牛鈺航,蘆 韡,賀亞男,鄧超群,向烽瑞,巫英偉,*,蘇光輝,秋穗正,田文喜,于 洋,盧忝余
(1.西安交通大學(xué) 動(dòng)力工程多相流國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710049;2.中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610213)
在反應(yīng)堆正常運(yùn)行和事故瞬態(tài)工況下,氣液兩相流動(dòng)是一個(gè)非常重要的物理現(xiàn)象,精確模擬兩相流現(xiàn)象是反應(yīng)堆安全分析的關(guān)鍵。根據(jù)兩相流體流速是否均勻、兩相流體溫度是否處于熱平衡態(tài)的假設(shè)不同,可將兩相流模型分為三方程到六方程模型[1]。
現(xiàn)有的反應(yīng)堆系統(tǒng)安全分析程序如RELAP5[2]、TRACE[3]已成功采用六方程模型計(jì)算兩相流動(dòng)傳熱問題。五方程模型忽略了氣相能量守恒方程,并將氣相溫度給定為當(dāng)前壓力下對應(yīng)的飽和溫度。相比于六方程模型,雖然五方程模型沒有精確反映氣液兩相之間的能量交換,但具有更強(qiáng)的適用性和魯棒性[4]。除此之外,RELAP5、TRACE程序雖然采用六方程模型,但在時(shí)間和空間數(shù)值離散方面仍是一階精度,即使已有研究對RELAP5數(shù)值方法進(jìn)行了許多改進(jìn),如在RELAP5中增加了半隱式算法[5],但時(shí)間離散仍舊是一階精度,使得其只適用于短瞬態(tài)過程精確模擬[6]。因此有必要開發(fā)高精度的兩相流求解模型。
本文基于開源MOOSE框架初步開發(fā)一維、五方程兩相流模型計(jì)算程序ZEBRA,采用PJFNK算法全耦合求解方程,并與過冷沸騰實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比。
MOOSE[7]是由美國愛達(dá)荷國家實(shí)驗(yàn)室(INL)采用C++開發(fā)的多物理場耦合計(jì)算框架。MOOSE主要基于有限元方法和PJFNK算法,可高效、模塊化求解偏微分方程組(PDEs)。當(dāng)前,國外基于MOOSE框架已經(jīng)開發(fā)出了BISION[8]、RATTLESNAKE[9]、RELAP7[10]等燃料性能分析、堆物理計(jì)算和系統(tǒng)分析程序。國內(nèi)基于MOOSE框架已經(jīng)開發(fā)出了BEEs[11]燃料性能分析程序和中子擴(kuò)散問題求解程序[12]。
MOOSE框架結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。MOOSE框架包含4個(gè)層級:第1層級為開發(fā)者模塊,即在MOOSE框架下構(gòu)建具體物理問題,在本文中添加了基礎(chǔ)物理模型(五方程本構(gòu)方程)及與五方程本構(gòu)方程對應(yīng)的封閉關(guān)系式,同時(shí)集成了MOOSE中多個(gè)模塊(如邊界條件、物性等),實(shí)現(xiàn)了給定壓力(如泵模型)等邊界條件的構(gòu)建,共同組成了五方程兩相流計(jì)算模塊;第2層級為MOOSE已定義模塊及多物理場耦合接口模塊,包含通用的邊界條件等;第3層級為LibMesh,MOOSE繼承開源庫LibMesh進(jìn)行網(wǎng)格讀入、有限元離散、殘差矩陣形成和結(jié)果輸出;第4層級為求解器模塊,MOOSE采用PETSc求解器求解殘差矩陣。
圖1 MOOSE開發(fā)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 MOOSE structure diagram
一維五方程兩相流模型包括質(zhì)量守恒方程(氣相、液相)、動(dòng)量守恒方程(氣相、液相)和能量守恒方程(液相)。
質(zhì)量守恒方程:
(1)
(2)
動(dòng)量守恒方程:
