ARMA 模型在股票價格預(yù)測中的應(yīng)用
——以格力電器為例

劉 潔

（仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 經(jīng)貿(mào)學(xué)院，廣州 510220）

0 引言

時間序列是將某個統(tǒng)計量的數(shù)值按照時間先后的順序排列而成的序列，即同一個體在不同時點上的數(shù)據(jù)。在現(xiàn)實的經(jīng)濟(jì)、金融領(lǐng)域中有很多問題，如股票價格、石油價格、利率變動或匯率變動都是時間序列。而股票價格雖影響因素眾多，變幻莫測，表面看上去毫無規(guī)律，但利用時間序列的分析也可找出一些變化規(guī)律，不管是對需要及時了解價格波動的投資者，還是需要把握市場動態(tài)、維護(hù)穩(wěn)定交易環(huán)境的市場管理者來說都意義重大。ARMA 模型在處理平穩(wěn)時間序列的問題上有較好的擬合效果，是處理時間序列非常有效的工具。將ARMA 模型應(yīng)用在股票價格的擬合和應(yīng)用方面，可以讓我們更好地了解股市波動特點，總結(jié)相關(guān)規(guī)律，不管是對理論還是實踐都有重要的指導(dǎo)意義。

本文將根據(jù)格力電器股票價格的歷史數(shù)據(jù)，利用ARMA理論建立模型并進(jìn)行預(yù)測，從而推斷格力電器股價未來變化趨勢。

1 ARMA 模型介紹和建模步驟

1.1 模型介紹

ARMA 是自回歸移動平均過程（Auto Regressive Moving Average）的縮寫，由G.E.P.Box 和G.M.Jenkins 在1970 年出版的《Time Series Analysis Forecasting and Control》中提出，ARMA就是由自回歸和移動平均兩部分共同構(gòu)成的一個隨機(jī)過程，通常記為ARMA（p，q），數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中，｛et｝是白噪聲序列，其中p、q 分別表示自回歸和移動平均部分的滯后階數(shù)。當(dāng)p 等于0 時，ARMA（p，q）模型退化成AR（p）模型；當(dāng)q 等于0 時，ARMA（p，q）模型退化成MA（q）模型。

需要注意的是，ARMA 模型僅可對平穩(wěn)時間序列進(jìn)行分析，如果某時間序列非平穩(wěn)，則需要進(jìn)行預(yù)處理，生成一個新的平穩(wěn)時間序列后才能應(yīng)用。在實踐中，通常采用對數(shù)差分或差分的方式進(jìn)行預(yù)處理，而經(jīng)過d 次差分后平穩(wěn)的序列，可以寫成ARIMA（p，d，q）的形式，d 的取值通常不會超過2。

1.2 滯后階數(shù)p、q 的確定方法

滯后階數(shù)p、q 的確定可以通過自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖來確定。若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則該序列可建立AR（p）模型；若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則該序列可建立MA（q）模型；若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則可建立ARMA（p，q）模型。此外，還需要利用AIC 信息準(zhǔn)則和SC 信息準(zhǔn)則來判斷，p、q 的選取若能使AIC 和SC 取值最小，即為最佳的階數(shù)。

1.3 建模步驟

第一步，判斷時間序列是否平穩(wěn)，可以通過建立該組序列的時序圖，或用統(tǒng)計軟件Eviews10 生成自相關(guān)和偏自相關(guān)圖來判斷。第二步，如果該序列平穩(wěn)，便可以建立ARMA（p，q）模型；若該序列不平穩(wěn)，則需要進(jìn)行預(yù)處理，將其轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)序列，而通常轉(zhuǎn)化的方法是進(jìn)行差分或?qū)?shù)差分。第三步，利用Eviews10 生成新序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，預(yù)估p，q 的階數(shù)。第四步，估計參數(shù)并進(jìn)行檢驗，選出符合AIC 和SC 信息準(zhǔn)則最小化的模型。第五步，對生成的殘差序列實施白噪聲檢驗。最后，檢驗?zāi)Ｐ蛿M合結(jié)果，對序列進(jìn)行短期預(yù)測。

