核心素養(yǎng)視角下“圖形的變化”之中考復(fù)習(xí)策略

陳立順

[摘? 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)任務(wù)對數(shù)學(xué)中考命題及中考復(fù)習(xí)策略提出了新的要求和挑戰(zhàn). 如教師在“圖形的變化”知識模塊復(fù)習(xí)時，首先應(yīng)清楚“圖形的變化”試題的命制途徑和特點(diǎn)，然后有策略地開展復(fù)習(xí)：要立足十大核心概念精選例題和練習(xí)題，以強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng);要回歸基礎(chǔ)，使知識和其應(yīng)用系列化;要回歸教材，充分挖掘教材“命題點(diǎn)”的功能;要善于以圖形變化為主線整體設(shè)計復(fù)習(xí)課課程體系;分析問題時要善于變中抓不變，讓“圖形的變化”問題因回歸本質(zhì)而精準(zhǔn)突破，等等.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);圖形的變化;中考復(fù)習(xí);策略

在變化的圖形中探索并發(fā)現(xiàn)圖形不變的性質(zhì)或有規(guī)律變化的結(jié)論，更能揭示幾何的本質(zhì)，也更能提升學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 這也正是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》之所以把“圖形的變化”內(nèi)容從“圖形與幾何”中凸顯出來的原因. “圖形的變化”這一塊的主要內(nèi)容包含圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似（含三角函數(shù)），及圖形的投影等. 這塊內(nèi)容已成為歷年中考命題尤其是壓軸題的命題熱點(diǎn).

縱觀近幾年的中考試題，“圖形的變化”試題有以下幾個明顯的特點(diǎn)：（1）十分重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查;（2）注重考查基本知識和技能的同時彰顯多元的育人價值;（3）源自教材的改編創(chuàng)新試題倡導(dǎo)教學(xué)的追本溯源;（4）關(guān)注對數(shù)學(xué)的理解和回歸基本的幾何變換本質(zhì);（5）源于生活的情境題的設(shè)計有效考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式;（6）通過動態(tài)試題設(shè)計著重考查學(xué)生的綜合素質(zhì)和素養(yǎng);（7）根據(jù)教學(xué)要求在教學(xué)過程中選取素材進(jìn)行編題，起到把很好的考試引導(dǎo)教學(xué)的功能.

針對上述“圖形的變化”試題的命制途徑和特點(diǎn)，教師可用以下策略開展復(fù)習(xí).

立足十大核心概念強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生基于認(rèn)數(shù)、計算、推理和統(tǒng)計等活動和學(xué)習(xí)建立起來的一些數(shù)學(xué)思想方法和用這些思想方法解決問題的能力，以及對數(shù)學(xué)作用和價值的認(rèn)識.具體包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等六大核心素養(yǎng).根據(jù)義務(wù)教育學(xué)生的特點(diǎn)，與之相銜接，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課標(biāo)則提出了如下十個核心概念：數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，并將之作為中考核心素養(yǎng)測試題編制的立足點(diǎn)和關(guān)注點(diǎn). 課標(biāo)對各知識模塊基于核心素養(yǎng)的考查途徑都作了闡述.落實(shí)到課堂教學(xué)中，就是要努力培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界和用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，其中數(shù)學(xué)的思維方式主要有：觀察、想象、猜想、驗(yàn)證、比較、歸納、抽象、概括等. 教師在教學(xué)過程包括在中考復(fù)習(xí)中，要努力為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而教.如在概念的教學(xué)過程中，要注重概念的形成過程;教師要引導(dǎo)學(xué)生對感性材料進(jìn)行認(rèn)識、分析、抽象和概括，讓學(xué)生經(jīng)歷思維從抽象到具體再到抽象的過程;在概念和定理等的復(fù)習(xí)中，要縱橫比較概念和定理的形成和發(fā)現(xiàn)方法;在中考的復(fù)習(xí)中，要精選能凸顯和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的例題和練習(xí)題.

