偏序集的軟理想

梁世欣，郝旭東

(華東師范大學 哲學系，上海 200241)

0 引 言

偏序集理論的發(fā)展時間尚短，關(guān)于偏序集理論的專業(yè)雜志Order是1984年第一次出版的. 之后，Bernd S.W.Schr?der在OrderedSets:Anintroduction中列舉了許多公開問題，如代數(shù)拓撲方向、序與分析的關(guān)系等等. 可見，偏序集作為一種序結(jié)構(gòu)與數(shù)學的另外兩大結(jié)構(gòu)(代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu))有著很大的交叉研究價值[1]. 雖然偏序集理論的發(fā)展時間不長，但是作為具有特殊序關(guān)系，同時具有序結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)的格早在19世紀末就被Julius W.R.Dedekind提出來了. 而理想作為格論中一重要概念一直被廣大學者所研究. 理想這一概念是由Marshall H. Stone首次提出的，它是建立交換環(huán)理論的基礎. 之后人們將理想與各種代數(shù)理論相結(jié)合，研究關(guān)于理想的性質(zhì). 2006年，姜廣浩和王戈平提出了偏序集上的局部極大理想，并研究了它的存在性以及偏序集的理想的分解[2]. 之后，姜廣浩和徐羅山又給出了偏序集上的濾子極大理想的定義，證明了其相應的存在性定理[3]； 2008年，潘美林受文獻《偏序集上的局部極大理想》的啟發(fā)，給出了偏序集的弱理想和弱濾子的概念，研究了它們的一些性質(zhì).[4]隨后，姜廣浩等先后給出了偏序集上濾子極大理想的若干注記和偏序集上的理想極大濾子及其應用，并對其性質(zhì)進行了考察[5-6].

對于軟集理論的研究可以回顧到1999年，在俄羅斯數(shù)學家D.Molodtsov看來，經(jīng)典的概率論、模糊集理論和區(qū)間數(shù)學方法作為處理不確定性的數(shù)學工具，都具有各種典型的不確定性的困難[7]. 為了更好地解決社會科學、醫(yī)學、工程學和環(huán)境學等方面的復雜問題，軟集理論作為一種處理不確定性的、模糊性的或者是沒有明確定義的對象的普遍適用的數(shù)學工具被D.Molodtsov首次提出. 之后印度數(shù)學家P. K. Maji等人在2003年做了大量的補充工作，給出了軟集的一些代數(shù)運算，如并、交運算以及且、或運算，并給出了一些相關(guān)性質(zhì)[8]. H. Aktas等隨后將軟集與模糊集和粗糙集等相關(guān)概念進行了比較，然后給出了軟群的概念，并且刻畫了它的相關(guān)性質(zhì)，由此開創(chuàng)了軟集代數(shù)研究的新方向[9]. 在軟集代數(shù)方面，F(xiàn). Feng等在2008年將軟集理論運用到半環(huán)中，提出了軟半環(huán)和軟半環(huán)的軟理想等代數(shù)結(jié)構(gòu)[10]. 同年，Y. B. Jun等提出了軟BCI/BCK(子)的新的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并研究了其相關(guān)性質(zhì)[11]. 之后，付文清等研究了軟BCK代數(shù)并給出軟BCK-代數(shù)的廣義交和廣義并運算[12]. 軟環(huán)的定義也于2010年由U. Acar等給出，他們對軟環(huán)的軟理想和軟同態(tài)等相關(guān)性質(zhì)進行了研究[13]. 廖祖華等在2012年引入并研究了軟坡及其相關(guān)性質(zhì)[14-15]. 之后，還有眾多學者對軟集代數(shù)理論及其應用方面進行了一系列的研究[16-18].

