模糊論辯框架的數(shù)學表示

王宗順 吳家超

( 山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 250358，濟南 )

1 引 言

形式論辯理論是涉及數(shù)學、計算機科學以及哲學等多門學科領(lǐng)域的研究主題.1995年，Dung[1]首次提出論辯框架(Argumentation Framework,AF)理論.該理論開創(chuàng)性的將論辯與邏輯編程、非單調(diào)推理等推理手段聯(lián)系起來，形式論辯理論由此開始飛速發(fā)展.論辯框架理論作為形式論辯理論的一個重要概念，在非單調(diào)邏輯等研究中扮演著重要角色，目前已經(jīng)成為了人工智能領(lǐng)域的一個重要話題.

在論辯框架的研究中，自然語言論辯情境中論證(Argument)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)被忽略，僅保留論證間的沖突關(guān)系(通常稱為攻擊關(guān)系，attack relation between the arguments)，論辯情境被高度抽象化為一個數(shù)學模型，進而對建模后系統(tǒng)中的論證進行合理性的評估.在Dung的開創(chuàng)性工作后，論辯框架的各種擴展概念被相繼提出，如偏好[2]，高階攻擊[3]，支撐關(guān)系[4]等.近年來，為了更好地刻畫自然語言中的不確定性，添加數(shù)值的論辯框架逐漸吸引了更多的目光，如權(quán)重論辯框架，概率論辯框架，模糊論辯框架，權(quán)重雙極論辯框架等等.在權(quán)重論辯框架中，Dunne等人[5]將攻擊關(guān)系賦予數(shù)值來表示攻擊的權(quán)重.在概率論辯框架中，Li等人[6]將概率分配給論證以及攻擊關(guān)系來解釋論辯框架中的不確定性，Hunter等人[7]對概率論辯框架進行了實例化建模.在模糊論辯框架中，Pereira等人[8-11]將模糊度與論證及攻擊關(guān)系相結(jié)合來表示論證與攻擊關(guān)系的信任度.在權(quán)重雙極論辯框架中，Amgoud等人[12-14]將數(shù)值賦予論證來表示論證的信任度，并且加入了支撐關(guān)系.

本文主要關(guān)注的是模糊論辯框架.許多學者已經(jīng)對模糊論辯框架做了深入的研究，本文將會對模糊論辯框架的數(shù)學形式進行一些討論.首先，將會給出模糊論辯框架的兩種數(shù)學定義，并且用模糊有向圖和矩陣來表示有限論證的模糊論辯框架.然后，揭示這兩種模糊論辯框架的數(shù)學表達形式與其它量化的不確定性論辯框架的聯(lián)系.

2 模糊論辯框架的研究

目前，模糊論辯框架已經(jīng)引起許多學者的關(guān)注.Pereira等人[8]提出了一種帶有量化數(shù)值的論辯框架，其中論證被賦予實區(qū)間[0,1]上的模糊度來表示主體對于論證來源的信任度，但攻擊關(guān)系仍為常規(guī)論辯框架下清晰的攻擊關(guān)系.Janssen等人[10]提出了一種論證為常規(guī)論辯框架下清晰論證的模糊論辯框架，其中攻擊關(guān)系被賦予實區(qū)間[0, 1]上的模糊度來表示主體對于攻擊關(guān)系的信任度.Wu等人[11]提出了論證以及攻擊關(guān)系均被賦予模糊度的模糊論辯框架，并且以模糊集的形式引入了外延語義.綜合上述研究成果，本文將提出模糊論辯框架的兩種數(shù)學表示形式，以便統(tǒng)一刻畫各種賦予模糊度的論辯框架.

2.1模糊論辯框架的兩種數(shù)學定義通過借鑒一些現(xiàn)有的關(guān)于論證或攻擊關(guān)系與數(shù)值相結(jié)合的論辯框架理論的工作，本節(jié)將會提出模糊論辯框架的數(shù)學形式定義.為了不失一般性，把關(guān)注的重點放在論證以及攻擊關(guān)系都被賦予模糊度的模糊論辯框架上.在給出模糊論辯框架的數(shù)學形式之前，首先簡要介紹Dung的常規(guī)論辯框架的相關(guān)理論.

