shè)與生成相結(jié)合的過程，而教學(xué)設(shè)計(jì)是預(yù)設(shè)的主要形式表現(xiàn)[2]。但在實(shí)際教學(xué)中，很多教師往往只關(guān)注單一課時(shí)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)，而容易忽視不同課時(shí)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，缺少立足于單元教學(xué)視域的教學(xué)設(shè)計(jì)。相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容在不同課時(shí)教學(xué)之間缺乏整體設(shè)計(jì)，以單元、主題、模塊為單位的結(jié)構(gòu)化研究與實(shí)踐關(guān)注的較少，不利于學(xué)生形成完整的知識(shí)鏈條和結(jié)構(gòu)體系，不利于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展[3]。單元教學(xué)倡導(dǎo)在單元整體內(nèi)容中把握教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、蘊(yùn)含的思想以及學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，對(duì)拓展教師教學(xué)視野，提高教學(xué)效益具有重要作用。筆者以滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)第一學(xué)期“同底數(shù)冪的除法”教學(xué)為例進(jìn)行研究。

一、形成結(jié)構(gòu)式的知能系

每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立存在的，它們之間存在著一定的邏輯性和關(guān)聯(lián)性。教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的梳理，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已學(xué)的知識(shí)、后續(xù)需要學(xué)習(xí)的知識(shí)之間的聯(lián)系。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和初中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容分布，梳理學(xué)科、單元、單課的三級(jí)結(jié)構(gòu)式知識(shí)體系，厘清學(xué)習(xí)內(nèi)容的知識(shí)脈絡(luò)，建立具有結(jié)構(gòu)式相關(guān)聯(lián)的知識(shí)體系。同時(shí)，厘清數(shù)學(xué)知識(shí)背后所隱含的數(shù)學(xué)思想與方法，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力要求，在日常的教學(xué)過程中有意地加以落實(shí)，形成具有結(jié)構(gòu)和相關(guān)聯(lián)的知能體系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的價(jià)值。

（一）關(guān)注教材單元的前后關(guān)聯(lián)

基于單元教學(xué)視域的知識(shí)梳理，教師要根據(jù)教材中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的編排，將幾節(jié)內(nèi)容組成教材單元，不僅要關(guān)注本節(jié)教學(xué)內(nèi)容在該單元下的教學(xué)地位，還要關(guān)注同一教材單元下的幾節(jié)課之間的前后關(guān)聯(lián)，從單元教學(xué)的視角分析這一單元的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)。

從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的編排來看，“同底數(shù)冪的除法”“單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”“多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”都屬于“整式的除法”這一單元的內(nèi)容。本單元的主要問題是如何進(jìn)行整式的除法。

要解決“多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”的問題，比如計(jì)算（9a6-6a4+12a3）÷3a3時(shí)，就需要先解決“單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”9a6÷3a3的問題;要解決“單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”的問題，就需要先解決“同底數(shù)冪的除法”的問題。本單元的三節(jié)內(nèi)容其實(shí)就是一個(gè)逐步轉(zhuǎn)化深入的過程（如圖1）。整式的除法法則是以冪的運(yùn)算性質(zhì)為基礎(chǔ)的，所以學(xué)好本單元內(nèi)容的關(guān)鍵是正確掌握冪的除法運(yùn)算性質(zhì)。理解冪的除法運(yùn)算和其指數(shù)運(yùn)算間的聯(lián)系是學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容的難點(diǎn)。

（二）厘清學(xué)習(xí)專題單元的前后關(guān)聯(lián)

