運(yùn)開幾何意義破解絕對(duì)值不等式問題

丁紅星

含絕對(duì)值不等式的常用解法有：

（1）基本性質(zhì)法：對(duì)aER，I|《a臺(tái)a《x《a;|lxl》ar《-a或》a。

（2）平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)。（3）零點(diǎn)分區(qū)間法（或叫定義法）：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式（組）求解。

（4）幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解。

（5）數(shù)形結(jié)合法：在平面直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用函數(shù)圖像求解。

下面我們重點(diǎn)講解如何運(yùn)用幾何意義，解答絕對(duì)值不等式問題。

問題一、利用幾何意義解兩項(xiàng)絕對(duì)值不等式

代數(shù)法與幾何意義解決絕對(duì)值不等式問題的對(duì)比。

例1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求不等式|2x1|+|2x+1|《6的解集。

解法一：代數(shù)法解決絕對(duì)值不等式。分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)解不等式。

評(píng)注：代數(shù)法解決絕對(duì)值不等式問題時(shí)，要根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，這是常用的思維方法。利用零點(diǎn)分類討論法解決絕對(duì)值不等式問題時(shí)，注意分類討論要不重不漏。利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用零點(diǎn)分段法求解，體現(xiàn)了分類討論的思想。

問題二、利用幾何意義解三項(xiàng)絕對(duì)值不等式

例2

解不等式|x-1|+|x-2|《

|x+1|。

解析：所求不等式的幾何意義是在數(shù)軸上找出到點(diǎn)ξ=1與點(diǎn)2=2的距離之和不大于到點(diǎn)=一1的距離的所有流動(dòng)點(diǎn)x。

結(jié)合圖1進(jìn)行判斷，在?與之間的一切點(diǎn)顯示都合乎要求。事實(shí)上，這種點(diǎn)到?與2的距離和正好是1，而到的距離是2+（x-1）=1+x（1

現(xiàn)在讓流動(dòng)點(diǎn)x由點(diǎn)向左移動(dòng)，這樣它到點(diǎn)的距離變小，而到點(diǎn)?與的距離增大，顯然，合乎要求的點(diǎn)只能是介于=一1與=1之間的某一個(gè)點(diǎn)x。

由（1-x）+（2-x）《x-（-1），可得2再讓流動(dòng)點(diǎn)x由點(diǎn)2向右移動(dòng)，雖然這種點(diǎn)到與的距離和與到的距離都在增加，但兩相比較，到ε與的距離和增加的要快。因此，要使這種點(diǎn)合乎要求，也只能流動(dòng)到某一點(diǎn)x而止。

由（xz-1）+（xz-2）《xz-（-1），可得《4。從而不等式的解集為3<.x<4。

評(píng)注：從以上解答過程中可以看到，解答該題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為“在數(shù)軸上觀察動(dòng)點(diǎn)x與幾個(gè)零點(diǎn)間的關(guān)系”，從而獲得所求不等式的解集。

問題三、利用幾何意義或絕對(duì)值不等式的解集求參數(shù)的取值范圍

例3若不等式|x+1|-|x-2|》k的解集為R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解法一：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，-1，2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，則原不等式等價(jià)于|PA|-|PB|》k恒成立。因?yàn)閨AB|=3，即+1|-|x-2|≥-3，故當(dāng)k《-3時(shí)，原不等式恒成立。

要使|x+1|-|-2|》k恒成立，從圖像中可以看出，只要k《一3即可，故k《-3滿足題意。

評(píng)注：解法一是利用數(shù)軸通過零點(diǎn)間的相互關(guān)系，找出使不等式恒成立時(shí)的參數(shù)k的取值范圍;解法二是先把|x+1|-|x-2|構(gòu)造為函數(shù)y=|xc+1|-|x-2|，再畫出分段函數(shù)的完整圖像，對(duì)比兩個(gè)函數(shù)y=|x+1|-|x-2|與y=k的圖像，使得函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的最小值恒大于k，從而求得k的取值范圍。

（責(zé)任編輯王福華）