教學(xué)能力大賽背景下的函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)模式新探究

鄧學(xué)明

一、教學(xué)能力大賽背景

隨著信息化的發(fā)展，教學(xué)能力大賽對(duì)于中高職院校的教師提出了許多新要求，如何突破傳統(tǒng)教學(xué)的束縛，結(jié)合新時(shí)期的教學(xué)手段和平臺(tái)，特別是疫情之后的線上教育的發(fā)展，讓職業(yè)教育教學(xué)達(dá)到新的高度是教學(xué)能力大賽的一大目標(biāo)。

筆者作為負(fù)責(zé)人組建了四人教學(xué)團(tuán)隊(duì)，根據(jù)團(tuán)隊(duì)成員特點(diǎn)，按照教學(xué)能力比賽的要求，從東莞市的2020年市賽到廣東省省賽，再到廣東省的國(guó)賽遴選賽，一步一步進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)調(diào)整，最終取得了東莞市的市賽二等獎(jiǎng)、廣東省省賽一等獎(jiǎng)并以數(shù)學(xué)類的第一名進(jìn)入遴選賽。在此基礎(chǔ)上，筆者對(duì)參賽作品中的函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行教學(xué)探究，探討中職數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)可借鑒思路。

二、中職數(shù)學(xué)的教學(xué)改革背景

結(jié)合國(guó)家對(duì)于職業(yè)教育的發(fā)展規(guī)劃，順應(yīng)時(shí)代信息化、智能化的發(fā)展，中職數(shù)學(xué)的教改已進(jìn)入了比較活躍的狀態(tài)，大批教師開始采用新的手段、新的模式進(jìn)行教學(xué)探索。筆者作為其中的一員，以2020年教學(xué)能力大賽為契機(jī)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)進(jìn)行實(shí)踐探究。

三、函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)

（一）課時(shí)1課前

教師制定了認(rèn)識(shí)曲線在生活中的應(yīng)用這一知識(shí)目標(biāo)。為達(dá)成這一目標(biāo)，教師通過(guò)布置網(wǎng)上搜集曲線在生活中的應(yīng)用實(shí)例，并將搜集到的曲線上傳到雨課堂平臺(tái)，要求學(xué)生對(duì)于所搜集曲線的含義進(jìn)行闡述這一課前任務(wù)。同時(shí)，教師在希沃白板中上傳自制的曲線應(yīng)用的微課，要求學(xué)生觀看學(xué)習(xí)并發(fā)表學(xué)習(xí)感想。

為了引入新知，教師通過(guò)設(shè)置兩個(gè)導(dǎo)學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生在導(dǎo)學(xué)稿上完成如下練習(xí)——練習(xí)1：某公司采購(gòu)一批原材料，固定成本為1千元，該材料每噸2千元，那么購(gòu)買x噸所需的費(fèi)用y與x之間的關(guān)系式是什么？練習(xí)2：某公司有一批資產(chǎn)，初始價(jià)值為12萬(wàn)元，每年折舊貶值1萬(wàn)元，那么x（不超過(guò)12）年后該資產(chǎn)的價(jià)值y與x的關(guān)系式如何？

課前微課實(shí)現(xiàn)抽象知識(shí)生活化、具體化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。導(dǎo)學(xué)稿能夠讓學(xué)生對(duì)于函數(shù)的表示法進(jìn)行復(fù)習(xí)，同時(shí)引出新知識(shí)。整個(gè)課前任務(wù)既能培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，又能培養(yǎng)學(xué)生搜集素材的能力。教師利用智能平臺(tái)掌握學(xué)生的課前學(xué)習(xí)情況以及任務(wù)完成度，從而有針對(duì)性地調(diào)整課中教學(xué)。

（二）課時(shí)1課中

為實(shí)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性概念和性質(zhì)的教學(xué)，達(dá)到90%的學(xué)生掌握什么是單調(diào)性、如何根據(jù)圖象觀察單調(diào)性并正確地指出單調(diào)區(qū)間，教師在教學(xué)過(guò)程中實(shí)施以下五個(gè)步驟的教學(xué)。