定義1一個論辯框架AF是一個二元組(Ar,Att)，其中，Ar是一組論證的集合，Att?Ar×Ar是一組論證間的二元攻擊關(guān)系的集合.一個論證A攻擊論證B當且僅當(A,B)∈Att.

Dung提出的經(jīng)典論辯框架的數(shù)學模型是一個有向圖，在這個有向圖中，節(jié)點代表論證，箭頭代表攻擊關(guān)系.例如，F(xiàn)loat模型AF=(Ar,Att)=({A,B,C,D},{(A,B),(B,A),(A,C),(B,C),(C,D)})可以由圖1表示(紅色字母代表論證，藍色箭頭代表論證間的攻擊關(guān)系).

圖1 Float模型

現(xiàn)在提出模糊論辯框架的兩種數(shù)學定義形式.第一種形式是首先給定一個論辯框架，再將該框架中的每個論證以及攻擊關(guān)系都賦予模糊度.這種定義方式是建立在常規(guī)論辯框架下的并且是易于理解的，具體如定義2所示.

定義2(第一種數(shù)學形式)給定Dung提出的論辯框架AF=(Ar,Att).FAF=〈A,ρ〉是AF上的模糊論辯框架，其中，A:Ar→[0, 1]是一組模糊論證的集合,ρ:Att→(0, 1]是攻擊關(guān)系的模糊集.

模糊論辯框架的第二種數(shù)學形式不再局限于一個論辯框架內(nèi)，而是對所有論證以及所有論證間的攻擊關(guān)系都賦予信任度，即為每一個論證及攻擊關(guān)系都賦予模糊度.這種定義方式在數(shù)學意義上更為嚴謹且合理，有著完整的模糊集的定義，具體如定義3所示.

定義3(第二種數(shù)學形式)任給一組論證Ar，模糊論辯框架是一個二元組FAF=〈A,ρ〉，其中，A:Ar→[0, 1]是論證的模糊集,ρ:Ar×Ar→[0, 1]是攻擊關(guān)系的模糊集.

在提出模糊論辯框架的兩種數(shù)學形式后，需要說明一下這兩種數(shù)學形式之間的關(guān)系.雖然兩種數(shù)學形式所構(gòu)造成的模糊論辯框架從定義上看是存在差異的，但是這兩種數(shù)學形式是可以相互表出的.下面的定理1證明了這兩種數(shù)學定義方式是等價的，只是數(shù)學形式有所區(qū)別.

定理1定義2與定義3中的兩種模糊論辯框架的數(shù)學形式可以相互表示，從而兩種模糊辯論框架的數(shù)學表示形式是等價的.

證對于任意的符合定義3的模糊辯證框架FAF=〈A,ρ〉，其中，A:Ar→[0, 1]是模糊論證集,ρ:Ar×Ar→[0, 1]是攻擊關(guān)系的模糊集，只要找到一個符合定義2的模糊論辯框架FAF′使得它與FAF完全等價，即可證明FAF可以由FAF′表出.首先取一個常規(guī)論辯框架AF=(Ar′,Att)，其中Ar′=Ar，Att={(A,B)|(A∈Ar)∧(B∈Ar)∧(ρ(A,B)≠0)}?Ar×Ar.簡單來說就是把Att取作是FAF中的模糊攻擊關(guān)系集ρ的支撐集.令AF上的模糊論辯框架FAF′=〈A′,ρ′〉，其中A′={(A,a)|A∈Ar∧a=A(A)}以及ρ′={((A,B),r)|(A,B)∈Att∧r=ρ(A,B)}.那么A′與A顯然是完全相等的模糊集，而ρ′與ρ的支撐集中的元素的模糊度是完全相等的，而支撐集以外的論證的模糊度又是0，顯然ρ′與ρ也是相等的.不難看出FAF′與FAF是等價的.