文獻《軟BCI-代數(shù)的軟a-理想》將軟集與BCI-代數(shù)的理想相結(jié)合，提出了軟BCI-代數(shù)的軟a-理想的新的結(jié)構(gòu)[19]. 本文受此啟發(fā)，按照通常國際上軟集代數(shù)的定義方式，將軟集理論與序理論相結(jié)合，給出了偏序集的軟理想等概念，運用點態(tài)化的證明方法證明其上的運算的性質(zhì)，豐富了軟集代數(shù)方面的理論. 本文在第二部分中給出文中需要的基本概念和相關(guān)定理，第三部分給出了偏序集的軟理想的概念，給出了軟理想在軟集不同運算下的性質(zhì)，第四部分引入了偏序軟同構(gòu)的概念，獲得了在偏序軟同構(gòu)下軟理想的像的性質(zhì).

1 預備知識

定義1.1[20]設P是一個集合，P上的二元關(guān)系≤叫作一個偏序關(guān)系，如果滿足

(1)自反性：a≤a，(?a∈P)，

(2)反對稱性：a≤b，b≤a?a=b，(?a,b∈P)，

(3)傳遞性：a≤b，b≤c?a≤c，(?a,b,c∈P)，

這時稱(P,≤)(或簡稱P)為一個偏序集.

定義1.2(笛卡兒積)A，B是兩個非空集合，記A×B為A，B的笛卡兒積，且A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}.

定義1.3[20]設(P,≤)與(Q,≤)是兩個偏序集，稱映射f:P→Q為序同態(tài)，如果滿足

(1)x≤y?f(x)≤f(y)，(?x,y∈P)

稱f為滿序同態(tài)，如果f既滿足(1)又是滿射，稱f為序同構(gòu)，如果f是滿射，且滿足(1)與

(2)x≤y?f(x)≤f(y)，(?x,y∈P).

定理1.1序同構(gòu)f:P→Q是雙射.

證明要證明f:P→Q是雙射，由已知f是滿射，故只要證明f是單射即可.

事實上，?x,y∈P，若f(x)=f(y)，則f(x)≤f(y)且f(x)≥f(y)，由定義1.3得，x≤y且x≥y，因為(P,≤)為偏序集，所以x=y.

注1.1： 定義1.3將文獻[10]中的序同構(gòu)的定義f是雙射的條件減弱為滿射.

定義1.4[20](直積) 令T=X×Y(笛卡兒積),在T中如下定義一個二元關(guān)系≤:(x,y)≤(x′,y′)?x≤Xx′且y≤Yy′，(?(x,y),(x′,y′)∈T). 易見≤是T上的一個偏序關(guān)系，稱偏序集(T,≤)是偏序集X與偏序集Y的直積，記作T=X×Y或T=XY.

定義1.5[21]設I為偏序集X的一個非空子集，?x∈X，?y∈I，若x≤y可以推出x∈I，稱I是X的理想.

定理1.2設M，N為偏序集X的理想，則M∪N仍為X的理想.

證明?x∈X，?y∈M∪N，若x≤y，又y∈M或y∈N，

(1)當y∈M時，因M是偏序集X的理想，由

x≤y知，x∈M；

(2)當y∈N時，同理可證x∈N；

故x∈M或x∈N，即x∈M∪N，所以它們的并仍為X的理想.

定理1.3設M，N為偏序集X的理想，則M∩N仍為X的理想.

證明?x∈X，?y∈M∩N，若x≤y，又y∈M且y∈N，

(1)當y∈M時，因M是偏序集X的理想，由

x≤y知，x∈M；

(2)當y∈N時，同理可證x∈N；

故x∈M且x∈N，即x∈M∩N，所以它們的交仍為X的理想.

定理1.4設M，N分別是偏序集X1，X2的理想，則直積M×N是X1×X2的理想.

證明?(x,y)∈X1×X2，?(a,b)∈M×N，若(x,y)≤(a,b)，即x≤a且y≤b. 因M是X1的理想，N是X2的理想，故x∈M且y∈N，所以(x,y)∈M×N，即M×N是X1×X2的理想.

定義1.6[7]設U是一個論域，E是參數(shù)集，A?E，P(U)是U的冪集，若F是A到P(U)的映射，則稱(F,A)為U上的一個軟集.

定義1.7[22]設(F,A)和(G,B)分別是U和U′上的軟集，定義軟集的直積(F,A)×(G,B)如下： (F,A)×(G,B)=(H,C)，其中C=A×B，H(x,y)=F(x)×G(y)，?(x,y)∈A×B.

