關(guān)于帶有有向圖的G -非擴(kuò)張映射的有限步SP-迭代方法的收斂性分析

賈倩倩, 高興慧

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

不動點理論將各種非線性問題轉(zhuǎn)化為尋求某個映射的不動點問題加以解決，在理論和應(yīng)用中起著至關(guān)重要的作用，其中最著名的是度量不動點理論中的Banach壓縮原理.后來許多學(xué)者在不同方向上擴(kuò)展和推廣了不動點理論(文獻(xiàn)[1—3])，特別地，Jachymski在文獻(xiàn)[4—5]中將不動點理論與圖論中的概念結(jié)合起來，在具有有向圖的完備度量空間中推廣了Banach壓縮原理.之后，許多學(xué)者對在具有有向圖的Banach空間上的不動點問題進(jìn)行了研究，并給出了相關(guān)結(jié)論(文獻(xiàn)[6—7]).Phikul Sridarat在文獻(xiàn)[8]中給出了關(guān)于3個G-非擴(kuò)張映射的公共不動點的三步SP-迭代方法，迭代算法如下：

(1)

受上述工作的啟發(fā)，本文給出了有限個G-非擴(kuò)張映射的公共不動點的有限步SP-迭代的強(qiáng)收斂定理和弱收斂定理，并給出數(shù)值例子論證該方法的優(yōu)點，算法如下：

(2)

1 預(yù)備知識

定義1[9]稱T:C→C為G-非擴(kuò)張的，若T滿足下列條件：

(ⅰ)T保留G的邊界，即(x,y)∈E(G)?(Tx,Ty)∈E(G)；

(ⅱ)T不增加G的邊權(quán)值，方式如下:

定義6[11]設(shè)C是賦范空間X的非空子集且G=(V(G),E(G))是有向圖,滿足V(G)=C,稱C有性質(zhì)G:若C中的每個序列弱收斂于x∈C且(xn,xn+1)∈E(G)，對所有的n∈N，則存在{xn}的子序列{xnj}使得(xnj,x)∈E(G),?j∈N.

注1[11]若G是可傳遞的，則性質(zhì)G等價于若C中的序列{xn}滿足(xn,xn+1)∈E(G)，使得對{xn}的任一子序列{xnj}弱收斂于x∈X,則(xn,x)∈E(G)，?n∈N.

2 主要結(jié)果

證明因為

(3)

并且

(4)

綜上所述可得

(5)

于是

(6)

那么

(7)

(8)

由xn+1的定義可得

(9)

(10)

(11)

從而

(12)

(13)

(14)

因為

(15)

由(14)～ (15)式及文獻(xiàn)[6]中的引理2.1可得

(16)

(17)

(18)

(19)

由(17)式和(19)式得

(20)

(21)

(22)

又

(23)

在(23)式兩邊取極限，由(21)～(22)式得

(24)

(25)

(26)

(27)

由(25)式和(27)式得

(28)

(29)

故

證畢

主導(dǎo)的，則{xn}弱收斂于x∈F.

引理3的證明過程類似于文獻(xiàn)[6]中引理3.8的證明.

主導(dǎo)的，則{xn}強(qiáng)收斂于x∈F.

3 數(shù)值實驗

在這一節(jié)中，我們給出了數(shù)值實驗用于支持所得到的重要定理.

例1設(shè)X=R且C=[0,2],假設(shè)G=(V(G),E(G))是有向圖且滿足V(G)=C，(x,y)∈E(G)當(dāng)且僅當(dāng)0.50≤x≤y≤1.70，T1,T2,…,TN定義如下：

在相同的迭代步數(shù)下比較SP-迭代和多步Noor-迭代收斂速度(圖1～2).

圖1 迭代圖

由迭代圖可知在相同迭代步數(shù)和初始值下SP-迭代收斂于1的速度明顯快于多步Noor-迭代.

4 總結(jié)

本文介紹了有限個G-非擴(kuò)張映射的SP-迭代方法，并在帶有有向圖的一致凸的Banach空間中證明了其強(qiáng)收斂定理和弱收斂定理，并給出數(shù)值例子比較其與多步Noor-迭代的收斂速度，得到該方法收斂的優(yōu)越性.

圖2 誤差圖