給定一個論辯框架AF=(Ar,Att)，對于任意的符合定義2的AF上的模糊辯證框架FAF=〈A,ρ〉，其中，A:Ar→[0, 1]是論證模糊集，ρ:Att→(0, 1]是攻擊關(guān)系的模糊集.下面需要找到一個符合定義3的模糊論辯框架FAF′與FAF完全相等，為此令FAF′=〈A′,ρ′〉，其中，

A′={(A,a)|A∈Ar∧a=A(A)}，

(1)

ρ′={((A,B),r)|(A∈Ar)∧(B∈Ar)∧((A,B)∈Att?r=ρ(A,B))∧((A,B)?Att?r=0)}.

(2)

那么A′與A顯然是完全相等的模糊集，ρ′就是ρ的一個簡單的擴張，并且加上了Att以外的那部分模糊度為0的攻擊關(guān)系.所以FAF′與FAF是等價的.

綜上所述，定義2與定義3中的兩種模糊論辯框架的數(shù)學形式是等價的.

2.2用圖和矩陣表示有限模糊論辯框架在實際應用中，論辯框架中論證的個數(shù)都是有限的.對于具有有限論證的模糊論辯框架，有著更形象的表達形式.在本節(jié)中，提供兩種表示方法：一種是圖示法，運用模糊有向圖表示模糊論辯框架；另一種是利用矩陣表示，在后續(xù)的研究中，可應用矩陣的各種性質(zhì)，豐富語義探討的數(shù)學手段.

第一種表示有限模糊論辯框架的方法是常規(guī)的圖示表示方法，稱之為模糊論辯框架的模糊有向圖.

定義4在模糊論辯框架模糊有向圖中，圖中的連接點代表論證，連接點的下標代表節(jié)點的模糊度，箭頭代表攻擊關(guān)系，箭頭上方的數(shù)值代表該攻擊關(guān)系的模糊度.

例1一個為Float模型賦予模糊度的模糊論辯框架FAF為

〈{(A,0.8),(B,0.7),(C,0.9),(D,0.8)},{((A,B),0.8),((B,A),0.7),((A,C),0.6),((B,C),0.6),((C,D),0.8)}〉，則該模糊論辯框架的模糊有向圖如圖2所示(紅色部分代表模糊論證，藍色箭頭部分代表攻擊關(guān)系)。

圖2 模糊有向圖下的Float模型

第二種表示有限模糊論辯框架的方法是矩陣的表示方法，稱之為模糊論辯框架的矩陣.

定義5在模糊論辯框架的矩陣中，模糊論證被分別列在每行每列，矩陣的第i行第j列的元素表示第i行的論證對第j列的論證的攻擊關(guān)系的模糊度.

以例1中的模糊論辯框架為例，該模糊論辯框架的矩陣表示如圖3所示(紅色部分代表論證，藍色部分代表攻擊關(guān)系).

圖3 矩陣下的Float模型

矩陣的表示方法對于Janssen等人提出的模糊論辯框架更加有力，因為在這種框架中，可以舍去行列的論證，僅用一個矩陣就可以表示該論辯框架.

2.3相關(guān)的論辯框架與本文的兩種數(shù)學形式之間的聯(lián)系在已有的關(guān)于論辯框架理論的研究中，有許多理論與本文提出的模糊論辯框架的兩種數(shù)學形式是相近的，并且可以用本文提出的兩種數(shù)學形式進行表示.

Dunne等人[5]提出了給攻擊關(guān)系賦予權(quán)重的權(quán)重論辯框架，其中論證是一般的清晰論證，而所有的攻擊關(guān)系都被賦予一個(0,1]間的數(shù)值，具體如定義6所示.

定義6Dunne提出的權(quán)重論辯框架是一個三元組WAF=(Ar,Att,w)，其中(Ar,Att)是一個常規(guī)論辯框架，w:Att→(0, 1]是一個給攻擊關(guān)系賦值的函數(shù).

根據(jù)定義2，容易驗證下述定理2成立.