定義1.8[8]設(F,A)，(G,B)為U上兩個軟集，若滿足

(1)A?B；

(2)?e∈A，F(xiàn)(e)=G(e).

則稱(F,A)為(G,B)的軟子集，記為

定義1.9[8]設(F,A)和(G,B)是U上的兩個軟集，定義它們的擴展并為軟集(H,C)，其中C=A∪B，且?e∈C，

定義1.10[23]設(F,A)和(G,B)是U上的兩個軟集，定義它們的擴展交為軟集(H,C)，其中C=A∪B，且?e∈C，

記(F,A)∩E(G,B)=(H,C).

定義1.11[23]設(F,A)和(G,B)是U上的兩個軟集，且A∩B≠φ，

(1)定義它們的限制交為軟集(H,C)，其中C=A∩B，且?c∈C，H(c)=F(c)∩G(c)，記為(F,A)∩R(G,B)=(H,C)；

(2)定義它們的限制并為軟集(H,C)，其中C=A∩B，且?c∈C，H(c)=F(c)∪G(c)，記為(F,A)∪R(G,B)=(H,C).

(3)定義它們的限制差為軟集(H,C)，其中C=A∩B，且?e∈C，H(e)=F(e)-G(e)，記為(F,A)∩D(G,B)=(H,C).

定義1.12[8]設(F,A)，(G,B)為U上兩個軟集，令(F,A)∧(G,B)=(H,A×B)，其中H(α,β)=F(α)∩G(β)，?(α,β)∈A×B，則稱(F,A)∧(G,B)為(F,A)和(G,B)的且運算.

定義1.13[8]設(F,A)，(G,B)為U上兩個軟集，令(F,A)∨(G,B)=(O,A×B)，其中O(α,β)=F(α)∪G(β)，?(α,β)∈A×B，則稱(F,A)∨(G,B)為(F,A)和(G,B)的或運算.

定義1.14[22]設(F,A)和(G,B)分別是U和U′上的軟集，f:U→U′，g:A→B是兩個映射，則稱偶(f,g)是一個(F,A)→(G,B)的軟映射，由(f,g):(F,A)→(G,B)表示，如果滿足f(F(x))=G(g(x))，?x∈A. 若f和g是單射(或雙射或滿射)，那么(f,g)被稱為單射(或雙射或滿射).

2 偏序集的軟理想

定義2.1設X是一個偏序集，(F,I)是一個軟集，若?x∈I，F(xiàn)(x)是X的理想，則(F,I)是偏序集X的軟理想.

例子2.1設U={a,b,c,d,e,}，則(P(U),?)是偏序集，令E={λ1,λ2,λ3,λ4}為參數(shù)集，A={λ1,λ2,λ3}，F(xiàn):A→P(U)，

F(λ1)={φ,{a},,{a,b}}，

F(λ2)={φ,{a}},

F(λ3)=

{φ,{a},,{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}，因F(λ1)，F(xiàn)(λ2)，F(xiàn)(λ3)都是P(U)的理想，則(F,A)為(P(U),?)的軟理想.

定理2.1設(F,I)是偏序集X的一個軟理想，如果C?I，那么(F|C,C)是X的一個軟理想，其中F|C表示F在C上的限制.

證明?x∈C?I，F(xiàn)|C(x)=F(x)，因(F,I)是X的一個軟理想，故F|C(x)=F(x)是X的理想，則(F|C,C)是偏序集X的一個軟理想.

定理2.3設(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，則它們的擴展并(F1,I1)∪E(F2,I2)也是偏序集X的軟理想.

證明令(F1,I1)∪E(F2,I2)=(F,I)，其中I=I1∪I2，且?x∈I，

(1)當x∈I1-I2時，F(xiàn)(x)=F1(x)，由于(F1,I1)是X的軟理想，F(xiàn)1(x)是X的理想，故F(x)是X的理想；

(2)當x∈I2-I1時，同理可證，得F(x)是X的理想；

(3)當x∈I1∩I2時，x∈I1且x∈I2，由已知(F1,I1)和(F2,I2)都是X的軟理想，所以F1(x)和F2(x)都是X的理想，由定理1.2得，F(xiàn)1(x)∪F2(x)仍是X的理想； 綜合(1)(2)和(3)可得，F(xiàn)(x)是X的理想，故(F,I)是X的軟理想.