1.感悟分享，新知引入

教師通過(guò)平臺(tái)反饋學(xué)生搜集的曲線，并抽號(hào)邀請(qǐng)學(xué)生分享自己搜集的曲線案例。緊接著，教師重新播放曲線在生活中的應(yīng)用微課并要求學(xué)生談?wù)動(dòng)^看感悟。這一環(huán)節(jié)，通過(guò)分享學(xué)生自身搜集的曲線案例，提升其語(yǔ)言表達(dá)能力以及職業(yè)素養(yǎng)。微課重溫以及感悟分享，讓學(xué)生加深對(duì)曲線的起伏變化意義的理解。

2.實(shí)例探究，初感新知

教師要求學(xué)生互評(píng)前置練習(xí)中大家完成的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式——y=2x+1（x>0）和y=12-x（0≤x≤12）;發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生容易忽略自變量x的取值范圍，針對(duì)這一問(wèn)題，教師邀請(qǐng)掌握較好的學(xué)生進(jìn)行解釋以糾正學(xué)生容易忽略的知識(shí)點(diǎn)。進(jìn)一步，教師要求學(xué)生小組合作，利用列表法在導(dǎo)學(xué)稿上繪制上述兩個(gè)函數(shù)的圖象，并拍照上傳至易課堂平臺(tái)。然后提問(wèn)：觀察兩個(gè)函數(shù)圖象，最大的差別是什么？多數(shù)學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)圖象一個(gè)是上升，一個(gè)是下降。在此基礎(chǔ)上，教師引出新知：本節(jié)課要學(xué)習(xí)的就是圖象具有類似這樣的上升或者下降趨勢(shì)的函數(shù)性質(zhì)——單調(diào)性。函數(shù)圖象從左至右呈上升趨勢(shì)的函數(shù)叫做單調(diào)遞增函數(shù);函數(shù)圖象從左至右呈下降趨勢(shì)的函數(shù)叫做單調(diào)遞減函數(shù)。

這一環(huán)節(jié)發(fā)揮了線下課堂的優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生動(dòng)手繪制函數(shù)圖象，從而更直觀感受圖象的差別。也利用了線上優(yōu)勢(shì)，將所繪制的圖象上傳至易課堂平臺(tái)，方便教師掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。通過(guò)具體實(shí)例引出新知，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有初步感知。

3.深度挖掘，歸納定義

教師引導(dǎo)學(xué)生分別觀察課前練習(xí)1和2中的表格數(shù)據(jù)，找出其自變量的變化趨勢(shì)以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)。通過(guò)探究表格中數(shù)據(jù)的變化，得出增減函數(shù)中自變量與函數(shù)值的變化規(guī)律。

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述所找到的變化規(guī)律，得出單調(diào)性的本質(zhì)。然后將變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)，引出增函數(shù)（增區(qū)間）的數(shù)學(xué)定義，同時(shí)類比得到減函數(shù)（減區(qū)間）的數(shù)學(xué)定義。這一探究活動(dòng)的設(shè)置，讓學(xué)生逐步提升數(shù)學(xué)歸納和數(shù)學(xué)抽象的能力。

4.例題探究，層層推進(jìn)

在得出單調(diào)性圖象性質(zhì)、數(shù)學(xué)定義以及本質(zhì)規(guī)律后，教師及時(shí)設(shè)置如下例題，幫助學(xué)生內(nèi)化所學(xué)知識(shí)。

例題1：根據(jù)圖象找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例題1的設(shè)置培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象，并借此分析出端點(diǎn)不影響單調(diào)性，學(xué)生掌握并理解有限區(qū)間上定義的函數(shù)如何描述其單調(diào)性。

例題2：利用繪圖軟件繪制函數(shù)y=-2/x的圖象，并判斷其單調(diào)性、指出單調(diào)區(qū)間。這道題設(shè)置從兩個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生：一方面，超級(jí)計(jì)算器的使用讓學(xué)生體會(huì)利用信息技術(shù)平臺(tái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)其職業(yè)素養(yǎng);另一方面，體會(huì)無(wú)限區(qū)間上的函數(shù)描述其單調(diào)性時(shí)需要注意的不同點(diǎn)。

例題3：觀看抗疫時(shí)間線視頻。通過(guò)觀看抗疫戰(zhàn)線的視頻，有助于學(xué)生理解生活中曲線單調(diào)性的真實(shí)含義，也無(wú)形中再次向?qū)W生展示祖國(guó)抗疫的歷程，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)教育，體現(xiàn)思政進(jìn)課堂的思政要求。而課程融入思政正是職業(yè)教育課改需要走的一個(gè)方向，這也是本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn)特色。

