核心概念：小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的基石

程香　張晨麗

摘要：以結(jié)構(gòu)化的視角來研究小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)，首先應(yīng)梳理出問題背后的核心概念，分析出概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的特點(diǎn)實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)。由情境入手，多種分析手段搭建起問題解決的階梯，由對(duì)核心概念的理解生成解題方法，提高應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：核心概念;問題解決;結(jié)構(gòu)化;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2021）02B-0073-05

問題解決是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中所提出的總目標(biāo)四個(gè)方面之一。與傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)相比，問題解決教學(xué)不僅要獲取解題方法，形成解題技能，更要引導(dǎo)學(xué)生“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，在增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力的同時(shí)初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)”[1]9。

一、梳理：尋求問題解決教學(xué)之根

傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)一般都是以固定結(jié)構(gòu)的問題為素材，在分析問題的過程中理解數(shù)量關(guān)系，在解決問題的同時(shí)建立解題模型，借助模型掌握某一類問題的解決方法。學(xué)會(huì)解題是其顯性目標(biāo)，鞏固雙基是其隱性目標(biāo)。問題解決教學(xué)由應(yīng)用題教學(xué)發(fā)展而來，其目標(biāo)更傾向于應(yīng)用，不在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決了多少個(gè)問題，而是要讓學(xué)生在解決問題的過程中經(jīng)歷再認(rèn)、思考、探究三個(gè)階段，運(yùn)用所學(xué)的概念解決實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的價(jià)值。問題解決教學(xué)的核心在于概念的理解與運(yùn)用，所以教學(xué)中需找準(zhǔn)問題背后的核心概念，解決方法由概念意義自主生發(fā)。

（一）基于“合”與“分”概念下的“求和”與“求剩余”實(shí)際問題

以蘇教版教材編排為例，學(xué)生最先接觸到的應(yīng)該是“合”與“分”這兩個(gè)概念。“合”就是把兩部分合并為一個(gè)整體，“分”就是把一個(gè)整體分成兩個(gè)部分，去掉其中一個(gè)部分就等于另一部分。在對(duì)這兩個(gè)概念理解的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了“求和”與“求剩余”兩類實(shí)際問題。這兩類實(shí)際問題的重點(diǎn)都是理解“加”與“減”的實(shí)際含義，感知部分與整體之間的關(guān)系。

（二）基于“同樣多”概念下的“相差關(guān)系”實(shí)際問題

基于“分”與“合”概念下的“求和”或“求剩余”的實(shí)際問題，都是研究同一種量之間部分與整體的關(guān)系。到了二年級(jí)，學(xué)生在認(rèn)識(shí)“同樣多”的概念后還會(huì)研究?jī)煞N量之間的“相差關(guān)系”實(shí)際問題。

比如：小英做了11朵花，小華比小英多做3朵，小華做了多少朵？

學(xué)生研究這類問題，首先需理解“同樣多”的概念。小華做的朵數(shù)可以分成兩部分，一是與小英同樣多的部分，一是比小英多的部分。只需把與小英同樣多的部分與比小英多出來的部分合起來就是小華做的朵數(shù)。反之，從小華做的朵數(shù)中去掉與小英同樣多的部分，就是小華比小英多出的部分;而去掉比小英多的部分，就是小華與小英同樣多的部分。實(shí)際上，兩個(gè)數(shù)量之間的相差關(guān)系，可以借助“同樣多”意義加以轉(zhuǎn)化，又能變成同一種量的部分與整體的關(guān)系。

（三）基于“平均分”概念下的“份總關(guān)系”實(shí)際問題

當(dāng)認(rèn)識(shí)“平均分”的概念之后，學(xué)生又會(huì)接觸到乘除法實(shí)際問題，其實(shí)仍然可以從部分與整體的角度來理解：每份分的同樣多，那么整體就不局限于被分成了兩份，把各個(gè)相同的部分合起來就是整體。只不過加數(shù)相同的情況下，用乘法記錄會(huì)更簡(jiǎn)便。除法是乘法的逆運(yùn)算，要求把整體平均分成幾份，求每份的個(gè)數(shù)，或把整體每幾個(gè)一份，求可以分成的份數(shù)，都可以用除法來解決。