例1 （2016·金華）如圖1，Rt△ABC紙片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將△ABD折疊得到△AB′D，AB′與邊BC交于點(diǎn)E.若△DEB′為直角三角形，則BD的長為________.

本題借助紙片折疊這一熟悉的問題情境，將軸對稱、平行線、特殊三角形、方程等知識有機(jī)地整合在一起，通過操作與想象，運(yùn)用分類討論思想找到△DEB′為直角三角形的兩種情況，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化為方程解決，讓學(xué)生經(jīng)歷“操作—觀察—探究—計算”的自主活動過程. 試題突出了學(xué)生對基本圖形變換本質(zhì)的理解和思考問題的全面性，突出了對核心素養(yǎng)的考核.

回歸基礎(chǔ)，使知識和其應(yīng)用系列化

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程基礎(chǔ)性、普及性及發(fā)展性的性質(zhì)，決定了中考數(shù)學(xué)試卷中70%容易題、20%稍難題、10%較難題的布局. 縱觀近五年的中考試卷，都很好地體現(xiàn)了課程的這一性質(zhì)，試卷能面向全體，注重考查基本知識和基本技能，同時適時滲透德育、美育及勞動教育等，彰顯多元的育人價值. 因此，降低復(fù)習(xí)重心，面向全體學(xué)生，打好基礎(chǔ)仍是重點(diǎn).然而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡單的識記，如何讓學(xué)生面對千變?nèi)f化的試題能夠應(yīng)用所學(xué)知識予以解決呢？關(guān)鍵是要讓學(xué)生所學(xué)的知識及應(yīng)用結(jié)構(gòu)化、系列化.因?yàn)橹挥薪Y(jié)構(gòu)化、系列化的知識才能在應(yīng)用時被快速有序地提取.如在軸對稱知識的復(fù)習(xí)中，可讓學(xué)生遵循幾何圖形的學(xué)習(xí)序列，先按知識的邏輯結(jié)構(gòu)有序地復(fù)述而回憶其定義和相關(guān)概念，再復(fù)習(xí)其性質(zhì). 在與其他圖形變換的對比聯(lián)系中，形成科學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)，同時還要與學(xué)生一起總結(jié)其在作圖和求最值等問題中的應(yīng)用規(guī)律. 要讓學(xué)生懂得，只有學(xué)以致用，才能真正地掌握知識.

回歸教材，充分挖掘教材“命題點(diǎn)”的功能

教材是眾多專家和一線教師集體智慧的結(jié)晶，全國各地的中考卷上，可以頻頻看到由教材改編的試題. 而中考復(fù)習(xí)中，拋開教材而圍繞教輔資料是一種普遍現(xiàn)象. 其實(shí)如果教師在復(fù)習(xí)時，能適時引導(dǎo)學(xué)生去瀏覽曾熟悉的教材目錄和內(nèi)容，學(xué)生就會倍感親切并重新回憶和架構(gòu)起有血有肉的知識大廈. 教師在講解中考真題或例題時，若能適時地聯(lián)系教材，和學(xué)生一起搞清楚這些試題的“前世今生”，搞清楚這些試題改編和創(chuàng)新的套路和規(guī)律，學(xué)生就能感受到中考試題其實(shí)并不神秘，從而大大減輕學(xué)生在考試的負(fù)擔(dān). 當(dāng)然，這更能培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，形成舉一反三的能力. 改編和創(chuàng)新試題的方式很多，有弱化條件法、隱去結(jié)果法、特殊化法、一般化法、變換圖形法、移動圖形元素法、隱去圖形法、逆向法、由因?qū)Чǎ晒饕?、變換背景，借景生題、變封閉題為開放題，等等.