（三）課時(shí)2課中

在課時(shí)1的基礎(chǔ)上，為了實(shí)現(xiàn)90%以上的學(xué)生能夠深度理解函數(shù)單調(diào)性的定義，并能夠利用定義判定單調(diào)性這一教學(xué)目標(biāo)，教師實(shí)施以下五個(gè)步驟的教學(xué)。

1.微課復(fù)習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境

回顧函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及其定義，微課重溫分享單調(diào)性概念，為單調(diào)性的進(jìn)一步應(yīng)用做好鋪墊。在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)矛盾：沒(méi)有圖象的情況下如何判斷單調(diào)性？以此激發(fā)學(xué)生探究欲望，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)，從而引入新課。

2.概念剖析，按部就班

活動(dòng)一：剖析自變量。

小組合作討論，判斷函數(shù)y=x²-x的單調(diào)性的如下方法是否正確：

∵y=x²=x²-x的定義域?yàn)镽，并且-1，3∈R，又因?yàn)?1<3，且.f（-1）=（-1）²-（-1）=2，f（3）=3²-3=6，∴f（-1）

在這個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生很容易分析得出，該函數(shù)圖象是開口向上的一條拋物線，那么它不可能一直都是上升的圖象，故而說(shuō)它是R上的增函數(shù)這一結(jié)論是錯(cuò)的。在此基礎(chǔ)上，教師提問(wèn)錯(cuò)在什么地方，提示學(xué)生用單調(diào)性的定義去套，那么學(xué)生不難得出我們需要的自變量是任意取的兩個(gè)自變量x₁和x₂，而非兩個(gè)具體的自變量-1和3，進(jìn)而總結(jié)出定義中的“任取兩個(gè)自變量”的重要性和必要性。

活動(dòng)二：剖析函數(shù)值。

部分學(xué)生在計(jì)算自變量為具體實(shí)數(shù)時(shí)能夠準(zhǔn)確算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，當(dāng)自變量為其他抽象的符號(hào)如x₁和x₂時(shí)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值存在困難。為此教師設(shè)置活動(dòng)：

已知函數(shù)f（x）=x²+2x，計(jì)算函數(shù)值f（1），f（-1），f（a），f（x₁）f（x₂）。

為了檢測(cè)學(xué)生的掌握情況，教師通過(guò)易課堂平臺(tái)發(fā)布練習(xí)，學(xué)生通過(guò)計(jì)算得到相應(yīng)的結(jié)果后，利用智能平臺(tái)作答。

本活動(dòng)中的函數(shù)值的計(jì)算算式中，自變量從易到難，從具體到抽象，讓學(xué)生在完成的過(guò)程中能夠逐步尋覓到規(guī)律進(jìn)而掌握相應(yīng)的計(jì)算方法，從平臺(tái)反饋數(shù)據(jù)來(lái)看，90%以上的學(xué)生能夠全部正確。只有少數(shù)學(xué)生存在錯(cuò)誤。

活動(dòng)三：剖析比較大小。

在函數(shù)單調(diào)性定義中，最為困難的一步是如何比較f（x₁）和f（x₂）的大小。為此教師設(shè)置本活動(dòng)：當(dāng)a>b>0時(shí)，比較a²b和ab²的大小。

這一活動(dòng)難度較大，為此教師發(fā)揮小組合作討論的優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生互助，從作差、變形、分解，利用已知條件判斷符號(hào)進(jìn)而得出大小。完成之后學(xué)生利用平板作答器拍照上傳到易課堂平臺(tái)。最后，教師隨機(jī)抽取一位學(xué)生的答案進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并板書整個(gè)解答過(guò)程。

這一活動(dòng)充分發(fā)揮線上和線下的優(yōu)勢(shì)，線上調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性和主動(dòng)性，線下充分克服學(xué)生理解時(shí)存在的數(shù)學(xué)抽象困難以及解題規(guī)范性缺乏的弱點(diǎn)，從而做到讓學(xué)生真正掌握作差法比較大小，為后續(xù)單調(diào)性定義的應(yīng)用做好鋪墊。

3.實(shí)例展示，規(guī)范格式

教師展示例題：利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷下列函數(shù)的單調(diào)性。