α1ρlgx+Fint-Fwall,l-Γg(uint-ul)
(3)
αgρggx-Fint-Fwall,g+Γg(uint-ug)
(4)
能量守恒方程:
(5)
式中:α為空泡份額;ρ為密度;u為速度;t為時(shí)間;x為空間位置;Γg為相間傳遞的質(zhì)量;p為壓力;gx為重力加速度;e為內(nèi)能;下標(biāo)l和g分別表示液相和氣相;下標(biāo)int表示氣液兩相的交界面;Γw為壁面沸騰/冷凝過程中氣相產(chǎn)生速率;Γig為相間氣泡的質(zhì)量傳遞;Fint為相間摩擦阻力;Fwall為各相的壁面摩擦阻力;h′為由于壁面產(chǎn)生蒸汽而引起質(zhì)量傳遞的相焓;h*為交界面之間質(zhì)量傳遞的相焓;Qwl為壁面對液相的熱量傳遞;Qil為交界面對液相的熱量傳遞。
式(1)~(5)中求解的5個(gè)主要變量分別為壓力p、空泡份額α、液相速度ul、氣相速度ug和液相內(nèi)能el,即變量矩陣為:U=[p,α,ul,ug,el]T。
氣相和液相的空泡份額滿足關(guān)系:
αl+αg=1
(6)
五方程模型中假設(shè)氣相溫度Tg為當(dāng)前壓力下對應(yīng)的飽和溫度Tsat,則:
Tg=Tsat(p)
(7)
1) 空泡份額分布
ZEBRA目前添加了垂直通道內(nèi)臨界熱流密度(CHF)發(fā)生之前的流動(dòng)傳熱特性模型,其空泡份額分布示于圖2。其中,αBS、αSA、αAM分別為不同流型轉(zhuǎn)換位置的空泡份額,且不同的本構(gòu)模型(如壁面摩擦阻力、相間摩擦阻力等)有不同的流型轉(zhuǎn)換空泡份額。
圖2 垂直通道內(nèi)空泡份額分布Fig.2 Distribution of void farction in vertical channel
ZEBRA添加的流型轉(zhuǎn)換判定準(zhǔn)則與RELAP5-3D、TRACE程序類似,隨著空泡份額的增大,將其分為單相液、泡狀流、彈狀流、環(huán)狀流、彌散滴狀流、單相氣6個(gè)區(qū)域。對于不同的本構(gòu)模型,雖然流型轉(zhuǎn)換相同,但流型轉(zhuǎn)換位置的空泡份額不同。在壁面摩擦阻力中:αBS=αSA=0.8,αAM=0.9;在交界面阻力中:αBS=0.3,αSA=0.8,αAM=0.95;在交界面?zhèn)鳠嶂校害罛S=0.3,αSA=0.5,αAM=0.75。為避免數(shù)值求解困難,在程序計(jì)算中規(guī)定:α≤1.0×10-4為單相液;α≥0.99為單相氣。
2) 壁面/相間質(zhì)量和能量傳遞
(1) 壁面/相間質(zhì)量傳遞
質(zhì)量傳遞包括壁面沸騰產(chǎn)生的質(zhì)量傳遞和相間蒸發(fā)/冷凝產(chǎn)生的質(zhì)量傳遞兩部分:
Γg=Γw+Γig
(8)
壁面沸騰產(chǎn)生的質(zhì)量傳遞為:
(9)
式中:hcr為臨界焓;εp為系數(shù)函數(shù);hl為液相焓;hl,sat為液相飽和焓;q″w為壁面熱流密度;aw為傳熱面密度;hfg為汽化潛熱。
(10)
式中,ρf為液相密度。
蒸發(fā)/冷凝產(chǎn)生的質(zhì)量傳遞為:
(11)
式中,Hil為液相和交界面的體積傳熱系數(shù)。
(2) 壁面/相間能量傳遞
流動(dòng)沸騰條件下,考慮將壁面的熱流密度分為氣相和液相兩部分,在五方程模型中氣相假定為飽和態(tài),因此壁面的熱量全部用于提高液相的溫度,故壁面處能量傳遞為:
Qwl=q″waw
(12)
傳熱面密度在流動(dòng)面積不變的情況下可定義為:
無法,沒破的不用管它,破了的只怕粘襪子,易非想找個(gè)創(chuàng)可貼把那兒貼住,可惜翻箱倒柜找了半天,也沒找到一塊,只好用紙巾隔在那里,再小心穿好襪子。
(13)
交界面?zhèn)鳠酫il由交界面局部傳熱和近壁面?zhèn)鳠醿刹糠纸M成:
Qil=Hil(Tsat-Tl)-Γw(h′g-h′l)
(14)
3) 壁面摩擦阻力
ZEBRA的壁面摩擦阻力模型來源于TRACE程序[3],壁面摩擦阻力Fwall為:
