數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

樊蕊

【摘要】數(shù)形結(jié)合是抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀圖形結(jié)構(gòu)相結(jié)合，將數(shù)量和空間形式相互補(bǔ)充，可以用來(lái)解決小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)難題，同時(shí)豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的了解，發(fā)展其思維模式。文章探索了小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，對(duì)小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)具有理論意義。

【關(guān)鍵詞】“數(shù)形結(jié)合”思想;小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué);應(yīng)用

一、引言

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用在于探索空間形式，了解數(shù)量之間的關(guān)系。而空間形式屬于形，數(shù)量關(guān)系屬于數(shù)，形屬于直觀表達(dá)，數(shù)屬于符號(hào)表達(dá)，兩者的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)各不相同。但數(shù)和形之間是有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的，充分利用兩者之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，以數(shù)研究形，以形表示數(shù)，從而形成了數(shù)形結(jié)合。

二、積極倡導(dǎo)以形助數(shù)，使抽象的概念和關(guān)系形象化

以形態(tài)的方式來(lái)幫助了解數(shù)量之間的關(guān)系。也就是說(shuō)，對(duì)看起來(lái)屬于代數(shù)方面的問(wèn)題，利用形態(tài)的方式將代數(shù)中具有數(shù)量關(guān)系的幾何特征描述出來(lái)，并經(jīng)過(guò)處理后來(lái)實(shí)現(xiàn)關(guān)系、抽象概念與結(jié)構(gòu)、直觀表象的轉(zhuǎn)化和聯(lián)系，以解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。對(duì)以形助數(shù)的方法進(jìn)行運(yùn)用，可以讓抽象的數(shù)學(xué)概念變得直觀簡(jiǎn)潔，而且可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來(lái)看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而形成不同的解題思路，不斷促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。此外，在特殊的情況下，以形助數(shù)還可以啟發(fā)學(xué)生直接了解數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心與本質(zhì)，形成整體性的綜合判斷能力，從而激發(fā)學(xué)生的直覺(jué)思維能力。

（一）引入圖形，全方位感受數(shù)的內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)知識(shí)中，不管是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，其中都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式也多種多樣。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該依據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容來(lái)采用合理的教學(xué)方式，讓學(xué)生可以從多樣化的教學(xué)方法中感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

比如小數(shù)教學(xué)遵循十進(jìn)制的計(jì)數(shù)原則，將整數(shù)的書寫形式改變成十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)形式。雖然小數(shù)也遵循十進(jìn)制的計(jì)數(shù)原則，但對(duì)于表達(dá)的數(shù)量類型來(lái)說(shuō)，整數(shù)只可以表達(dá)出離散的數(shù)量，而小數(shù)可以表達(dá)出連續(xù)的數(shù)量。教師可以利用圖形幫助學(xué)生了解小數(shù)的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、觀察。

（二）借助圖形，深層次理解計(jì)算方法

正確計(jì)算的前提是了解并探索計(jì)算方法，讓學(xué)生根據(jù)已學(xué)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，將數(shù)的運(yùn)算含義、概念和計(jì)算步驟聯(lián)系在一起，不僅知道數(shù)學(xué)題是如何做的，而且知道為什么要這么做。同時(shí)，還可以發(fā)揮數(shù)學(xué)的多元化價(jià)值，讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，加深學(xué)生對(duì)數(shù)、運(yùn)算的理解，進(jìn)而形成良好的數(shù)學(xué)思維能力和豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)形結(jié)合中，最為典型的是分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算方法。在分?jǐn)?shù)相乘的計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)把分子相乘的積作為積的分子，分母相乘的分母作為積的分母。為了讓學(xué)生更好地理解這個(gè)說(shuō)法，可以利用數(shù)形結(jié)合，將分?jǐn)?shù)相乘的計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)單化，且直觀生動(dòng)。

（三）構(gòu)造圖形，多角度探索解題思路

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，最為常見的教學(xué)策略是把數(shù)學(xué)題目中的問(wèn)題、已知條件和數(shù)之間的聯(lián)系用恰當(dāng)?shù)男螒B(tài)表示出來(lái)，然后對(duì)形進(jìn)行直觀的分析、研究，從而產(chǎn)生解決問(wèn)題的思路與方法。一般而言，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解釋數(shù)量關(guān)系更適合邏輯思維相對(duì)較弱的學(xué)生，用圖形的方式更能激發(fā)小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索欲，進(jìn)而提升小學(xué)生的想象力和創(chuàng)意靈感。為了更好地幫助小學(xué)高年級(jí)學(xué)生利用圖形分析探索數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重以下教學(xué)環(huán)節(jié)。

其一，一維圖形的運(yùn)用到二維圖形的運(yùn)用。小學(xué)生在低年級(jí)掌握了利用線段圖形來(lái)表示數(shù)量關(guān)系，進(jìn)入小學(xué)高年級(jí)以后，應(yīng)學(xué)會(huì)利用二維圖形來(lái)表示數(shù)量關(guān)系，以此提升分析能力與解答問(wèn)題的能力。如在計(jì)算“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32”時(shí)，教師應(yīng)先鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)學(xué)過(guò)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)自主計(jì)算，可以提示學(xué)生按照順序依次進(jìn)行計(jì)算或?qū)⒎帜附y(tǒng)一換算成32進(jìn)行計(jì)算，再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖形來(lái)進(jìn)行分析，探索出新的計(jì)算方式。如圖1，從圖形中可以得出原題的五個(gè)分?jǐn)?shù)的和等于1與1/32的差。由此，將一道較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)題簡(jiǎn)化為可以口算的減法數(shù)學(xué)題。