定理2Dunne等人提出的權(quán)重論辯框架可以由定義2中的第一種數(shù)學形式刻畫，只需要滿足下述條件：

1) 對A進行限制，A:Ar→{0, 1}；

2)ρ:Att→(0, 1].

證對A進行限制以后，得到A:Ar→{0, 1}.可知該模糊集中的所有論證的模糊度都是0或1，這與經(jīng)典集合理論中的元素是一致的，從而由模糊的轉(zhuǎn)換成了清晰的.進一步由ρ:Att→(0, 1]可知所有的攻擊關(guān)系都存在一個大于0的模糊度來表示其權(quán)重.因此本文提出的第一種數(shù)學形式可以用來刻畫Dunne等人提出的權(quán)重論辯框架.

Pereira等人[8]提出了一種模糊論辯框架，其中論證的信任度由0到1之間的模糊度表示，也就是將常規(guī)論辯框架中的論證集替換為了模糊集A:Ar→[0, 1]，攻擊關(guān)系為常規(guī)論辯框架下清晰的攻擊關(guān)系.只需要將其攻擊關(guān)系的模糊度限制到0與1兩個元素上，Pereira等人提出的模糊論辯框架就可以看作是本文提出的模糊論辯框架攻擊關(guān)系的模糊度恒為0或1的特殊情況.

根據(jù)定義3的數(shù)學形式，易證下述定理3成立.

定理3Pereira等人提出的模糊論辯框架可以由定義3中的數(shù)學形式刻畫，只需要滿足下述條件：

1) A:Ar→[0, 1]；

2) 對ρ進行限制，ρ:Ar×Ar→{0, 1}.

證對ρ進行限制以后，ρ:Ar×Ar→{0, 1}.可知該模糊集中的所有論證間的攻擊關(guān)系的模糊度都是0或1，于是攻擊關(guān)系就由模糊的轉(zhuǎn)換為清晰的.因此本文提出的模糊論辯框架的第二種數(shù)學形式經(jīng)過限制以后，其論證是量化的帶有模糊度的，而攻擊關(guān)系是清晰的，這與Pereira等人提出的模糊論辯框架是一致的.

在Janssen等人[10]提出的模糊論辯框架中，論證恒為常規(guī)論辯框架下的清晰論證，攻擊關(guān)系被賦予實區(qū)間[0, 1]上的模糊度來表現(xiàn)攻擊的強度，具體如定義7所示.

定義7Janssen等人提出的模糊論辯框架是一個二元組AF=(Ar,→)，其中，Ar是一組論證的集合，而→是Ar上的模糊攻擊關(guān)系.

容易看出Janssen等人提出的模糊論辯框架是定義3中論證的模糊度恒為0或1的特殊情況.根據(jù)定義3，容易驗證下述定理4成立.

定理4Janssen等人提出的模糊論辯框架可以由定義3中的第二種數(shù)學形式刻畫，只需要滿足下述條件：

1) 對A進行限制，A:Ar→{0, 1}；

2)ρ:Ar×Ar→[0, 1].

證對ρ進行限制以后，ρ:Ar×Ar→[0, 1].可知該模糊集中的所有論證的模糊度都是0或1，這與經(jīng)典集合理論中的元素是一致的，于是論證就由模糊的轉(zhuǎn)換為清晰的.因此本文提出的模糊論辯框架第二種數(shù)學形式經(jīng)過限制以后，其論證是清晰的，而攻擊關(guān)系是量化的帶有模糊度的攻擊關(guān)系，這與Janssen等人提出的模糊論辯框架是一致的.

實際上，進一步觀察Dung提出的常規(guī)論辯框架，論證與攻擊關(guān)系皆是清晰的.因此，若將本文提出的模糊論辯框架數(shù)學形式中的論證以及攻擊關(guān)系的信任度都限制到0或者1，則Dung提出的常規(guī)論辯框架也可以由本文提出的數(shù)學形式所表達.