(15)
式中:fwall,k為與k相(k=l,g)相關(guān)聯(lián)的壁面阻力系數(shù);De為水力直徑,取決于截面的形狀;Cwall,k為k相的壁面阻力系數(shù)。
Cwall,k取決于當(dāng)前流型(圖2),ZEBRA分別計(jì)算了單相液阻力系數(shù)、泡狀流與彈狀流相結(jié)合區(qū)域的阻力系數(shù)、環(huán)狀流與霧狀流相結(jié)合區(qū)域的阻力系數(shù)[3]。
單相液阻力系數(shù)fwall,single為:
(16)
泡狀流與彈狀流相結(jié)合區(qū)域的阻力系數(shù):
(17)
(18)
過渡區(qū)流型的阻力系數(shù):
Cwall,liq=ωfBSCwall,liq,BS+(1-ωfBS)Cwall,liq,AM
(19)
式中:a、b分別為單相液阻力系數(shù)參數(shù);CNB為泡、彈狀流區(qū)域阻力參數(shù);ffilm為環(huán)狀流區(qū)域阻力系數(shù);wfBS為泡、彈狀流權(quán)重因子;Cwall,liq為液相壁面阻力系數(shù);Dh為等效水力直徑;下標(biāo)BS表示泡狀流和彈狀流相結(jié)合的流型,liq表示液相,AM表示環(huán)霧狀流區(qū)域。
4) 交界面阻力與傳熱系數(shù)
交界面動(dòng)量交換包括交界面阻力與交界面相變動(dòng)量交換。通過類比單相管內(nèi)流動(dòng),可得到由于兩相之間的相對運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的交界面阻力Fint:
(20)
式中:fk,k′為由于相對運(yùn)動(dòng)k′相施加給k相的阻力系數(shù);Ci為交界面的阻力系數(shù);ur為兩相之間的相對速度。
對于氣相和液相的交界面阻力,顯然有:
Fint,g=-Fint,l=Ciur|ur|
(21)
ZEBRA交界面阻力模型建立在3個(gè)主要的流型上,即泡狀流、彈狀流及環(huán)形霧狀流[3]。在泡、彈狀流區(qū)域:
(22)
泡狀流區(qū)域:
(23)
彈狀流區(qū)域:
(24)
過渡流區(qū)域:
(25)
環(huán)霧狀流區(qū)域:
(26)
同理,交界面?zhèn)鳠岣鶕?jù)流型分別計(jì)算各區(qū)域的傳熱系數(shù)。
泡狀流區(qū)域:
(27)
彈狀流區(qū)域:
(hliA?i)CS=(hliA?i)DB+(hliA?i)LB
(28)
過渡流區(qū)域:
(hliA?i)=wfAM(hliA?i)AM+
(1-wfAM)(hliA?i)BS
(29)
環(huán)霧狀流區(qū)域:
(hliA?i)AM=(hliA?i)film+(hliA?i)drops
(30)
式中:hli為傳熱系數(shù);k為導(dǎo)熱系數(shù);dDB為彌散氣泡尺寸;Nu為努塞爾數(shù);A?為氣泡交界面積;wfAM為環(huán)霧狀流權(quán)重因子;下標(biāo)LB表示大型氣泡區(qū)域,film和drops分別代表環(huán)型液膜和夾帶液滴。
5) 水/水蒸氣的狀態(tài)方程
ZEBRA的兩相模塊采用與RELAP7相同的物性計(jì)算方法,即加密氣體狀態(tài)(SGEOS)方程。值得一提的是,Metayer等[13]已驗(yàn)證了SGEOS方程的精確度。
采用SGEOS方程來進(jìn)行物性計(jì)算會(huì)顯著提高兩相模塊的收斂性。兩相流體關(guān)于每一相的SGEOS方程[13]描述為:
(31)
h(T)=γcVT+q
(32)
g(p,T)=(γcV-q′)T-
(33)
cp=γcV
(34)
式中:T、h和g分別表示流體的溫度、焓和Gibbs自由能;γ、q、q′和p∞為各相流體的特性;cV為比定容熱容;cp為比定壓熱容。
水和水蒸氣的相關(guān)參數(shù)列于表1。
表1 水和水蒸氣的相關(guān)參數(shù)Table 1 State parameter of water and its vapor