（四）基于“倍”概念下的“倍數(shù)關(guān)系”“分?jǐn)?shù)關(guān)系”實(shí)際問題

“份總關(guān)系”實(shí)際問題仍然是同一種數(shù)量的分與合，如果把“份總關(guān)系”轉(zhuǎn)換為兩種數(shù)量相比較，并以較小的數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，則較大的數(shù)就是較小數(shù)的倍數(shù);如果以較大數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，較小數(shù)就是較大數(shù)若干份中的幾份。

在問題發(fā)展的這條主線中，每類問題都能找出與之相對(duì)應(yīng)的核心概念，而“分”與“合”卻又是這些概念的本源。隨著年級(jí)的升高，問題會(huì)由簡(jiǎn)單逐步走向復(fù)雜，可能是解題步驟由一步、兩步走向多步;可能是數(shù)的外延逐步擴(kuò)充，由整數(shù)到小數(shù)、分?jǐn)?shù);也可能會(huì)由同類量之間的比較過渡到不同類量的比較……但基于核心概念基礎(chǔ)上的數(shù)量關(guān)系一直都不會(huì)改變。

梳理出問題發(fā)展的這條主線，能夠促使教師在實(shí)施教學(xué)時(shí)做到“瞻前顧后”，在考慮當(dāng)下、著眼未來的同時(shí)回顧曾經(jīng)，以整體結(jié)構(gòu)化的視角實(shí)施教學(xué)，在“增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”[1]9的目標(biāo)指引下，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，感受知識(shí)生長的力量。

二、思考：?jiǎn)栴}解決教學(xué)要基于核心概念

李邦和院士在某次學(xué)術(shù)年會(huì)的報(bào)告中指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，而不是玩技巧，技巧不足道也！”問題解決教學(xué)的重點(diǎn)不在于掌握問題解決的方法與技巧，而在于理解支撐問題意義的核心概念。除了蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材從三年級(jí)開始獨(dú)立編排的“解決問題的策略”單元，更多的問題解決教學(xué)其實(shí)都是穿插于計(jì)算教學(xué)的過程中，問題解決作為計(jì)算教學(xué)的載體而呈現(xiàn)，而理解所屬概念的意義又是問題解決教學(xué)必須經(jīng)歷的前奏。

（一）由“前概念”入手，確定問題核心概念

學(xué)習(xí)并不是從學(xué)生走進(jìn)校園、端坐課堂才開始的，在正式學(xué)習(xí)之前，學(xué)生會(huì)有由生活經(jīng)驗(yàn)或其他途徑自發(fā)或被動(dòng)產(chǎn)生的對(duì)概念的理解，這種理解我們可以稱之為“前概念”?！扒案拍睢睂?duì)學(xué)習(xí)的作用是雙向的，可能會(huì)促進(jìn)正遷移，也可能會(huì)產(chǎn)生副作用。在問題解決教學(xué)前，教師需透過外在表象深挖問題本質(zhì)，找出前概念，調(diào)動(dòng)并發(fā)揮出“前概念”的積極作用。比如圖1是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一年級(jí)下冊(cè)“求被減數(shù)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題”的例題圖，此類問題場(chǎng)景，學(xué)生比較熟悉，他們不僅具備“求和、求剩余實(shí)際問題”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，而且具備充分的“分與合”的現(xiàn)實(shí)體驗(yàn)。教學(xué)中教師應(yīng)讓學(xué)生充分表達(dá)對(duì)問題的理解，在交流中明確樹上原有的桃被分成了摘下的桃和還剩的桃兩部分，要求樹上原有的桃，需要把兩部分合起來，屬于“合”的概念范疇，所以要用加法來解答。