3 模糊論辯理論的研究進展

模糊論辯框架已經(jīng)有諸多學者進行研究,在此指出本文的研究工作與前人相關(guān)工作的異同.在Pereira等人[8]提出的模糊論辯框架中，論證間的攻擊關(guān)系是模糊的，但是論證是常規(guī)論辯框架下的清晰論證.在Janssen等人[10]提出的模糊論辯框架中，論證的信任度是模糊的，但是論證間的攻擊關(guān)系是常規(guī)的清晰的攻擊關(guān)系.另外，在Dunne等人[5]提出的權(quán)重論辯框架中，攻擊關(guān)系帶有大于0的權(quán)重，論證是常規(guī)的清晰的論證.定理2、定理3以及定理4表明了上述三種論辯框架都可以由本文提出的模糊論辯框架的數(shù)學形式表出.除此之外概率論辯框架[6]、哥德爾模糊論辯框架[11]等諸多具有不確定性的量化論辯框架都可以由本文提出的兩種數(shù)學形式表出，證明過程都是類似的.

在上述數(shù)值和論證與攻擊關(guān)系相結(jié)合的論辯框架中，一個重要的任務是對框架中的論證進行合理性的評估，也就是尋找框架中論證的合理性程度.這項工作的主要解決方法是論辯語義[15]，也就是尋求論證的合理性程度時所需要遵循的一些準則.目前已經(jīng)有了一些相關(guān)工作.Janssen等人[10]以模糊論證所構(gòu)成的模糊集的形式提出了模糊論辯框架的外延語義，包括可容許外延、優(yōu)先外延、穩(wěn)定外延.類似的，Wu等人[11]提出的模糊集的形式類似于Dung提出的外延語義，包括無沖突集、可容許集、完備外延、基礎外延、優(yōu)選外延、穩(wěn)定外延.除此之外，Pereira等人[8]提出了模糊標簽理論(Fuzzy-AF-Labelling).在該理論中，每一個論證都被賦予一個信任度作為可接受程度，并且可以通過一個迭代的算法求出論證的合理性可接受程度.另外，近些年來，Amgoud等人[12-14]在權(quán)重雙極論辯框架中的工作也是具有突破性的，其模型與本文提出的模糊論辯框架基本一致，但是在權(quán)重圖的基礎上加入了支撐的工作，并且提出了語義所需要滿足的基本公理，這也是模糊論辯框架的一個未來的研究方向.本文提出的論辯框架的兩種數(shù)學形式是對已有模糊論辯框架相關(guān)工作的一個總結(jié)，為論辯語義學的進一步探討奠定了數(shù)學基礎.在將來可以沿著這兩種數(shù)學形式來探索各種語義準則或者尋找新語義[15].

4 結(jié) 語

本文對于模糊論辯框架的數(shù)學形式進行了一些探討.對于論證以及攻擊關(guān)系都被賦予信任度的模糊論辯框架，提出了兩種數(shù)學表達形式：一種具有嚴格的數(shù)學定義，是對系統(tǒng)中的所有論證及攻擊關(guān)系賦予信任度；另一種更為直觀，是對常規(guī)的論辯框架中的論證及攻擊關(guān)系賦予信任度.對具有有限論證的模糊論辯框架，給出了模糊有向圖和矩陣的數(shù)學表示方法.另外，還進一步說明了這兩種模糊論辯框架的數(shù)學形式與現(xiàn)有的其他不確定性論辯框架之間的聯(lián)系，證明了Pereira等人提出的模糊論辯框架，Janssen等人提出的模糊論辯框架以及Dunne等人提出的權(quán)重論辯框架都可以看作是本文提出的模糊論辯框架的特殊形式，都可以利用定義2或定義3來表示.

在未來的研究中，將會利用這兩種數(shù)學形式來探討模糊論辯框架的論辯語義，包括外延語義以及標簽語義.另外比較重要的工作是如何利用現(xiàn)實的信息來構(gòu)造模糊論辯框架，因為只有實現(xiàn)模糊論辯框架的實例化建構(gòu)才能將人類推理與模糊論辯框架推理工作聯(lián)系起來，才能充分發(fā)揮模糊論辯框架的推理作用.