當(dāng)前壓力下的飽和溫度計(jì)算[13]為:
(35)
式中,A、B、C和D為分別為飽和溫度計(jì)算系數(shù)。
ZEBRA基于MOOSE開發(fā),采用有限元方法離散,本文以式(1)為例說明其數(shù)值離散過程。
在MOOSE中對控制方程進(jìn)行離散首先需要形成弱解形式,即形函數(shù)與控制方程內(nèi)積的形式。
第1步,控制方程(式(1))左右兩邊同乘形函數(shù):
(36)
第2步,在求解區(qū)域積分:
(37)
以內(nèi)積形式表示為:
(38)
第3步,劃分積分區(qū)域:
(39)
式中:Ω為總積分區(qū)域;e為子單元;ψ為有限元形函數(shù);Ωe為積分子區(qū)域;wq為每個(gè)積分點(diǎn)q處的權(quán)函數(shù);Je為子區(qū)域映射雅克比矩陣;i為各積分點(diǎn)的編號。
將式(39)應(yīng)用在各節(jié)點(diǎn)上,可得到液相質(zhì)量守恒方程在各積分區(qū)域的各節(jié)點(diǎn)上的離散方程組。
MOOSE支持一階(1維EDGE/2維QUAD4)和二階單元類型(1維EDGE3/2維QUAD9)等多種單元類型。對于一階/二階類型,形函數(shù)可采用線性/二階拉格朗日函數(shù)。
ZEBRA在對空間離散時(shí)支持二階精度。
時(shí)間項(xiàng)的有限元離散過程與空間項(xiàng)相同,即:
(40)
MOOSE支持多種時(shí)間離散格式,包括顯式歐拉、隱式歐拉、Crank-Nicolson、二階時(shí)間離散格式(BDF2)和Implicit-midpoint等。以式(40)中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為例,采用BDF2離散時(shí):
(41)
式中,n為當(dāng)前時(shí)間步長。
ZEBRA在對時(shí)間離散時(shí)支持二階精度。
本文選取Bartolomei過冷沸騰實(shí)驗(yàn)[14]對ZEBRA兩相流模塊進(jìn)行了初步驗(yàn)證。Bartolomei實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)段為垂直圓管,其管徑為12 mm、管長為1.5 m、管厚為2 mm,管壁以均勻熱流進(jìn)行加熱。表2列出該實(shí)驗(yàn)的一系列實(shí)驗(yàn)工況,壓力范圍為3.01~14.79 MPa,質(zhì)量流密度范圍為405~2 123 kg·m-2·s-1,管壁熱流密度為0.42~2.21 MW·m-2。該實(shí)驗(yàn)的空泡份額絕對誤差范圍為±0.04。實(shí)驗(yàn)測量值只給出了空泡份額隨平衡態(tài)含氣率的變化,因此本文也只對比了空泡份額沿平衡態(tài)含氣率的分布情況,其中平衡態(tài)含氣率xq為:
表2 Bartolomei圓管過冷沸騰實(shí)驗(yàn)工況[14]Table 2 Experimental condition of Bartolomei flow boiling test[14]
(42)
本文評估了ZEBRA忽略氣相能量守恒方程對計(jì)算結(jié)果的影響,以及二階精度與一階精度之間的差距,選取case1進(jìn)行了對比計(jì)算。本文采用30個(gè)軸向節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如圖3所示。由圖3可看出,ZEBRA二階精度計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值符合更好,ZEBRA一階精度計(jì)算值與RELAP5計(jì)算結(jié)果相近,在較低平衡態(tài)含氣率處(≤0.0)有一定偏差,在較高平衡態(tài)含氣率處(≥0.0)相對誤差在20%之內(nèi)。