其二，靜態(tài)圖形到動(dòng)態(tài)描述。動(dòng)態(tài)描述指的是學(xué)生先根據(jù)對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解畫出圖形，再根據(jù)題目中的關(guān)系和數(shù)量的變化進(jìn)行修改調(diào)整，使圖形可以更清晰地表達(dá)題目中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而打開學(xué)生的解題思路。例如：“學(xué)校體育組原來(lái)的男生占全組的6/13，后來(lái)又招了6名男生進(jìn)體育組，此時(shí)男生占全隊(duì)人數(shù)的8/15，問(wèn)體育組原來(lái)的人數(shù)？”按照題目畫出圖2左半部分，會(huì)發(fā)現(xiàn)全隊(duì)人數(shù)發(fā)生改變，不能直接將題目中的兩個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較。那就換個(gè)角度，將全隊(duì)女生作為單位1，并畫出圖2右半部分，則會(huì)發(fā)現(xiàn)新增的6名男生就占女生的8/7-6/7，由此就可以先算出女生的人數(shù)，再算體育組原來(lái)的人數(shù)。

三、相機(jī)嘗試以數(shù)解形，使圖形的結(jié)構(gòu)和特征數(shù)量化

從數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵來(lái)說(shuō)，它有兩個(gè)相反的方向轉(zhuǎn)化，一個(gè)是由數(shù)到形，在運(yùn)用過(guò)程中，適當(dāng)以數(shù)解形，不僅可以幫助學(xué)生更好地理解描述圖形的特征和相互之間的聯(lián)系，而且可以拓展學(xué)生的解題思路;另一個(gè)是由形到數(shù)，根據(jù)圖形之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，找到合適的數(shù)學(xué)表達(dá)方式，讓其特征和結(jié)構(gòu)數(shù)量化，進(jìn)而使幾何問(wèn)題變成算數(shù)問(wèn)題。

（一）用數(shù)和算式表示圖形的結(jié)構(gòu)關(guān)系和特征

如圖3所示，如果將邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形的組成邊長(zhǎng)為10cm的等邊三角形，需要多少個(gè)？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中三角形的個(gè)數(shù)，先確定邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形包括1×1個(gè)小三角形，邊長(zhǎng)為2cm的等邊三角形包括2×2個(gè)小三角形，以此類推，等邊三角形的邊長(zhǎng)為幾，它包含的小三角形的個(gè)數(shù)就是幾的平方。

（二）列方程表示圖形的結(jié)構(gòu)關(guān)系和特征

如圖4所示，大長(zhǎng)方形被兩條直線分成了4個(gè)小的長(zhǎng)方形，其中3個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別是20cm2、25cm2、30cm2，求陰影小長(zhǎng)方形的面積。

在遇到此類問(wèn)題時(shí)，許多學(xué)生會(huì)先用大長(zhǎng)方形減去三個(gè)已知的小長(zhǎng)方形面積，最后得出陰影部分的面積，但大長(zhǎng)方形的面積是不知道的，所以需要換一種解題方式。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生作出假設(shè)：假設(shè)兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬是相等的，那其面積比和邊長(zhǎng)比之間是否有關(guān)聯(lián)？假設(shè)兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)也相等呢？由此引導(dǎo)出：假設(shè)陰影小長(zhǎng)方形面積為Xcm2，可以得出算式25∶X=20∶30，求得陰影部分的面積為X=37.5cm2。

四、初步了解坐標(biāo)方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供支持

數(shù)軸很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)相對(duì)應(yīng)，點(diǎn)可以看作數(shù)，數(shù)也可以看作點(diǎn)。另外，從點(diǎn)與直線的位置關(guān)系來(lái)看，可以通過(guò)數(shù)的運(yùn)算來(lái)解決幾何問(wèn)題。將平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)相對(duì)應(yīng)，使點(diǎn)的平面曲線和數(shù)的二元方程式解集相對(duì)應(yīng)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)用幾何法研究代數(shù)，用代數(shù)法研究幾何圖形。用幾何法研究代數(shù)不僅將數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用變成具有可操作性的方法，而且將數(shù)學(xué)研究的對(duì)象從常量延伸至變量。

例如，利用坐標(biāo)法要求學(xué)生在方格紙中將三角形標(biāo)出來(lái)，根據(jù)物體參照點(diǎn)的距離和方向來(lái)確定位置，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。

（1）用數(shù)對(duì)表示圖中三角形三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的位置。

（2）把三角形繞C點(diǎn)順時(shí)針每次旋轉(zhuǎn) 90°，一共旋轉(zhuǎn)3次，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。

（3）用A1、A2、A3分別表示A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的位置，并用數(shù)對(duì)表示。

（4）順次連接A、A1、A2、A3，看看得到的是什么圖形。

學(xué)生在解答上述問(wèn)題時(shí)，不僅可以加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，而且能直觀地感受到有序數(shù)可以確定平面上點(diǎn)的位置的方法。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合將精確與生動(dòng)、抽象與直觀充分結(jié)合在一起，是激發(fā)學(xué)生思維能力的基本方式，也是數(shù)學(xué)研究中將研究對(duì)象從常量延伸至變量的重要連接點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合的滲透充分凸顯出數(shù)與形之間的本質(zhì)關(guān)系，既要注重以形助數(shù)的關(guān)系和概念，也要注重以數(shù)解形的規(guī)律與特征，同時(shí)深入理解坐標(biāo)法對(duì)小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要價(jià)值和意義，提升小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

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