關(guān)于Enabling理想

雷 震

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

Alkan等人在文獻[1]中引入了環(huán)的enabling理想,是Nicholson等人在文獻[2]中提出的強提升理想(strong lifting ideal) 的推廣.環(huán)R的一個理想I稱為強提升的,是指對于任意a∈R,滿足a-a2∈I,存在一個冪等元f(f=f2)∈aR(或者f∈Ra,或者f∈aRa),使得a-f∈I.強提升理想及enabling理想都是基于冪等元提升而推廣的,其目的在于利用環(huán)的同態(tài)研究環(huán)的相關(guān)性質(zhì),特別作用在clean 環(huán)、exchang環(huán)及相關(guān)環(huán)上(參見文獻[1-4]).文獻[2]針對enabling理想提出了3個公開問題,文獻[5]回答了第二個公開問題:若環(huán)R的理想I是enabling理想,則R上一元多項式環(huán)R[x]的理想I[x]不必是R[x]的enabling理想,文獻[6]解決了第三個公開問題:若環(huán)R的理想I是enabling理想,則R上冪級數(shù)環(huán)R[[x]]的理想I[[x]]是R[[x]]的enabling理想,但第一個公開問題至今未能解決,即如果I是環(huán)R的enabling理想,那么環(huán)R上的n階矩陣環(huán)Mn(R)的理想Mn(I)是否為enabling.在研究第一個公開問題的過程中.受上述文獻研究結(jié)果的啟發(fā),我們獲得了相關(guān)結(jié)論,改進了若干已知結(jié)果.本文所有的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)(除非特殊說明).

定理1若環(huán)R上的矩陣環(huán)Mn(R)的理想Mn(I)是enabling理想,則I是R的enabling理想.

證明設(shè)a-e∈I,這里a,e(e=e2)∈R.下證存在R的一個元r,使得ar為冪等元,且a-ar∈I.由于a-e∈I,從而

為Mn(R)的冪等元,且

所以a-ar11∈I,注意到ar11=(ar11)2∈aR,因此I為R的一個enabling理想.

根據(jù)定理1的證明,容易得到下列命題.

命題1若環(huán)R上的矩陣環(huán)Mn(R)的理想Mn(I)是強提升理想,則I是R的強提升理想.

定理2設(shè)I是環(huán)R的一個理想,則下列條件等價:

(ⅰ)I是環(huán)R的enabling理想;

容易驗證

為環(huán)T2(R)的冪等元.

下證e-(eb-ebcr-ebrcr+brcr)∈I.用x≡y表示x-y∈I,根據(jù)上述證明可知c-f∈I,b-d∈I,c-cr∈I及d=ed+df,所以b≡d,c≡f≡cr,edf=0,進而有b≡eb+bf≡eb+bc及ebc≡0,所以

b-(eb-ebcr-ebrcr+brcr)=

b-eb+ebcr+ebrcr-brcr=

-eb+ebcr+ebrcr+b(1-rcr)≡

-eb+ebcr+ebrcr+(eb+bc)(1-rcr)=

-eb+ebcr+ebrcr+eb(1-rcr)+bc(1-rcr)≡

ebcr+b(c-crcr)≡ebc≡0.

因此e-(eb-ebcr-ebrcr+brcr)∈I,即

環(huán)R對于其自身來說顯然是其一個enabling理想,根據(jù)定理2立即可得下列推論.

類似于定理2的證明,可以得到如下命題.

命題2設(shè)I是環(huán)R的一個理想,則下列條件等價

(ⅰ)I是環(huán)R的強提升理想;

有單位元1的環(huán)R的一個理想I稱為弱enabling理想(weakly enabling ideal),是指對于任意a∈R,滿足a-1∈I,存在一個冪等元f(f=f2)∈aR(或者f∈Ra,或者f∈aRa)使得a-f∈I(參見文獻[2]).類似定理2的證明，同樣可以得到如下命題.

命題3設(shè)I是有單位元的環(huán)R的一個理想,則下列條件等價：

(ⅰ)I是環(huán)R的弱enabling理想;