定理2.4設(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，則它們的擴展交(F1,I1)∩E(F2,I2)也是偏序集X的軟理想.

證明令(F1,I1)∩E(F2,I2)=(G,I)，其中I=I1∩I2，且?x∈I，

(1)當x∈I1-I2時，G(x)=F1(x)，由于(F1,I1)是X的軟理想，F(xiàn)1(x)是X的理想，故G(x)是X的理想；

(2)當x∈I2-I1時，同理可證，故G(x)是X的理想；

(3)當x∈I1∩I2時，x∈I1且x∈I2，由已知(F1,I1)和(F2,I2)都是X的軟理想，所以F1(x),F2(x)都是X的理想，由定理1.3得，F(xiàn)1(x)∩F2(x)仍是X的理想；

綜合(1)(2)和(3)可得，G(x)是X的理想，故(G,I)是X的軟理想.

定理2.5設(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，且I1∩I2≠φ，則它們的限制并(F1,I1)∪R(F2,I2)也是X的軟理想.

證明令(F1,I1)∪R(F2,I2)=(F,I)，其中I=I1∩I2.且?x∈I=I1∩I2，F(xiàn)(x)=F1(x)∪F2(x)，所以x∈I1且x∈I2，因(F1,I1)和(F2,I2)都是X的軟理想，從而F1(x)和F2(x)都是X的理想，由定理1.2得，F(xiàn)1(x)∪F2(x)仍是X的理想，故(F,I)是X的軟理想.

定理2.6設(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，且I1∩I2≠φ，則它們的限制交(F1,I1)∩R(F2,I2)也是X的軟理想.

證明令(F1,I1)∩R(F2,I2)=(G,I)，其中I=I1∩I2. ?x∈I=I1∩I2，G(x)=F1(x)∩F2(x)，所以x∈I1且x∈I2，因(F1,I1)和(F2,I2)都是X的軟理想，從而F1(x)和F2(x)都X是的理想，由定理1.3得，F(xiàn)1(x)∩F2(x)是X的理想，故(G,I)是X的軟理想.

定理2.7設(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，且I1∩I2≠φ，若?x0∈I=I1∩I2，使得F1(x0)∩F2(x0)≠φ，則它們的限制差(F1,I1)∪D(F2,I2)一定不是X的軟理想.

證明令(F1,I1)∪D(F2,I2)=(H,I)，其中I=I1∩I2且?x∈I=I1∩I2，H(x)=F1(x)-F2(x). 由已知，?y0∈F1(x0)-F2(x0)，?z0∈F1(x0)∩F2(x0)且z0≤y0，所以z0?H(x)，因此,H(x)不是X的理想，即(F1,I1)∪D(F2,I2)不是X的軟理想.

定理2.8設(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，且I1∩I2≠φ，若?x∈I=I1∩I2，使得F1(x)∩F2(x)=φ，則它們的限制差(F1,I1)∪D(F2,I2)是X的軟理想.

證明令(F1,I1)∪D(F2,I2)=(H,I)，其中I=I1∩I2且?x∈I=I1∩I2，H(x)=F1(x)，因(F1,I1)是偏序集X的軟理想，則H(x)=F1(x)是X的理想，即(F1,I1)∪D(F2,I2)是X的軟理想.

定理2.9設(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，則它們的且運算(F1,I1)∧(F2,I2)仍為X的軟理想.

證明令(F1,I1)∧(F2,I2)=(F,I1×I2)，其中F(α,β)=F1(α)∩F2(β)，?(α,β)∈I1×I2，因(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，故F1(α)和F2(β)是X的理想. 由定理1.3得，F(xiàn)1(α)∩F2(β)為X的理想，所以(F,I1×I2)=(F1,I1)∧(F2,I2)為X的軟理想.

定理2.10設(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，則它們的或運算(F1,I1)∨(F2,I2)仍為X的軟理想.