圖3 不同計(jì)算精度下ZEBRA、RELAP5結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的對比Fig.3 Comparison of ZEBRA and RELAP5 results and experimental value with different calculation accuracies
采用二階離散格式計(jì)算case1工況,其網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證如圖4所示。由圖4可看出,隨軸向節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加,軸向出口空泡份額在0.506附近震蕩,且震蕩逐漸減小,趨近于0.506。因此本文選取170個(gè)軸向節(jié)點(diǎn)作為計(jì)算節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。
圖4 軸向出口處空泡份額網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證Fig.4 Verification of grid independence in outlet void fraction
采用50個(gè)時(shí)間步對各工況進(jìn)行計(jì)算,驗(yàn)證ZEBRA計(jì)算是否能達(dá)到穩(wěn)態(tài),如圖5所示。由圖5可看出,50個(gè)時(shí)間步足夠達(dá)到穩(wěn)態(tài)收斂條件,因此選取計(jì)算時(shí)間步為50。
圖5 出口空泡份額收斂性驗(yàn)證Fig.5 Convergence verification in outlet void fraction
計(jì)算過程中,沿單管軸向劃分170個(gè)節(jié)點(diǎn),網(wǎng)格單元類型為EDGE3,所有待求解變量U=[p,α,ul,ug,Tl]T在空間上均采用二階有限元離散格式。采用偽瞬態(tài)求解,時(shí)間離散采用BDF2格式,計(jì)算時(shí)間步長為1 s,計(jì)算時(shí)間步為50。
為實(shí)現(xiàn)不同壓力、質(zhì)量流密度、壁面熱流密度下的程序驗(yàn)證,本文只選取Bartolomei實(shí)驗(yàn)中若干組典型工況進(jìn)行對比(表2),空泡份額與實(shí)驗(yàn)值對比如圖6所示。圖6中:不同熱流密度下對比選取case1、case5、case8;不同質(zhì)量流密度下對比選取case19、case20、case21;不同壓力下對比選取case1、case19、case26。將ZEBRA預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差進(jìn)行計(jì)算,如圖7所示。
a——不同熱流密度;b——不同質(zhì)量流密度;c——不同壓力圖6 空泡份額計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值對比Fig.6 Void fraction comparison between calculated value and experimental value
由圖6a與圖7可看出,在中壓(約7.0 MPa)、低質(zhì)量流密度(約1 000 kg·m-2·s-1)的條件下,ZEBRA在平衡態(tài)含氣率為正值區(qū)域(≥0.0)計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值符合良好,最大相對誤差小于20%,隨熱流密度的增加(0.44~1.7 MW·m-2),空泡份額最大值由0.3增至0.6,且沸騰起始點(diǎn)逐漸提前。
由圖6b與圖7可看出,在較高壓力(10.81 MPa)、中等熱流密度(約1.13 MW·m-2)條件下,質(zhì)量流密度越高,ZEBRA計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值符合越好,空泡份額最大值均為0.45左右。誤差主要集中在平衡態(tài)含氣率為負(fù)值區(qū)域,相對誤差約為60%,平衡態(tài)含氣率為正值區(qū)域與實(shí)驗(yàn)值均符合良好。
