基于牛頓運動定律和伯努利方程的撒克遜碗下沉研究

王澳 史晨曦 王建達

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098x.2011-5640-9607

摘? 要：撒克遜碗是指底部有洞的碗，其構成的撒克遜碗計時系統(tǒng)是一種古老的計時系統(tǒng)，但對該系統(tǒng)的研究甚少。本文通過牛頓運動定律和伯努利方程進行模型的建立，并通過求解微分方程，得到了撒克遜碗完全下沉時間與洞面積成反比、下沉時間與高度滿足三次多項式的結論。對該系統(tǒng)的理論研究能應用于船舶的下沉，對研究影響船舶下沉時間的因素具有引導意義。

關鍵詞：撒克遜碗? 牛頓運動定律? 伯努利方程? 微分方程

中圖分類號：G647.38? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2021）01（c）-0078-04

Research on Saxon Bowl Sinking Based on Newton's Law of Motion and Bernoulli Equation

WANG Ao? SHI Chengxi? WANG Jianda

（School of Aeronautics and Astronautics， Shenyang Aerospace University， Shenyang，? Liaoning Province， 110000? China）

Abstract： The Saxon bowl refers to a bowl with a hole in the bottom. The Saxon bowl timing system it constitutes is an ancient timing system， but there is little research on this system. In this paper， the model is established by Newton's law of motion and Bernoulli equation， and by solving the differential equations， the conclusion that the complete sinking time of the Saxon bowl is inversely proportional to the hole area， and that the sinking time and height satisfy the third-order polynomial. The theoretical study of this system can be applied to the sinking of ships， which has guiding significance for the study of factors affecting the sinking time of ships.

Key Words： Saxon bowl; Newton's Law of Motion; Bernoulli equation; Differential equation

一個底部有洞的碗放在水中會下沉，撒克遜人用它來計時，稱之為撒克遜碗[1]。撒克遜碗計時系統(tǒng)包括三個部分：底部有洞的碗、提供浮力的液體和較大的容器。對撒克遜碗下沉時間的研究能應用于因底板破損而下沉的船舶上，因此理論研究十分重要。本文就其完全下沉時間與洞的面積的關系、下沉時間與高度的關系展開研究。

1? 系統(tǒng)簡化

由于碗的形狀多樣，且不規(guī)則，研究時，我們將其簡化為圓柱體，底部洞的形狀也為圓柱體。這樣簡化，非常接近實際，并且能為后續(xù)的計算帶來方便。

2? 模型建立

基于系統(tǒng)簡化后的結果，我們建立以下的模型，并對其受力分析：假設碗在下沉中沒有傾斜，碗內液面高，碗外液面高。、均為時間的函數(shù)，并滿足。其在下沉過程中受到重力、浮力、由于速度產生的壓差阻力[2]。

其他參數(shù)如表1。

3? 模型求解

3.1 碗完全下沉時間與洞的面積的關系

對洞口的水分析，設其位置為y，質量為m，密度為p，加速度為a，碗底面兩側壓強差為。

由壓強公式[3]和牛頓運動定律[4]得到其壓力F：

固定其他參數(shù)的值使得只有洞的面積S1為變量，研究碗完全下沉時間與S1的關系。其他參數(shù)的值如下表2。

將表2中參數(shù)的值代入（11），由MATLAB繪制出擬合后的圖線如圖3。

計算得到擬合后的和t的相關系數(shù)為0.9971，擬合效果很好。

3.2 碗下沉時間與下沉高度的關系

設水流進入洞的初始速度，之后的速度為。假設機械能守恒，由伯努利方程[7]：

此微分方程組暫無法求出解析解，通過Matlab求出數(shù)值解[8]并繪出圖線如下：

對此圖線利用Matlab進行多項式擬合，得到擬合后圖線的如下：

擬合曲線方程為：

其中：P1=-0.3913，P2=6.77，P3=-3.331，P4=1.402

3.3 結果分析

3.3.1 碗完全下沉時間與洞的面積的關系

由圖3可知，當其他參數(shù)固定時，完全下沉時間 和 近似成直線關系，所以可以得到：碗完全下沉時間與洞面積近似成反比。

3.3.2 碗下沉時間與下沉高度的關系

由圖6可知，下沉時間 與下沉高度 滿足三次多項式關系。

4? 結語

本文利用牛頓運動定律和伯努利方程，對撒克遜碗計時系統(tǒng)建模并求解，得到了撒克遜碗完全下沉時間與底部洞面積的關系、碗下沉時間與高度的關系。本文的研究在一定程度上為船舶下沉研究提供了理論依據(jù)。

參考文獻

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