可靠度分析中拉丁超立方和傳統(tǒng)舍選抽樣法對比研究

鮑俊文，胡欣宇，邢明源，趙少飛

(華北科技學院 建筑工程學院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

自20世紀中期巖土工程領域開展可靠度研究以來，巖土工程可靠度研究成果在工程實踐中產(chǎn)生了重大影響。目前，蒙特卡羅(Monte Carlo)方法是可靠度分析中的主要手段之一，還是檢驗其它可靠度計算方法精度的唯一途徑。由于巖土工程存在很多不確定性因素，該方法也大量應用到巖土工程可靠度分析。文獻[1]中詳細的介紹了該方法的原理。楊明等[2]應用蒙特卡羅法，分析了均質(zhì)土坡的穩(wěn)定可靠度。吳振君等[3]應用該方法對邊坡工程將進行了可靠度分析，討論了拉丁超立方抽樣(LHS)方法和蒙特卡羅傳統(tǒng)抽樣計算可靠度指標的各種方法，得到LHS法較傳統(tǒng)抽樣方法效率上有很大改善。針對蒙特卡羅傳統(tǒng)抽樣方法計算量大的問題，伍國軍等[4]基于拉丁超立方抽樣方法編制了有限元可靠度程序。由于蒙特卡羅方法的結果精度主要取決于抽出樣本的質(zhì)量,符蓉[5]對比了拉丁超立方抽樣方法與傳統(tǒng)抽樣方法，得出拉丁超立方抽樣方法計算效率明顯優(yōu)于傳統(tǒng)抽樣方法。曹偉等[6]應用LHS方法進行了邊坡可靠度的有限元分析，認為LHS方法相較于傳統(tǒng)抽樣方法更加高效，且計算結果較為精確。Nguyen和Chowdhury[8]提出一種應用于巖土工程的風險分析方法，得到了良好的結果。

為了對比蒙特卡羅方法中傳統(tǒng)抽樣方法和拉丁超立方抽樣結果的差別，采用Matlab軟件進行抽樣編程，分析了抽樣方法對條形基礎極限承載力可靠度結果的影響。

1 蒙特卡羅方法的原理

蒙特卡羅方法需要首先產(chǎn)生隨機變量樣本，然后計算得到函數(shù)的樣本，進而統(tǒng)計失效區(qū)域的樣本數(shù)來估計失效概率，該方法的優(yōu)點是概念清晰，易于使用。這種方法的主要缺點是用于準確估計失效概率的樣本數(shù)應足夠大。這必然導致過大的計算量[1]。

可以寫成

(1)

(2)

其中，xi是sx(x)的一個樣本，N為樣本總數(shù)。

蒙特卡羅法實施即為上述計算積分過程。對于工程失效概率Pf

(3)

(4)

因為I(x)服從二項分布且參數(shù)為Pf，其方差為NPf(1-Pf)。Pf是I(x)的均值，Pf的方差可以估計為

(5)

(6)

2 傳統(tǒng)舍選法和拉丁超立方法原理

蒙特卡羅傳統(tǒng)抽樣方法有逆變換法和舍選法，由于逆變換法有一定的條件限制，適用于隨機變量X具有累積分布函數(shù)表達式情況。而舍選法僅需要隨機變量的概率密度函數(shù)表達式，本文選用舍選法與拉丁超立方抽樣方法進行對比。

2.1 舍選法

假如hX(x)和sY(y)為兩個概率密度函數(shù)。先從sY(y)抽取樣本，然后按下面步驟對生成的樣本進行選擇，使得選出的樣本分從hX(x)的分布。具體抽樣步驟如下：

10.秋季仔豬容易發(fā)生豬瘟、霉菌中毒、圓環(huán)病毒病、副傷寒、豬流感、喘氣病、藍耳病及球蟲病，故建議在此期間針對性的不間斷投服“金泰妙（45%泰妙菌素可溶性粉）”、 “金奇氟(20%替米考星)”、伊愛爾（0.6%伊維菌素預混劑）、“氟力佳（20%氟苯尼考可溶性粉）”，連用5～7 d。

(1) 在sY(y)中抽取一個樣本為y*。

(2) 在均勻分布[0, 1]區(qū)間隨機抽一個樣本u，若u

(3) 再重復(1)步驟就可以得到需要的樣本數(shù)量。

2.2 拉丁超立方法

在給定抽樣函數(shù)情況下, 拉丁超立方抽樣方法更能代表抽樣函數(shù)。對于n個相互獨立的隨機變量X1，X，…，Xn，抽樣的具體實施步驟如下:

(1) 每一個隨機變量Xk被分成M個區(qū)域，使得xk1

(2) 假定U是服從[0,1]區(qū)間上的均勻分布，從中抽取一個樣本u，在每個區(qū)域中抽取Xk在第m個區(qū)間段抽取的樣本為

(7)