由圖6c與圖7可看出,在低質(zhì)量流密度(約1 000 kg·m-2·s-1)、中等熱流密度(約1.13 MW·m-2)條件下,壓力越低ZEBRA計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值符合越好。隨壓力的增高,空泡份額隨平衡態(tài)含氣率的斜率逐漸減小,且沸騰起始點(diǎn)逐漸前移。
圖7 ZEBRA計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的誤差Fig.7 Error of ZEBRA calculated value and experimental value
綜合圖6、7可得出:ZEBRA計(jì)算值與RELAP5計(jì)算值相近,在低空泡份額區(qū)域RELAP5計(jì)算值更接近實(shí)驗(yàn)值,其原因是RELAP5考慮了相間能量傳遞,在高空泡份額區(qū)域ZEBRA計(jì)算值與RELAP5基本相同;在平衡態(tài)含氣率為正值區(qū)域(≥0.0),ZEBRA計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值均符合良好(最大相對誤差小于20%),隨熱流密度的增加、質(zhì)量流密度的減小、壓力的增加均能使沸騰起始點(diǎn)向前移動(dòng)。
ZEBRA計(jì)算值在低質(zhì)量流密度、高壓狀態(tài)下的平衡態(tài)含氣率為負(fù)值區(qū)域與實(shí)驗(yàn)值有一定差距(相對誤差約為80%),其主要原因?yàn)椋?) 在沸騰時(shí)起始點(diǎn)處,實(shí)驗(yàn)中貼近壁面處的流體溫度高于飽和溫度便可產(chǎn)生氣泡,而ZEBRA采用一維模型進(jìn)行計(jì)算,無法計(jì)算三維效應(yīng),因此導(dǎo)致程序計(jì)算的沸騰起始點(diǎn)滯后于實(shí)驗(yàn)值;2) 在低質(zhì)量流密度下,主流對壁面氣泡產(chǎn)生擾動(dòng)較小,更易產(chǎn)生氣泡,因此更易測得空泡份額,而本文程序計(jì)算模型無法精確模擬此過程,因而計(jì)算出的空泡份額較??;3) 在實(shí)驗(yàn)中,由于參數(shù)的測量誤差、儀器的精度和兩相問題的不確定性等問題,導(dǎo)致計(jì)算值在低空泡份額處與實(shí)驗(yàn)值有一定差距。
本文基于MOOSE框架開發(fā)了五方程兩相流程序ZEBRA,實(shí)現(xiàn)了二階有限元空間離散格式和BDF2時(shí)間離散格式的兩相問題求解。采用Bartolomei單管過冷沸騰實(shí)驗(yàn)中的部分實(shí)驗(yàn)工況對程序進(jìn)行了初步驗(yàn)證,分別在不同熱流密度、質(zhì)量流量、壓力下將程序計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比,結(jié)果如下。
1) 針對Bartolomei實(shí)驗(yàn),ZEBRA采用五方程模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值在平衡態(tài)含氣率為正值區(qū)域(≥0.0)符合良好,相對誤差小于20%,在平衡態(tài)含氣率為負(fù)值區(qū)域(≤0.0)有一定誤差。因此ZEBRA可較好地預(yù)測平衡態(tài)含氣率為正值(空泡份額≥0.2)區(qū)域的單管兩相流動(dòng)傳熱問題。
2) ZEBRA在低流量、低壓、高熱流密度情況下與實(shí)驗(yàn)值有一定誤差,其原因在于ZEBRA是一維程序無法精確計(jì)算局部氣泡的產(chǎn)生過程,且五方程模型忽略了由液相到氣相的能量傳遞過程,具有一定局限性。