（二）由概念意義的探究，自主生成解題方法

看到“多、一共”就用加法，看到“少、還剩”就用減法，看到“每”就用乘法，看到“平均分”就用除法……這是傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)忽視意義理解，過分注重解題技能訓(xùn)練所顯現(xiàn)出的弊端。比如“一本書一共有72頁，明明看了3天后還剩40頁沒看。明明已經(jīng)看了多少頁？”是一道一年級(jí)的實(shí)際問題，此時(shí)學(xué)生還沒開始研究乘除法的意義，若問題中只出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)值，無須多想，肯定是加減法任選其一?？沙霈F(xiàn)了三個(gè)數(shù)據(jù)，就會(huì)讓很多學(xué)生無從下手。從概念意義的層面來分析問題，仍然要追溯到“分與合”的層面：書的總頁數(shù)被分成了看過的和沒看過的兩部分，要求總頁數(shù)就需要把兩部分合起來，用加法;而要求已經(jīng)看的頁數(shù)，屬于“分”的范疇，則需從整體中去掉一個(gè)部分，就能得到另一部分。從概念的意義分析，學(xué)生定能分辨出關(guān)鍵信息，舍棄多余條件，從而使問題得以順利解決。

（三）由概念之間聯(lián)系，整體推進(jìn)問題解決教學(xué)

曾有人做過統(tǒng)計(jì)，小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中有五百多個(gè)概念。每個(gè)概念對(duì)教學(xué)的推進(jìn)作用并不是等同的，概念之間因?yàn)閮?nèi)在的某種關(guān)聯(lián)而構(gòu)成隱性的結(jié)構(gòu)。核心概念則處于結(jié)構(gòu)的中心地帶，它所蘊(yùn)含的思維方法可以遷移到其他概念，以起到提綱挈領(lǐng)、舉一反三的作用。所以“要把最基本的、起決定作用的概念、法則、原理放在教學(xué)的中心位置”[2]。教學(xué)可以根據(jù)概念之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，以結(jié)構(gòu)化的視角來實(shí)施。比如在解決相差關(guān)系實(shí)際問題時(shí)，回歸“分與合”的層面來理解，把大數(shù)分成兩部分，一是與小數(shù)同樣多的部分，二是比小數(shù)多的部分，從部分與整體的視角來解決問題。再比如六年級(jí)“分?jǐn)?shù)乘法”實(shí)際問題的教學(xué)，就可以先借助兩道整數(shù)和小數(shù)乘法問題。如：

①游船在靜水中每分鐘行駛400米，照這樣3分鐘能行駛多少米？

②一種花布每米售價(jià)60元，買1.5米要付多少元？

教師先喚醒學(xué)生對(duì)乘法意義的理解，然后借助三個(gè)問題讓“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”三種計(jì)算類型的問題在對(duì)比中整體呈現(xiàn)。如：

①游船在靜水中平均每分鐘行駛2/5千米，照這樣3分鐘能行駛多少千米？

②一種彩繩每米售價(jià)20元，買3/4米要付多少元？

③游船在靜水中平均每分鐘能劃行2/5千米，照這樣從碼頭到湖心島1/3分鐘就到了，碼頭和湖心島相距多少千米？

審題過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生緊扣“倍”的意義來理解，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)“20元的倍、千米的倍”，去掉“倍”字，也能讀得通，而“400米的3倍、60元的1.5倍”中的“倍”字若去掉，則讀不通。在“通”與“不通”的交流中，學(xué)生把新知悄悄納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中。

問題解決教學(xué)緊扣概念聯(lián)系的同時(shí)，也需分析學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，理清教材問題呈現(xiàn)的邏輯線，讓學(xué)生經(jīng)歷由純情境問題到圖畫式問題，再到圖畫與文字相結(jié)合的實(shí)際問題的過程，最后發(fā)展為純文字問題;由一步計(jì)算實(shí)際問題，逐步發(fā)展為兩步甚至多步計(jì)算實(shí)際問題;經(jīng)歷解決同類量問題到不同類量問題，由一個(gè)問題到一類問題，再到多類問題的過程，在過程中不斷反思核心概念，體驗(yàn)概念的發(fā)展軌跡，積累問題解決經(jīng)驗(yàn)，感受問題解決的價(jià)值，提高實(shí)踐能力。

三、實(shí)踐：結(jié)構(gòu)化視域下小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的實(shí)施策略

問題是載體，概念是本源。問題是直接呈現(xiàn)的，概念則隱含在教學(xué)的全部過程之中。問題解決教學(xué)，可以從以下三個(gè)方面嘗試實(shí)踐。

