動(dòng)靜轉(zhuǎn)換中的“供求關(guān)系”

劉建蓉　陳秋雄

摩擦力相關(guān)的動(dòng)靜轉(zhuǎn)換問題，是高中力學(xué)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是高考考查的重點(diǎn)。當(dāng)多個(gè)相互接觸的物體之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，由于場(chǎng)景可能性多，學(xué)生很難判斷物體動(dòng)靜狀態(tài)的轉(zhuǎn)換。通過研究動(dòng)靜轉(zhuǎn)換過程的“供求關(guān)系”，推演出一些輔助判斷的二級(jí)結(jié)論，能夠高學(xué)生解決此類問題的效率。

兩個(gè)物體是否發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可以依靠動(dòng)靜轉(zhuǎn)換中的“供求關(guān)系”進(jìn)行判斷。需求方是維持相對(duì)靜止需要的靜摩擦力，供給方為接觸面能夠提供的最大靜摩擦力，其大小通常由滑動(dòng)摩擦力大小替代。當(dāng)作驅(qū)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)的外力小于最大靜摩擦力，即供大于求，兩物體保持相對(duì)靜止。反之，當(dāng)供不應(yīng)求，兩者發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。從“供求關(guān)系”入手，可以推演出一些實(shí)用的二級(jí)結(jié)論，提升解決問題的效率。

一、 用μ=tanθ判斷物體能否與停在斜面上

靜止在斜面上的物體，因重力作用，物體有下滑的趨勢(shì)，需要靜摩擦力f=mgsinθ才能保持靜止。另一方面，物體與斜面間能提供的最大靜摩擦力為fm=μmgcosθ。當(dāng)μmgcosθ>mgsinθ，即μ>tanθ，供大于求，物體能夠停在斜面上。反之，當(dāng)μ

用μ=tanθ也可以判斷物體能否與傳送帶保持相對(duì)靜止。例如，傳送帶與水平面夾角θ = 37°，皮帶以v = 10m/s的速率運(yùn)動(dòng)，皮帶輪沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。今在傳送帶上端A處無初速地放上一個(gè)質(zhì)量為m = 0.5kg的小物塊，它與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，若傳送帶A到B的長(zhǎng)度為L(zhǎng) = 16m，g取10m/s2，則物體從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為多少？

解決問題的關(guān)鍵在于確定物體從A運(yùn)動(dòng)到B的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景，分析可發(fā)現(xiàn)，物塊在1s后與傳送帶達(dá)到共速。之后物塊可能與傳送帶相對(duì)靜止，也可能相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)加速到B點(diǎn)。應(yīng)用“供求關(guān)系”分析，保持物塊相對(duì)傳送帶靜止的需求方為tan37°=0.5，大于供給方μ=0.5，即供不應(yīng)求，物塊無法與傳送帶保持相對(duì)靜止，由此可判斷物塊繼續(xù)加速到B點(diǎn)。

二、用μg=ω2r判斷物塊能否隨圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

為保持物塊隨圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，需要靜摩擦力為f = mω2r，而轉(zhuǎn)盤與物塊間的最大靜摩擦力為fm = μmg。當(dāng)供求大于求μmg>mω2r，即μg>ω2r，物體能夠隨圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。反之，當(dāng)μg<ω2r時(shí)，則供不應(yīng)求，物體無法隨圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。μg是描述斜面粗糙程度的物理量，代表供給方，ω2r描述轉(zhuǎn)速和物塊距中心的位置，代表需求方。當(dāng)μg=ω2r時(shí)，供需剛好達(dá)到平衡，物體恰好隨圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。

三、用μ=μ2判斷物體是否能夠隨長(zhǎng)木板一起減速

設(shè)物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2。為保證物塊能夠停在長(zhǎng)木板上，隨長(zhǎng)木板沿粗糙水平面減速運(yùn)動(dòng)，需要的靜摩擦力為f = ma = μ2mg，而物塊與長(zhǎng)木板的間的最大靜摩擦力為fm= μ1mg。當(dāng)供求大于求μ1mg>μ2mg，即μ1>μ2，滿足相對(duì)靜止的條件，物體能夠隨木板一起減速。反之，當(dāng)μ1<μ2時(shí)，則供不應(yīng)求，物體無法隨木板一起減速，兩者會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。發(fā)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板在上下兩個(gè)摩擦力共同作用下減速，減速的加速度大，速度減的比較快，首先停止運(yùn)動(dòng)。物塊加速度相對(duì)較小，速度減的比較慢，能夠跑的更遠(yuǎn)一些。在這個(gè)場(chǎng)景中，μ1代表著供給方，μ2代表著需求方。當(dāng)μ1=μ2時(shí)，供需剛好達(dá)到平衡，物體恰好能夠隨木板一起減速。

四、根據(jù)動(dòng)靜轉(zhuǎn)換的“供求關(guān)系”，繼續(xù)推演二級(jí)結(jié)論

課后學(xué)生在解題過程中，發(fā)現(xiàn)用μ2與tanθ-μ1的大小關(guān)系，可以判讀物體是否能夠沿斜面一起加速。學(xué)生遇到了如圖所示場(chǎng)景，質(zhì)量為m的物塊疊放在長(zhǎng)木板上，物塊與長(zhǎng)木板間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，長(zhǎng)木板與斜面之間的摩擦因數(shù)為μ2，長(zhǎng)木板沿斜面下滑。若物塊能夠停在長(zhǎng)木板上，物塊與長(zhǎng)木板整體的加速度為a=gsinθ-μ2mgcosθ。為保證物塊能夠停在長(zhǎng)木板上，需要的靜摩擦力為f = ma = gsinθ-μ2mgcosθ。而物塊與長(zhǎng)木板的間的最大靜摩擦力為fm = μ1mgcosθ。當(dāng)供求大于求μ2mgcosθ>mgsinθ-μ1mgcosθ，即μ2>tanθ-μ1，滿足相對(duì)靜止的條件，物體能夠隨木板一起減速。反之，當(dāng)μ2

用“供求關(guān)系”來進(jìn)行動(dòng)靜轉(zhuǎn)換的判斷，首先要假設(shè)兩者能夠相對(duì)靜止，然后同時(shí)分析維持相對(duì)靜止需要的力，和接觸面能夠提供的最大摩擦力，最后進(jìn)行對(duì)比，得到結(jié)果。在教學(xué)中引入學(xué)生熟知的“供求關(guān)系”，有效突破了動(dòng)靜轉(zhuǎn)換的教學(xué)難點(diǎn)，揭開了自然學(xué)科和社會(huì)科學(xué)內(nèi)在的共通性。