證明令(F1,I1)∨(F2,I2)=(G,I1×I2)，其中G(α,β)=F1(α)∪F2(β)，?(α,β)∈I1×I2，因(F1,I1)和(F2,I2)是偏序集X的兩個軟理想，故F1(α)和F2(β)是X的理想. 由定理1.2得，F(xiàn)1(α)∪F2(β)為X的理想，所以(G,I1×I2)為X的軟理想，即(F1,I1)∨(F2,I2)為X的軟理想.

定理2.11設(F1,I1)，(F2,I2)分別是偏序集X1，X2的軟理想，則直積(F1,I1)×(F2,I2)是X1×X2的軟理想.

證明令(F1,I1)×(F2,I2)=(F,I)，其中I=I1×I2. ?(x,y)∈I1×I2，F(xiàn)(x)=F1(x)×F2(y). 因(F1,I1)，(F2,I2)分別是偏序集X1，X2的軟理想，故F1(x)和F2(y)分別是X1和X2的理想，由定理1.4得，F(xiàn)1(x)×F2(y)是X1×X2的理想，故(F1,I1)×(F2,I2)是X1×X2的軟理想.

3 偏序軟同構(gòu)

定義3.1設(F,A)和(G,B)分別是偏序集U和U′上的軟集，如果映射f和g滿足以下條件

(1)f是U到U′的滿序同態(tài)；

(2)g是A到B的滿射；

(3)?x∈A，f(F(x))=G(g(x)).

則稱(f,g)是一個偏序軟同態(tài)，用(F,A)～(G,B)表示.

若滿足(2)(3)的同時仍滿足(4)f是U到U′的序同構(gòu)，則稱(f,g)是一個偏序軟同構(gòu)，用(F,A)?(G,B)表示.

定理3.1設M是偏序集U的理想，若f是偏序集U到偏序集U′的序同構(gòu)，則f(M)是U′的理想.

證明?u′∈U′，?n′∈f(M)，若u′≤n′，因為f是滿射，?u∈U，使得u′=f(u)，且?n∈M，n′=f(n)，因f是U到U′的序同構(gòu)，則由f(u)≤f(n)推出u≤n，又M是U的理想，則u∈M，故f(u)∈f(M)，即u′∈f(M)，故f(M)是U′的理想.

定理3.2設(F,A)和(G,B)分別是偏序集U和U′上的軟集，且(F,A)是U的軟理想，若(f,g):(F,A)→(G,B)是一個偏序軟同構(gòu)，則(G,B)是U′的軟理想.

證明?y∈B，因(f,g):(F,A)→(G,B)是一個偏序軟同構(gòu)，則?x∈A，f(F(x))=G(y). 又(F,A)是U的軟理想，故F(x)是U的理想. 由定理3.1得，f(F(x))是U′的理想，即G(y)是U′的理想，故(G,B)是U′的軟理想.

4 結(jié)論

本文給出了偏序集的軟理想的概念，并對其上的運算進行研究后得出下面的結(jié)論： 偏序集的軟理想在C上的限制和它的軟子集仍然都是軟理想； 兩個偏序集的軟理想的擴展交(并)和限制交(并)仍然是軟理想. 對于兩個偏序集的軟理想的限制差分情況討論，當?x0∈I=I1∩I2，使得F1(x0)∩F2(x0)≠φ時，兩個偏序集的軟理想的限制差一定不是軟理想； 當?x∈I=I1∩I2，使得F1(x)∩F2(x)=φ時，兩個偏序集的軟理想的限制差一定是軟理想. 兩個偏序集的軟理想在且、或和直積運算下仍然是軟理想； 在偏序軟同構(gòu)下偏序集的軟理想的像是軟理想. 對上述結(jié)論本文給出了理論上的嚴格的證明, 并適當加以實例說明. 這些成果豐富了偏序集的理想和軟集的理論成果. 另外，在本文研究的基礎上，可以利用對偶方法研究濾子及其運算和性質(zhì)，也可以采用將參數(shù)集賦予偏序集的代數(shù)結(jié)構(gòu)來引進新型的軟理想并研究其性質(zhì).