由于數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性，在編排教學(xué)內(nèi)容時(shí)需按照一定的章節(jié)順序開展教學(xué)。但在教學(xué)中，教師需從中觀的視角跨單元、跨章節(jié)地對(duì)本節(jié)知識(shí)所關(guān)聯(lián)的內(nèi)容進(jìn)行研究，抓住這些跨單元、跨章節(jié)的核心問題，以問題解決活動(dòng)為主線進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)“整式”這一章分為“整式的概念”“整式的加減”“整式的乘法”“乘法公式”“因式分解”“整式的除法”六個(gè)單元。其中整式的加減、乘法、除法都屬于整式的運(yùn)算。而“同底數(shù)冪的乘法”“同底數(shù)冪的除法”“整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算”這三節(jié)課分別屬于第九章“整式的乘法”“整式的除法”和第十章分式下的“分式的運(yùn)算”的教學(xué)內(nèi)容，雖然這三節(jié)課不屬于同一個(gè)教學(xué)單元，但這三節(jié)課完整展現(xiàn)了整數(shù)指數(shù)冪從正整數(shù)的和的運(yùn)算到正整數(shù)的差的運(yùn)算，最后到整數(shù)的逐步擴(kuò)展的過程。整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則的符號(hào)表述，以及為了讓運(yùn)算法則在更廣范圍內(nèi)適用而做的規(guī)定都是與這三節(jié)教學(xué)內(nèi)容有關(guān)聯(lián)的，而研究這兩點(diǎn)有助于學(xué)生深度理解知識(shí)。因此，在設(shè)計(jì)“同底數(shù)冪的除法”這一課時(shí)的教學(xué)時(shí)，就不能孤立的來看，需要關(guān)注這三節(jié)課的前后關(guān)聯(lián)。教師可以從以下這兩方面設(shè)置探究性問題，形成學(xué)習(xí)小專題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

1.法則的符號(hào)表述

這三節(jié)課在運(yùn)算法則的符號(hào)表述上是有一定區(qū)別的，教師在進(jìn)行“同底數(shù)冪的除法”這一課的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要關(guān)注三個(gè)法則表述的不同。

①同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=am+n（m、n都是正整數(shù)）。

②同底數(shù)冪的除法法則：am÷an=am-n（m、n都是正整數(shù)，且m>n，a≠0）。

③整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算：am·an=am+n（m、n為整數(shù)，a≠0）。

從以上式子可以看出，②式的學(xué)習(xí)可以由①式類比、猜想、論證得到，而③式是對(duì)①②式的推廣。值得注意的是，③式并沒有再給出新的同底數(shù)冪的除法法則am÷an=am-n（m、n為整數(shù)，a≠0），因?yàn)閍m·an=am+n已包含了同底數(shù)冪的除法法則，這里m、n為整數(shù)。

在這三節(jié)課的教學(xué)過程中，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的乘法法則，有了一定的冪的運(yùn)算的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，因此比較容易理解從乘法到除法的運(yùn)算。而對(duì)于字母m、n取值的限制是與之前的同底數(shù)冪的乘法有區(qū)別的，這是在后兩節(jié)課的教學(xué)中需要關(guān)注的地方。厘清三節(jié)課的區(qū)別與聯(lián)系，有利于培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S。

2.兩種規(guī)定的由來

為了讓運(yùn)算法則能在更廣的范圍內(nèi)使用，“同底數(shù)冪的除法”“整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算”都對(duì)一些特殊情況做了規(guī)定。在教學(xué)“同底數(shù)冪的除法”這一課的內(nèi)容時(shí)，教師需關(guān)注以下規(guī)定的由來。

①同底數(shù)冪的除法：a0=1（a≠0）。

②整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算：a-p=1ap（a≠0，p是自然數(shù)）。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察同底數(shù)冪的除法法則am÷an=am-n（m、n都是正整數(shù)，且m>n，a≠0），并引發(fā)學(xué)生思考：m是否可以不大于n，即當(dāng)m=n時(shí)會(huì)怎么樣？當(dāng)m