（一）情境創(chuàng)設(shè)：指向概念意義的理解

入境生情是語文閱讀教學(xué)的常規(guī)要求，解決數(shù)學(xué)問題也需從情境入手，分析條件與條件、條件與問題之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，挖掘隱藏于問題之中的核心概念，自主解決問題，形成解題策略。

1.由情境的演繹到問題的解決

在第一學(xué)段的問題解決教學(xué)中，很多問題都會(huì)以情境的形式呈現(xiàn)，教師需引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)真觀察畫面的基礎(chǔ)上，通過情景對(duì)話或角色扮演等方式，身臨其境，尋求問題解決的路徑。比如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一年級(jí)下冊(cè)“元、角、分”單元安排的購物類的實(shí)際問題：

買一個(gè)足球付了55元，找回2元，一個(gè)足球多少元？

在當(dāng)今互聯(lián)網(wǎng)移動(dòng)支付迅猛發(fā)展的時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)購物虛擬支付成為常態(tài)，現(xiàn)實(shí)的購物體驗(yàn)學(xué)生是極其缺乏的。所以有必要安排學(xué)生通過角色扮演，在實(shí)際的付錢、找錢活動(dòng)中，體會(huì)付出的55元實(shí)際被分成了一個(gè)足球的錢與找回的錢兩部分，核心概念是“分”，要求的是整體中的某個(gè)部分，要用減法解決。

從情境入手分析，能夠激發(fā)學(xué)生問題解決的興趣，快速拉近問題與學(xué)生之間的距離，幫助學(xué)生找到藏于問題背后的核心概念，在問題解決的過程中促進(jìn)學(xué)生思維向縱深發(fā)展。

2.由算式記錄到情境的回歸

由情境演繹到問題解決體現(xiàn)的是形象思維數(shù)學(xué)化的過程，當(dāng)思維抽象到一定程度，也需向多維度發(fā)散，尋找生活情境來支撐符號(hào)化的數(shù)學(xué)知識(shí)。教學(xué)中可以經(jīng)常開展“看算式編故事”的活動(dòng)，比如根據(jù)7×4=28這道算式，學(xué)生可能想到“每只七星瓢蟲背上有7個(gè)點(diǎn)，4只七星瓢蟲背上一共有多少個(gè)點(diǎn)？”，也可能想到“每句古詩有7個(gè)字，4句一共有多少個(gè)字？”，還可能想到“一個(gè)星期有7天，4個(gè)星期有多少天？”……學(xué)生在這樣的故事講述中不僅能進(jìn)一步理解算式的意義，而且能訓(xùn)練思維的發(fā)散性，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

（二）多維度表征：搭建問題解決的階梯

在問題解決教學(xué)過程中，提出問題是前提，分析問題是關(guān)鍵，在搭建問題解決階梯的過程中剖析核心概念，才能使問題得以順利解決的同時(shí)，真正達(dá)成既定教學(xué)目標(biāo)。

學(xué)生在初步了解所需解決的條件與問題后，需要把信息在腦中呈現(xiàn)并表達(dá)出來，借助語言、動(dòng)作、圖形等表征方式讓思維可視。

1.符號(hào)表征

借用語文閱讀教學(xué)的方式，讓學(xué)生在讀題、審題環(huán)節(jié)中圈注出易混、易錯(cuò)信息，為后續(xù)分析環(huán)節(jié)做好提醒。

2.圖形表征

借助圖形呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，能夠起到化抽象為直觀、變枯燥為生動(dòng)的效果。畫示意圖就是一種常見的表征方式。比如：“雞和兔一共有8只，它們的腿有22條，雞和兔各有多少只？”這是一道經(jīng)典的雞兔同籠實(shí)際問題，教材編排在六年級(jí)下冊(cè)，若將其放置于三年級(jí)的課堂，引導(dǎo)學(xué)生畫示意圖，在把兩種未知量假設(shè)成同一種量之后，就可以運(yùn)用“相差關(guān)系”“份總關(guān)系”問題的數(shù)量關(guān)系來解決。

畫8個(gè)○表示8只雞，給每只雞畫上兩條腿：現(xiàn)在畫了8×2=16條腿，還要畫22-16=6條，因?yàn)槊恐浑u比兔少2條腿，只需補(bǔ)足6條腿，從圖中就可以看出雞有5只，兔有3只。