（1）y=3_x-1;（2）y=-x²+2（x>0）。

本模塊為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，教師在黑板上板書第1小題，根據(jù)定義法如何規(guī)范地完成整個(gè)判斷過(guò)程，在完成的過(guò)程中及時(shí)提問(wèn)，讓學(xué)生參與思考，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化。在學(xué)生對(duì)于第1小題有了較為深刻的認(rèn)識(shí)后，接下來(lái)利用線上優(yōu)勢(shì)，教師通過(guò)微課視頻展示第2小題，從而提升整個(gè)課堂效率。

本環(huán)節(jié)目的主要是讓學(xué)生體會(huì)在具體實(shí)例中，如何應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行單調(diào)性的判定，并且形成規(guī)范化的解題步驟。在這一過(guò)程中，對(duì)于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維具有重大幫助，學(xué)生的數(shù)值計(jì)算、類比歸納和邏輯分析的學(xué)科核心素養(yǎng)也得到提升，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)重點(diǎn)。

4.分組訓(xùn)練，分組點(diǎn)評(píng)

這一模塊是檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，為此，教師發(fā)布兩個(gè)課堂練習(xí)：利用定義法判斷下列兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性。

（1）y=-2x+1;

（2）y=x²+3（x>0）。

這兩個(gè)練習(xí)與例題的類型相同，只需要學(xué)生做簡(jiǎn)單的知識(shí)遷移即可完成。為此教師分組前面兩組完成小題（1），后面兩組完成小題（2），完成后，所有學(xué)生將答案上傳至易課堂平臺(tái)，然后分別抽取一組派一位同學(xué)上臺(tái)展示過(guò)程，另外一組派代表進(jìn)行點(diǎn)評(píng)分析。

在這樣的設(shè)置環(huán)節(jié)下，學(xué)生的積極性得到調(diào)動(dòng)，同時(shí)學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)氛圍中更容易集中思考，良好地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，模仿例題完成練習(xí)，達(dá)到真正掌握本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)這一目的。在這一過(guò)程中，學(xué)生在團(tuán)隊(duì)合作、自我展示、言語(yǔ)表達(dá)等職業(yè)素養(yǎng)方面得到進(jìn)步。

5.課堂總結(jié)，知識(shí)回顧

在課堂的最后，教師利用思維導(dǎo)圖理順單調(diào)性的知識(shí)結(jié)構(gòu)，升華所學(xué)知識(shí)。

（四）課時(shí)2課后

課堂結(jié)束后，教師布置如下活動(dòng)：離開教室之前，打掃好自己課桌椅周圍的衛(wèi)生，將平板電腦按照號(hào)碼歸位并充電;錄制復(fù)習(xí)微課推送至平臺(tái);布置線上作業(yè);發(fā)布調(diào)查問(wèn)卷，進(jìn)行教學(xué)調(diào)查;匯總學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)。

四、學(xué)習(xí)效果與總結(jié)

（一）學(xué)習(xí)效果

通過(guò)數(shù)據(jù)分析，得出結(jié)論：85%的學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)規(guī)律和數(shù)學(xué)概念;90%的學(xué)生理解了函數(shù)單調(diào)性的圖象幾何性質(zhì);90%的學(xué)生會(huì)利用圖象判斷單調(diào)性并識(shí)別單調(diào)區(qū)間。100%的學(xué)生會(huì)利用工具繪制函數(shù)圖象;90%的學(xué)生在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面得到進(jìn)步和提升;85%的學(xué)生在團(tuán)隊(duì)合作、愛(ài)國(guó)教育方面得到進(jìn)步。

（二）總結(jié)

為了實(shí)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)，教師以符合教學(xué)規(guī)律，重視學(xué)生探究的理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施教學(xué)。課前：充分利用雨課堂、希沃白板等教學(xué)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)微課和課前練習(xí)以及任務(wù)的推送。課中，以和會(huì)計(jì)專業(yè)結(jié)合的材料成本和資產(chǎn)折舊的實(shí)例促使學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作，逐步實(shí)現(xiàn)單調(diào)性的圖象性質(zhì)、本質(zhì)規(guī)律以及數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn);先剖析定義再總結(jié)步驟，將抽象的難點(diǎn)逐步分解容易掌握的小點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)利用定義法判定單調(diào)性，突破教學(xué)難點(diǎn)。為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果的優(yōu)化，教師采用多手段，包括導(dǎo)學(xué)稿、數(shù)學(xué)工具、信息化平臺(tái)以及教學(xué)調(diào)查問(wèn)卷進(jìn)行混合式教學(xué)。