事實(shí)上，這就產(chǎn)生了上述的兩個(gè)規(guī)定。

①當(dāng)m=n時(shí)，根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則am÷an=am÷am=am-m=a0，由除法的意義可得am÷am=1。要使這兩種不同的計(jì)算方法所得的結(jié)果一樣，于是就產(chǎn)生了如下規(guī)定：任何不等于零的數(shù)的零次冪為1，即a0=1（a≠0）。為幫助學(xué)生理解和應(yīng)用此規(guī)定，在教學(xué)中，教師讓學(xué)生體會(huì)這樣的過程是很有必要的。同時(shí)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)②式也起到鋪墊作用。

②當(dāng)m

綜上所述，m、n可以擴(kuò)展為整數(shù)指數(shù)冪。

二、生成啟發(fā)式的問題鏈

按知能內(nèi)容體系生成學(xué)生學(xué)習(xí)問題，根據(jù)初中數(shù)學(xué)各模塊的學(xué)習(xí)要求，形成數(shù)學(xué)學(xué)科整體的核心問題為第一層級(jí)問題，將整體性的問題分解成與學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)科單元的主干問題為第二層級(jí)問題，在此基礎(chǔ)上深入研究各單元下每節(jié)課的學(xué)習(xí)的關(guān)鍵問題為第三層級(jí)問題，這三個(gè)層級(jí)問題由大到小逐步深入，形成相關(guān)聯(lián)問題鏈。

在單元教學(xué)視域下，問題鏈的設(shè)計(jì)需關(guān)注以下三個(gè)方面：一是要有關(guān)聯(lián)性，每一節(jié)課依據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容形成相關(guān)的關(guān)鍵問題，關(guān)鍵問題間要有思維和邏輯的關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生由點(diǎn)到面、由表及里、由淺入深、由表象到本質(zhì)地理解學(xué)習(xí)內(nèi)容;二是要有趣味性，以問題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心，以問題引導(dǎo)學(xué)生思考;三是要有探究性，以問題的深入導(dǎo)向?qū)W生思維的深入，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，指向深度的學(xué)習(xí)。

例如在教學(xué)“同底數(shù)冪的除法”時(shí)，當(dāng)學(xué)生能給出同底數(shù)冪的除法的符號(hào)表示為am÷an=am-n（m、n都是正整數(shù)）后，可以設(shè)置以下問題鏈，探索m、n的限制條件，引發(fā)學(xué)生對(duì)m、n大小關(guān)系的探索，最后得出零次冪的規(guī)定。

問題1：對(duì)于m、n還有其他的限制嗎？

問題2：除了對(duì)于m、n的限制，還有其他限制嗎？

問題3：除法法則的條件為m>n，如果m=n時(shí)，能得到什么結(jié)果？

問題4：am÷am其實(shí)是兩個(gè)相同的數(shù)相除，其結(jié)果是什么呢？

問題5：要使這兩種不同的計(jì)算方法所得的結(jié)果一樣，應(yīng)如何規(guī)定呢？

以上問題鏈的設(shè)計(jì)關(guān)注同底數(shù)冪的除法法則中指數(shù)m、n的限制條件，這與之前學(xué)習(xí)的同底數(shù)冪的乘法法則，和后續(xù)要學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算在知識(shí)上有前后關(guān)聯(lián)。問題鏈的設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)該問題的研究指向法則的推廣應(yīng)用，讓學(xué)生在問題3與問題4的探究過程中體會(huì)a0=1這一規(guī)定由來的合理性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理和理性思維。這樣依據(jù)知能體系形成基于單元教學(xué)本質(zhì)學(xué)習(xí)的問題，能從小到大、由淺入深建立起具有邏輯關(guān)系的啟發(fā)式的問題鏈。