畫線段圖是一種抽象程度更高的圖形表征方式，在問題解決教學(xué)中應(yīng)用更為廣泛。蘇教版教材更是在四年級(jí)下冊(cè)“解決問題的策略”單元，特意安排了“畫線段圖”一課，將其提升到策略應(yīng)用的層面，寄希望于學(xué)生在分析問題的過程中感受畫線段圖的價(jià)值，形成自覺運(yùn)用的意識(shí)與習(xí)慣。但很多時(shí)候畫線段圖還僅僅停留在一種要求的層面，而沒有內(nèi)化為一種需求。尊重學(xué)生思維的差異性，讓畫線段圖分析問題成為學(xué)生自發(fā)的行為，這是問題解決教學(xué)需要努力的方向。

3.語言表征

曾有人說“語言是思維的外殼”，面對(duì)數(shù)學(xué)問題，每個(gè)學(xué)生的思維層次都是不同的，教師可以通過語言表達(dá)來了解學(xué)生的思維進(jìn)程。課堂可以開展“找條件提問題”的訓(xùn)練：用最簡(jiǎn)潔的語言表達(dá)兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的條件，提出一個(gè)問題，然后現(xiàn)場(chǎng)考察，讓其他同學(xué)找出問題背后的核心概念，并說出解題方法。比如：

王大伯把收獲的蘋果運(yùn)往外地，已經(jīng)裝滿15車，每車28筐，還剩下16筐。王大伯一共收獲蘋果多少筐？

生1：有15車蘋果，每車28筐，一共多少筐？

生2：求15個(gè)28是多少，用乘法15×28=420（筐）。

生3：車上裝了420筐蘋果，還剩下16筐，請(qǐng)問一共有多少筐？

生4：屬于“合”，要把已經(jīng)裝上車的與還剩的合起來。420+16=436（筐）。

常開展這樣的訓(xùn)練，能幫助學(xué)生進(jìn)一步感知條件與條件、條件與問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，排除多余條件或某些抽象術(shù)語的干擾，提取隱藏信息，養(yǎng)成有意識(shí)地從核心概念的角度思考的習(xí)慣。

（三）形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)

“初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“問題解決”方面提出的目標(biāo)之一。在教學(xué)中，教師要在解決問題的不同環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生反思，比如在問題解決之前，要反思自己解決問題的困難在哪里？問題解決之后，要反思是如何分析信息的，該問題的核心概念是什么？問題是怎樣得以解決的？這個(gè)問題又能引發(fā)我想起什么類似的問題？問題之間的聯(lián)系是什么？我可以提醒別人什么？……讓學(xué)生在反思與問題的有效遷移對(duì)比中發(fā)現(xiàn)核心概念之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生積極展現(xiàn)自己思維的進(jìn)程，在相互的交流與評(píng)價(jià)中促進(jìn)思維進(jìn)階。

找準(zhǔn)問題背后的核心概念，以結(jié)構(gòu)化的視角設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)，學(xué)生將不僅僅解決點(diǎn)狀的某個(gè)問題，從而產(chǎn)生以點(diǎn)帶面、促面成體的效果。以結(jié)構(gòu)化的“教”帶動(dòng)結(jié)構(gòu)化的“學(xué)”，才能使“學(xué)”真正走向靈動(dòng)、走向輕松。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]溫寒江，陳立華，魏淑娟.小學(xué)數(shù)學(xué)兩種思維結(jié)合學(xué)習(xí)論：馬芯蘭教學(xué)法的研究與實(shí)踐[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016：14.

責(zé)任編輯：石萍

*本文系南京市教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃課題“兒童立場(chǎng)視域下小學(xué)‘童化數(shù)學(xué)的實(shí)踐研究”（L/2020/275）的階段性成果。

收稿日期：2020-11-30

作者簡(jiǎn)介：程香，南京市江寧科學(xué)園小學(xué)（江蘇南京，211100），南京市學(xué)科帶頭人，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);張晨麗，南京市竹山小學(xué)（江蘇南京，211100）教師。