阻尼梁振動(dòng)方程的高階數(shù)值格式

趙小菲 吳彩蓮 朱愛玲

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 250358, 濟(jì)南 )

1 引 言

考慮長(zhǎng)度為L(zhǎng)且?guī)в凶枘犴?xiàng)的均勻簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)的初邊值問題[1]

(1)

其中u(x,t)表示位移,a2=EI/(ρA),ρ是單位面積梁的質(zhì)量,A是梁的橫截面積,E是材料的彈性模量,I是截面對(duì)中性軸的慣性矩,EI和ρA則分別是抗彎剛度和線密度,這些量對(duì)于均勻梁均為常數(shù)[2],μ(≠0)∈R為阻尼系數(shù),L為常數(shù),f(x,t),g0(x)和g1(x)為已知函數(shù),且都滿足一定的光滑性.

梁振動(dòng)方程在橋梁建設(shè)、土木工程、噪聲控制和航空航天等方面有廣泛應(yīng)用[3,4],而帶有阻尼項(xiàng)的梁振動(dòng)方程可以更好地描述現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用情況,因此對(duì)問題(1)的研究具有重要意義.文獻(xiàn)[5,6]用有限元方法求梁振動(dòng)方程的數(shù)值解,可以更好更精確地處理復(fù)雜區(qū)域,但計(jì)算難度大,數(shù)值算例的程序編寫困難.對(duì)于不帶阻尼項(xiàng)的梁振動(dòng)方程,文獻(xiàn)[7,8]提出梁振動(dòng)方程的半解析方法;文獻(xiàn)[9,10]運(yùn)用引入中間函數(shù)將四階方程轉(zhuǎn)化為二階方程組的方法構(gòu)造了緊致差分格式;文獻(xiàn)[11,12]利用Taylor展開式構(gòu)造出幾種高階緊致數(shù)值格式.

本文采用文獻(xiàn)[12]對(duì)四階空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的處理方法,對(duì)帶有阻尼項(xiàng)的梁振動(dòng)初邊值問題進(jìn)行離散,利用中心差分對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行離散,從而得到四種不同的高階數(shù)值格式.這四種格式在時(shí)間方向均達(dá)到二階精度,在空間方向分別達(dá)到二階、四階、四階和六階精度.最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證了所提格式的有效性.

2 格式的建立

帶有Peano余項(xiàng)的Taylor級(jí)數(shù)展開式為

(2)

(3)

由(2)式可得

(4)

(5)

令(3)式中m=1,2,p=5,可得

(6)

令(3)式中m=1,2,3,p=7,可得

(7)

分別定義算子Αh,Βh為

(8)

(9)

初值條件u(x,0)=g0(x)可直接離散為

(10)

邊值條件可直接離散為

(11)

綜上可得到問題(1)的四類有限差分格式.

2.1格式A結(jié)合(4)式,(5)式與(6)式，可得到梁振動(dòng)方程的差分格式為

(12)

(13)

令(12)式中n=0,又由(13)式可得

(14)

結(jié)合(10)式,(11)式,(12)式與(14)式，可得問題(1)的差分格式為

易知格式A在時(shí)間方向上是3層格式, 在空間方向上是5點(diǎn)格式.

與格式A類似,結(jié)合(4)式,(5)式,(7)式,(10)式與(11)式，可得問題(1)的差分格式為

易知格式B在時(shí)間方向上是3層格式,在空間方向上是7點(diǎn)格式.

與格式A類似,結(jié)合(4)式,(5)式,(8)式,(10)式與(11)式可得問題(1)的差分格式為

易知格式C在時(shí)間方向上是3層格式,在空間方向上是5點(diǎn)格式.

與格式A類似,結(jié)合(4)式,(5)式,(9)式,(10)式與(11)式可得問題(1)的差分格式為

易知格式D在時(shí)間方向上是3層格式,在空間方向上是7點(diǎn)格式.

從上述四種格式的推導(dǎo)過程,易得格式A的截?cái)嗾`差為O(τ2+h2),格式B和格式C的截?cái)嗾`差為O(τ2+h4),格式D的截?cái)嗾`差為O(τ2+h6).

3 數(shù)值算例

定義時(shí)間第n層的精確解和數(shù)值解間的無窮模誤差為

考慮如下阻尼梁振動(dòng)方程:

即問題(1)中取μ=a=1,L=2.

取精確解為u(x,t)=e-πtsin(πx),g0(x),g1(x)可由u(x,t)相應(yīng)求得.分別應(yīng)用格式A至格式D計(jì)算該定解問題,時(shí)間計(jì)算到t=T=1.

表1-4分別列出了格式A至格式D在時(shí)間和空間方向的誤差及收斂階.

表1 格式A時(shí)間和空間方向最大模誤差及收斂階

hτ最大模誤差收斂階22422101.392 5e-02-22522103.242 8e-032.1022622107.931 8e-042.0322722101.954 6e-042.02

表2 格式B時(shí)間和空間方向最大模誤差及收斂階

hτ最大模誤差收斂階22412123.344 5e-04-22512122.105 6e-053.9922612121.177 5e-064.1622712127.033 9e-084.07

表3 格式C時(shí)間和空間方向最大模誤差及收斂階

hτ最大模誤差收斂階22312143.009 5e-04-22412141.684 6e-054.1622512141.015 3e-064.0522612145.420 0e-084.22

由表1至表4可以看出,格式A時(shí)間和空間方向誤差階都是二階,格式B和格式C時(shí)間誤差階為二階,空間誤差階為四階,格式D時(shí)間誤差階為二階,空間誤差階為四階,從而驗(yàn)證了本文所提格式的有效性.

表4 格式D時(shí)間和空間方向最大模誤差及收斂階

hτ最大模誤差收斂階22312182.760 0e-05-22412183.879 7e-076.1522512186.050 7e-096.0022612189.508 9e-115.99