在整個區(qū)間，共抽取隨機變量Xk的M個隨機變量。

3 抽樣方法的對比

3.1 條形基礎極限承載力計算

巖土工程中，條形基礎的極限承載力常用Hansen公式計算，極限承載力qu為

qu=0.5γBNγ+cNc+γmdNq

(8)

圖1 承受均布荷載的淺基礎

以某一條形基礎為例[1]，基礎寬度為2m，埋深為0.5m,土的重度均取20kN/m3，黏聚力和內(nèi)摩擦角為隨機變量，服從正態(tài)二元分布，黏聚力的均值和標準差分別為20kPa和5kPa，內(nèi)摩擦角的均值和標準差分別為30°和6°，兩者的相關系數(shù)為-0.5。根據(jù)Hansen公式計算的極限承載力qu的均值為1148.5kPa，基礎承受的荷載q為1000kN/m。

3.2 舍選法計算

用傳統(tǒng)舍選法，隨機抽樣數(shù)量分別為3,000、5,000、50,000、200,000和500,000，計算該淺基礎相應的失效概率和變異系數(shù)，結果如表1所示。

表1 傳統(tǒng)舍選法結果

3.3 拉丁超立方法計算

對于上述算例，假設粘聚力和內(nèi)摩擦角相互獨立，在拉丁超立方抽樣中M取5，為了對比兩種抽樣方法，抽樣數(shù)量一樣，分別為3,000、5,000、50,000、200,000和500,000，失效概率和變異系數(shù)如表2所示。

表2 拉丁抽樣法結果

3.4 結果對比分析

兩種方法的結果如圖2所示。由圖2可知，當抽樣個數(shù)達到50,000時，拉丁超立方抽樣方法所計算的失效概率已經(jīng)趨于穩(wěn)定，而使用傳統(tǒng)舍選法抽樣需要達到200,000時，失效概率才趨于穩(wěn)定。采用蒙特卡羅進行可靠度分析時，要得到失效概率穩(wěn)定值，傳統(tǒng)舍選法抽樣數(shù)量為拉丁超立方抽樣數(shù)量的4倍，表明使用拉丁抽樣方法可以大大減少抽樣數(shù)量。

兩類抽樣方法所得到失效概率的變異系數(shù)差別顯著，如圖3所示。傳統(tǒng)舍選法變異系數(shù)隨著抽樣數(shù)量的增加，減小緩慢，而拉丁超立方抽樣法得到變異系數(shù)減小明顯。隨著抽樣數(shù)量的增加，兩類抽樣方法所得變異系數(shù)的比值由1.0，增加到2.0以上。對于達到同樣的變異系數(shù)，需要的樣本數(shù)量差別懸殊，例如當抽樣數(shù)量為500,000時，變異系數(shù)為8.0%，而拉丁超立方法的樣本數(shù)量50,000時，達到了相同的變異系數(shù)。這表明，達到相同的變異系數(shù)，拉丁超立方抽樣數(shù)量可以減小到樣本數(shù)量的1/10。

圖2 失效概率隨抽樣數(shù)量的變化

圖3 變異系數(shù)隨樣本數(shù)量的變化

除了達到穩(wěn)定失效概率時，兩種抽樣數(shù)量差別懸殊外，在配置為Intel酷睿雙核i3-6100臺式機上,計算時間有很大的差異。以抽樣數(shù)量為5,000 為例，計算過程表明，傳統(tǒng)舍選法所用的時間約為65.17 s，而拉丁超立方抽樣方法計算所用的時間為2 s，這表明在相同抽樣數(shù)量的情況下，拉丁超立方抽樣方法計算所用的時間要遠小于傳統(tǒng)舍選法。

傳統(tǒng)舍選法計算的失效概率為0.35%，而拉丁超立方抽樣方法為0.32%，兩種方法的結果差異，是由于舍選法中土的粘聚力和內(nèi)摩擦角被認為是二元正態(tài)分布的隨機變量，而拉丁超立方抽樣法中，假設粘聚力和內(nèi)摩擦角相互獨立，這是導致兩者結果略有差異的原因。

4 結論

(1) 采用蒙特卡羅法計算工程的失效概率時，拉丁超立方法得到失效概率所需要抽樣數(shù)量顯著小于傳統(tǒng)舍選法所需的抽樣數(shù)量，需要的樣本數(shù)量約為舍選法數(shù)量的25%。

(2) 拉丁超立方法通過增加樣本數(shù)量能夠更有效減小失效概率的變異系數(shù)，相同抽樣數(shù)量時其失效概率變異系數(shù)小于舍選法所得結果的一半。