三、設(shè)計(jì)進(jìn)階式的活動(dòng)序

教師依據(jù)各問題鏈，精心設(shè)計(jì)探究與解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。按照數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容體系，生成學(xué)生學(xué)習(xí)問題，幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)問題，進(jìn)而設(shè)計(jì)與之對(duì)應(yīng)的探究發(fā)現(xiàn)式的學(xué)習(xí)活動(dòng)。學(xué)生的探究學(xué)習(xí)活動(dòng)可以由大到小，逐步細(xì)化;由數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的外圍走向內(nèi)核，逐級(jí)推進(jìn);以活動(dòng)體驗(yàn)為主要抓手推進(jìn)學(xué)生的學(xué)科學(xué)習(xí)，進(jìn)階深入。學(xué)生在這樣的活動(dòng)中可以不斷積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)?；顒?dòng)方式可以采取個(gè)人思考與小組合作相結(jié)合的方式，也可以利用學(xué)習(xí)單或者表格等作為支持工具，促進(jìn)不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生積極參與活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)的效益。

在代數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)算法則、公式的形成過程，使學(xué)生領(lǐng)悟法則、公式的意義。同時(shí)，教師還應(yīng)將教材中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法逐漸滲透在教學(xué)中，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法。以下以“同底數(shù)冪的除法”的活動(dòng)設(shè)計(jì)為例。

練習(xí)：計(jì)算下列各式。

（1）（-2）12÷（-2）10

（2）a7÷（-a）5

（3）（-ab）5÷（ab）2

（4）（a-b）8÷（b-a）3

以上教學(xué)設(shè)計(jì)除了讓學(xué)生熟練掌握同底數(shù)冪的除法法則，還讓學(xué)生體會(huì)到法則中的字母a不僅可以代表一個(gè)數(shù)，還可以代表一個(gè)整式，體現(xiàn)字母“代”數(shù)的一個(gè)漸進(jìn)的過程。在具體的活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生逐步體會(huì)到代數(shù)的思想，提高了抽象表述和抽象思維的能力。

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中逐步形成的，它不僅需要學(xué)科知識(shí)，還需要有不同情境下的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與智慧，具有階段性、連續(xù)性和整合性[4]。在教學(xué)中，教師需要對(duì)本單元知識(shí)有整體的認(rèn)識(shí)，關(guān)注各章節(jié)之間的相互聯(lián)系。在單元教學(xué)視域下，挖掘每一節(jié)教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的培育數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的素材。數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的教學(xué)，在教學(xué)中需突出過程，以課堂典型活動(dòng)的設(shè)計(jì)作為關(guān)鍵，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力的培育。如何在有限的課時(shí)內(nèi)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)必要的活動(dòng)，提供必要的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，這直接關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成。

在“同底數(shù)冪的除法”的教學(xué)中，涉及用文字語言和符號(hào)語言來表達(dá)同底數(shù)冪的除法法則，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)語言來展示自己的思維方式，有助于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)的核心素養(yǎng)。在該教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用環(huán)節(jié)，學(xué)生合理運(yùn)用法則、公式，依據(jù)算理進(jìn)行運(yùn)算求解，并能根據(jù)問題條件，尋求合理的求解途徑與方法，提高了學(xué)生運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

每節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)需要關(guān)注知識(shí)從何而來、知識(shí)是什么、知識(shí)從何而去，讓學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中經(jīng)歷這三個(gè)完整的階段，感知知識(shí)的來龍去脈[5]。正如數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生所說的：“不在知其然，而在知何由以知其所以然?！焙诵乃仞B(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教育注重?cái)?shù)學(xué)的整體性、思想的一致性、邏輯的連貫性和思維的系統(tǒng)性，這也是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的初衷[6]。

在單元教學(xué)視域下，梳理學(xué)科的知能結(jié)構(gòu)，挖掘知識(shí)背后的思想方法。在學(xué)習(xí)中尋找問題，設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣的啟發(fā)式問題鏈，問題的深度指向?qū)W生思維的深度。學(xué)生核心素養(yǎng)的提升不可能一蹴而就，需要教師在每節(jié)課的教學(xué)中有意識(shí)地滲透，以及學(xué)生在親身體驗(yàn)、不斷感悟和創(chuàng)新中逐漸形成[7]，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[8]。

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[8]史寧中.試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（4）：1-16.

（責(zé)任編輯：陸順演）