以圖形變化為主線整體設(shè)計復(fù)習(xí)課課程體系

復(fù)習(xí)階段，常常伴隨著“書山題海”， “測試—統(tǒng)計分析—發(fā)現(xiàn)問題—針對性訓(xùn)練”也成為無休止的循環(huán). 大家試圖通過這種地毯式的刷題的解題思路來實(shí)現(xiàn)“萬無一失”，但結(jié)果卻總是事倍功半. 殊不知，如果方法提煉不精，學(xué)生體驗(yàn)不深，量變是達(dá)不到質(zhì)變的. 而復(fù)習(xí)階段，時間緊，任務(wù)重，大量重復(fù)性的練習(xí)也是不現(xiàn)實(shí)、不應(yīng)該的. 所以，復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)站在更高的站位，從知識應(yīng)用的角度系統(tǒng)化設(shè)計復(fù)習(xí)課課程來精選系列習(xí)題.如“圖形的變化”這塊復(fù)習(xí)內(nèi)容，可以分別按圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似（含三角函數(shù)）及投影設(shè)計五個專題，每個專題根據(jù)總課時和本專題題型歸類情況確定課時，每個專題作為一個整體備課，內(nèi)容設(shè)計著重加強(qiáng)知識的深度理解，精選的例題要有利于方法體系化的構(gòu)建，要盡量將例題與教材及中考動態(tài)相聯(lián)系，要多采用變式的方式進(jìn)行教學(xué)，提高效率.

變中抓不變，讓圖形的變化問題因回歸本質(zhì)而精準(zhǔn)突破

“圖形的變化”這一知識模塊最突出的一個特點(diǎn)就是問題中的圖形常常是動態(tài)和變化的. 運(yùn)動和變化的可能是點(diǎn)，也可能是線或多邊形或圓，甚至可能是函數(shù)圖像.而不變的本質(zhì)包括在變化的過程中產(chǎn)生的最值、位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系或是在變化的過程中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系等. 而如何以不變應(yīng)萬變，就要求教師在啟發(fā)學(xué)生解決問題時，要善于變中抓不變，引導(dǎo)學(xué)生弄通情境，善于抓住不變的本質(zhì)特征，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題和模型，從而加以解決. 因?yàn)閿?shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，在建模的過程中，一些非本質(zhì)的東西被去掉，模型才能夠適應(yīng)變化. 如“將軍飲馬”最值模型就能夠解決很多情境中求兩線段和的最小值問題. 而當(dāng)一時找不到模型解決時，師生也要善于用變化的觀點(diǎn)換個角度看問題，如運(yùn)用數(shù)形結(jié)合將代數(shù)領(lǐng)域問題映射到幾何領(lǐng)域中去解決，等等. 動態(tài)試題能夠在運(yùn)動變化的過程中很好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力等綜合素質(zhì)，全面考査學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 因此動態(tài)試題受到中考數(shù)學(xué)命題人員的青睞. 軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移和相似變換的一些常見模型是“圖形的變化”這一知識模塊的本質(zhì)特征和核心內(nèi)容，廣大師生應(yīng)該予以高度的重視.

例2 （2019·杭州）如圖2，把某矩形紙片ABCD沿EF，GH折疊（點(diǎn)E，H在AD邊上，點(diǎn)F，G在BC邊上），使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對稱點(diǎn)為A′點(diǎn)，D點(diǎn)的對稱點(diǎn)為D′點(diǎn). 若∠FPG=90°，△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，則矩形ABCD的面積等于_______.

本題考查勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)及軸對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是利用字母表示數(shù)及方程的思想和模型解決問題.本題由翻折的意義，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)如下關(guān)系：PA′=AB，PD′=CD，D′，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，A′，P，G三點(diǎn)共線，進(jìn)而根據(jù)面積條件的暗示進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)△A′EP與△D′PH相似，且相似比為2. 在直接列算式無法求出的情況下又想到設(shè)AB=CD=x，然后列方程求解. 該題要求學(xué)生先關(guān)注圖形變化的信息和特點(diǎn)，然后通過一系列的推理分析讓問題回歸到基本的幾何變換的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法，命題立意值得學(xué)習(xí)和借鑒，在中考復(fù)習(xí)中要加以重視.