一類分數(shù)階薛定諤方程的駐波解

路慧芹 張 悅

( 山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 250358, 濟南 )

1 引 言

分數(shù)階薛定諤方程由于其深刻的物理背景和重要的應用價值而受到廣泛關注，已成為分數(shù)階微分方程研究領域的一個新熱點.Laskin N利用Lévy型路徑上的積分建立起來的分數(shù)階量子力學模型是如下形式的分數(shù)階薛定諤方程[2]

i?tψ=(-Δ)αψ+V(x)ψ-|ψ|p-2ψ, ?(t,x)∈×N,

(1)

其中i是虛單位，0<α<1,V(x)是勢函數(shù)，ψ是反映粒子在勢場中運動情況的波函數(shù).

令u(x)是下述方程

ωu=(-Δ)αu+V(x)u-|u|p-2u, ?x∈N

(2)

的解，其中ω>0，則ψ=e-iωtu(x)是方程(1)的一個駐波解.

眾所周知，若V(x)滿足下列條件：

(V)V∈C(N,且存在r0>0 使得對任意的M>0當|y|→∞時都有

meas({x∈Br0(y):V(x)≤M})→0，

則算子(-Δ)α+V(x)有一串特征值0<λ1<λ2≤…≤λm≤λm+1≤…,λm→∞(m→∞),且每個特征值的重數(shù)都是有限的.

本文的目的是研究頻率ω>λ1時方程(1)的非平凡駐波解的存在性,利用環(huán)繞定理證明當ω≠λk(k=1,2,…)時方程(1)具有一個非平凡的駐波解，從而推廣和補充文獻[1]的結果.

2 預備知識和引理

方程(1)中的分數(shù)階拉普拉斯算子(-Δ)α定義為：(-Δ)αu:=I-1(|ξ|2α(Iu)), 其中I是傅里葉變換.

文中使用Hα(N)的子空間

下是Hilbert空間. 在條件(V)下，內積(u,v)E導出的范數(shù)‖·‖E等價于下述范數(shù)

(3)

顯然，Jω(u)∈C1(E,) 且

(4)

引理1設N>2α, 2

證令{un}?E是一個(C)c序列，即

(5)

需證{un}有一個收斂子列.

由(5)式知

(6)

可以斷言{un}是有界的，若否，則當n→∞時有‖un‖→∞.由(3)式，(4)式和(6式)可得

其中‖·‖p是Lp(N)中的范數(shù). 由于2

由(4)式和(6)式可得

(7)

由于‖un‖p是有界的，故對上式取極限得

(8)

下證φ≡0.假設φ≡0, 在(7)式中取v=φn，可得

在上式兩端同除以‖un‖，并注意到‖un‖p是有界的，可得

(9)

由緊嵌入定理[6]可知在L2(N)中φn→0. 于是由(9)式知 ‖φn‖→0, 與‖φn‖=1矛盾. 于是E中的非零函數(shù)φ滿足(8)式，即ω是算子(-Δ)α+V(x)的一個特征值，此與題設條件矛盾. 由此可見，{un}是有界的. 因此{un}在E中存在弱收斂子列，不妨仍記為{un}在E中弱收斂于u. 于是由緊嵌入定理和赫爾德不等式易知即在E中un→u.

3 主要結果

定理1若N>2α, 2

證對任意滿足ω≠λk(k=1,2,…)的正數(shù)ω，必存在非負整數(shù)m，使得ω∈(λm,λm+1). 若m=0，即ω∈(0,λ1)時，文獻[3]利用Nehari流形方法得到了方程(1)具有一個非平凡的駐波解. 下面證明當ω∈(λm,λm+1)，m∈時定理的結論也成立.

V=span{e1,e2,…,em},X={u∈E:(u,ei)=0,?i=1,2,…,m}，W=V⊕span{em+1},

(10)

顯然V,W都是E的有限維子空間且E=V⊕X.

令u∈X, 則由嵌入定理可得

(11)

由于p>2且ω<λm+1， 因此由(11)式知，存在充分小的正數(shù)ρ和β，使得Jω|?Bρ∩X≥β.

令u∈W, 由于ω>0以及有限維Banach空間的所有范數(shù)等價，可知存在常數(shù)κ>0，使得

(12)

由于p>2， 因此由(12)式知，存在正數(shù)R>ρ，使得Jω(u)≤0,?u∈W,‖u‖≥R.令

易知Q?W, 進而有Jω|?Q≤0.

綜上所述，由引理1和環(huán)繞定理[7]可知定理1的結論成立.