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)選擇和來源

本文選取格力電器（000651）2018 年12 月3 日至2019 年11 月29 日的股票收盤價格，共240 個數(shù)據(jù)建立模型，最后對2019 年11 月29 日數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，并與真實交易價格對比，由此來檢測本模型預(yù)測的效果和準(zhǔn)確性。

2.2 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化檢驗與處理

將格力電器原始收盤價（記為X）導(dǎo)入Eviews10 得到圖1，該組數(shù)據(jù)（2018 年12 月3 日至2019 年11 月29 日）不是一個平穩(wěn)的時間序列，雖有波動，但總體是一個向上的趨勢。為了驗證原收盤價格非平穩(wěn)，需要對該組數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF 單位根檢驗。由圖2 的檢驗結(jié)果可知，P 值為0.320 7 不具有顯著性，T統(tǒng)計量也大于10%的臨界值，因此存在一個單位根，該組數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)時間序列。此外，還可以對原序列做出自相關(guān)－偏自相關(guān)圖，由圖4 可以發(fā)現(xiàn)原序列相關(guān)系數(shù)減弱很慢，也可以說明該組數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)時間序列。

圖1 格力電器（000651）股價時序圖

圖2 股價原序列X 的ADF 單位根檢驗

圖3 對數(shù)差分序列DX 的ADF 單位根檢驗

圖4 原序列X 的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖

由于原序列非平穩(wěn)，如需建立ARMA 模型進(jìn)行分析預(yù)測，則必須消除這種不平穩(wěn)特征，因此嘗試在原序列基礎(chǔ)上進(jìn)行差分。對于股票價格來說我們更應(yīng)該關(guān)心收益率，因此我們先對原始收盤價格取對數(shù)，再求差分。在此首先利用Excel 求得對數(shù)差分后的新序列（記為DX），并將其導(dǎo)入Eviews 10，做出時序圖（如圖5 所示）。由圖5 可知，一階差分后序列看起來更加平穩(wěn)，除了個別時刻波動較大，整體圍繞0 值上下波動，可以大致判斷經(jīng)過對數(shù)差分后的序列為平穩(wěn)時間序列。但是僅僅從圖形得出結(jié)論是不準(zhǔn)確的，為了驗證這一結(jié)論，需要對新序列進(jìn)行ADF 單位根檢驗，得到結(jié)果如圖3。由圖3 可以看出，P 值小于0.05 具有顯著性，且T 統(tǒng)計量為－7.607 414，均小于1%、5%和10%的臨界值，因此可以拒絕原假設(shè)，新序列不存在單位根，新序列是一組平穩(wěn)的時間序列，可以在此基礎(chǔ)上建立模型。

圖5 對數(shù)差分后新序列DX 時序圖

2.3 模型識別與估計

根據(jù)ARMA 的識別準(zhǔn)則，若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則該序列可建立AR 模型；若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則該序列可建立MA 模型；若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則可建立ARMA 模型。作為時間序列分析的始祖，Box，Jenkins and Reinsel 認(rèn)為，對于大多數(shù)情況，p≤2與q≤2 就足夠了。為了保險起見，可以讓p 與q 更大些，但具體如何確定p 和q，需要根據(jù)信息法則來判斷。

因此運用Eviews10 可得，格力電器股票價格經(jīng)過一階差分后的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖。由圖6 可見，序列DX的ACF 和PACF 都是拖尾，又因一階差分，因此可以建立ARIMA（p，1，q）模型，而模型的滯后階數(shù)p、q 則要根據(jù)p 值、AIC 準(zhǔn)則和SC 準(zhǔn)則加以確定。

圖6 對數(shù)差分后序列DX 的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖

根據(jù)對數(shù)差分后序列DX 的自相關(guān)－偏自相關(guān)圖，本文嘗試了ARIMA（1，1，1），ARIMA（1，1，2），ARIMA（2，1，1），ARIMA（2，1，2）四種模型，并根據(jù)AIC 準(zhǔn)則和SC 準(zhǔn)則最小的原則，建立ARIMA（2，1，1）模型。從圖7 可以看出，ARIMA（2，1，1）模型p 值小于0.05，系數(shù)的顯著性符合要求，并且AIC 和SC 均為最小。更進(jìn)一步我們可以加大滯后階數(shù)對模型進(jìn)行過度擬合，發(fā)現(xiàn)效果仍然沒有很大改善，因此可以確定ARIMA（2，1，1）就是合適的模型。最后，該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為：

圖7 ARIMA（2，1，1）模型輸出結(jié)果

式中，et為殘差序列。

2.4 模型的診斷與檢驗

在經(jīng)過參數(shù)估計后，還需要對殘差進(jìn)行白噪聲檢測以確認(rèn)建立的ARIMA 模型是否合適。因此對Eviews10 中對殘差進(jìn)行時序圖分析和Ljung－Box 檢驗（即Q 統(tǒng)計量檢測），得到結(jié)果如圖8 和圖9。圖8 顯示殘差基本在0 值上下波動，殘差是一個平穩(wěn)的時間序列。圖9 的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖顯示，兩個系數(shù)都在兩條虛線內(nèi)，且p 值大于0.05，說明Q 統(tǒng)計量小于檢測水平為0.05 的卡方分布臨界值，即已經(jīng)建立的模型的隨機(jī)誤差項是一個白噪聲序列，因此該模型是合理的。此外我們還可以通過檢驗殘差的正態(tài)性來檢驗?zāi)Ｐ?，如果模型正確，則分位數(shù)－分位數(shù)圖應(yīng)該有一條直線穿過眾多的點，而從圖10 中也可以看到，除了少數(shù)幾個點偏離直線較多，其余點都分布在直線附近，從而驗證了模型的準(zhǔn)確性。

圖8 殘差時序圖

圖9 殘差自相關(guān)-偏自相關(guān)圖

圖10 序列分位數(shù)-分位數(shù)圖

2.5 對股票價格進(jìn)行預(yù)測

由于已經(jīng)建立好的ARIMA（2，1，1）模型通過了白噪聲檢測，因而其可以對格力電器股票未來收盤價格進(jìn)行預(yù)測。在Eviews10 軟件中可以選擇靜態(tài)預(yù)測或動態(tài)預(yù)測，首先進(jìn)行動態(tài)預(yù)測，而動態(tài)預(yù)測值基本呈水平線，說明動態(tài)預(yù)測效果不好。然后進(jìn)行靜態(tài)預(yù)測，由于靜態(tài)預(yù)測只能一步向前，得到結(jié)果見圖11，可以看出靜態(tài)預(yù)測效果還是比較好的。這是因為股票價格變動較大，隨著預(yù)測期數(shù)的增加，所得到的結(jié)果誤差也增大，因此應(yīng)用ARIMA 模型對股票價格進(jìn)行預(yù)測短期效果比較合適。

圖11 靜態(tài)預(yù)測圖

由已建立的ARIMA（2，1，1）模型對格力電器2019 年11月29 日的收盤價進(jìn)行短期預(yù)測，可得結(jié)果為57.62，當(dāng)天實際收盤價為57.71，誤差為0.09，比較接近，也由此可以證明用ARIMA 模型對股票價格進(jìn)行預(yù)測短期效果比較好。

3 結(jié)語

綜上所述，ARMA 對描述股價波動有一定參考性，對股價短期的預(yù)測效果也比較好，對投資者有一定參考價值。但是應(yīng)用ARMA 模型對于股票價格的長期預(yù)測就有較大偏差，因為ARMA 模型只是對時間序列本身的屬性進(jìn)行分析，而股票價格的預(yù)測一直是一個難題，且股票市場的影響因素眾多，如市場規(guī)則、國家宏觀經(jīng)濟(jì)政策和公司內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化等都會對股票價格產(chǎn)生重大影響，因此對股票價格的預(yù)測還需要結(jié)合其他條件進(jìn)行綜合判斷。