如何正確運用χ2檢驗——高維表資料統(tǒng)計分析方法概述

胡純嚴 ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在醫(yī)學資料中，結(jié)果變量為定性變量的情形很常見。最常見的有如下3種情形：①結(jié)果變量為二值變量，例如“死亡與存活”“治愈與未治愈”和“復發(fā)與未復發(fā)”；②結(jié)果變量為多值有序變量，例如“治愈、顯效、好轉(zhuǎn)、無效、死亡”和“優(yōu)、良、中、差”；③結(jié)果變量為多值名義變量，例如某種基因的類型為“AA、AB、BB”，某種疾病的類型為“慢性、亞急性、急性”。當僅考察一個原因變量時，收集到的資料常被整理成二維列聯(lián)表（簡稱為二維表）形式［1-2］；當考察的原因變量的個數(shù)≥2時，收集到的資料常被整理成高維列聯(lián)表（簡稱為高維表）形式（參見本文中的表1～表4）。分析高維表資料的統(tǒng)計方法主要有兩大類，第一類為廣義差異性分析，第二類為回歸分析。本文將概括介紹高維表資料的種類和有關(guān)實例及其相應的統(tǒng)計分析方法。

1 高維表資料的種類及實例

1.1 二值結(jié)果變量的高維表資料及其實例

【例1】文獻［3］呈現(xiàn)了如下資料，為研究阿司匹林對心血管事件發(fā)生的預防作用，研究者收集了滿足要求的7項臨床隨機對照試驗資料，見表1。

表1 阿司匹林預防心肌梗死后死亡的7項隨機對照試驗研究結(jié)果

1.2 多值有序結(jié)果變量的高維表資料及其實例

【例2】假設(shè)某研究者為了研究“甲、乙兩種治療方法對不同病程和不同病情的某病患者的治療效果”，收集到如下資料，見表2。

表2 甲、乙兩種治療方法對不同病程和不同病情的患者治療效果

1.3 多值名義結(jié)果變量的高維表資料及其實例

【例3】假設(shè)某研究者為了研究“細胞分化程度和細胞染色與惡性腫瘤組織類型之間的關(guān)系”，收集到如下資料，見表3。

表3 細胞分化程度和細胞染色與惡性腫瘤組織類型之間的關(guān)系

1.4 特殊的高維表資料及實例（簡稱為“人-時間數(shù)據(jù)”）

【例4】某研究探討乙型肝炎病毒（HBV）感染對健康的影響，在原發(fā)性肝癌高發(fā)區(qū)江蘇省海門市進行前瞻性隊列研究，對研究對象進行流行病學調(diào)查，調(diào)查結(jié)果見表4。

表4 1993年-2003年調(diào)查人群的死亡情況

【說明】之所以說表4資料具有特殊性，是因為表中各行上除了提供“病例數(shù)”之外，還提供了“人年數(shù)（即各組中全部受試者所經(jīng)歷的年數(shù)之合計值）”，而不是“陰性例數(shù)”，也不是“總例數(shù)”。分析表4資料，需要對“人年數(shù)”進行特殊處理，因篇幅所限，本文不予贅述，可參閱文獻［4］。

2 分析高維表資料的兩類統(tǒng)計分析方法簡介

2.1 兩類統(tǒng)計分析方法概述

高維表資料的統(tǒng)計分析方法主要有兩大類，第一類為廣義差異性分析，內(nèi)容包括“加權(quán)χ2檢驗”“CMHχ2檢驗”和“Meta分析”；第二類為回歸分析，內(nèi)容包括“對數(shù)線性回歸模型分析”“Logistic回歸模型分析”“Probit回歸模型分析”和“離散選擇模型分析”。這兩類分析方法的區(qū)別在于：第一類方法是將多因素降維成單因素問題，屬于“基于分層后單個檢驗統(tǒng)計量的構(gòu)造及實現(xiàn)”，其結(jié)果比較單一；而第二類方法是直接構(gòu)建定性因變量依賴多因素及其交互作用項變化的回歸模型，并采用多種復雜的統(tǒng)計分析方法估計和檢驗模型中的參數(shù)，其結(jié)果比較豐富，而且可以更加全面地挖掘資料所蘊含的信息。

2.2 廣義差異性分析方法

2.2.1 加權(quán)χ2檢驗

在分析二維表資料時，為了檢驗表中兩屬性變量之間是否獨立，可采用Pearson'sχ2檢驗、校正的Pearson'sχ2檢驗和似然比χ2檢驗。然而，在分析高維表資料時，以上方法均不能直接使用，需要按一個定性變量的各水平或多個定性變量的水平組合進行分層，當各層都是“2×2表資料”時，就可按特定的公式求出各層的權(quán)重系數(shù)，并進行“加權(quán)合并計算”，這就是“加權(quán)χ2檢驗［5］”。

2.2.2 CMHχ2檢驗

在分析二維表資料時，CMHχ2檢驗實際上包含了三種檢驗，即“兩屬性變量之間的獨立性檢驗（H1：一般關(guān)聯(lián)）”“兩有序變量之間的相關(guān)性檢驗（H1：非零相關(guān)）”和“定性原因變量各水平下定性結(jié)果變量的平均秩之間的差異性大小的秩和檢驗（H1：行評分均值差異）”；而在分析高維表資料時，首先要對資料進行分層，再進行“合并計算”。CMHχ2檢驗的結(jié)果與前面提及的三種檢驗結(jié)果類似，具體地說，若分層后，各層都是“2×2表資料”時，三種檢驗結(jié)果是完全相同的；若分層后，各層都不是“2×2表資料”時，三種檢驗結(jié)果中，“H1：非零相關(guān)”與“H1：行評分均值差異”的檢驗結(jié)果相同，而“H1：一般關(guān)聯(lián)”的檢驗結(jié)果與前兩種的檢驗結(jié)果是不同的［6］。

2.2.3 Meta分析

對三維表資料進行Meta分析的任務有以下4項：①弄清定性資料來自隊列研究設(shè)計還是病例對照研究設(shè)計。②選定擬分析的效應指標，例如，隊列研究設(shè)計時，其效應指標有“相對危險度（RR）”或“危險率差（RD）”；病例對照研究設(shè)計時，其效應指標有“優(yōu)勢比（OR）”。③檢驗各層（即各研究項目）的“2×2表資料”之間是否滿足齊性。具體地說，對于隊列研究設(shè)計資料而言，就是檢驗各層“相對危險度（RR）”之間是否相等或各層“危險率差（RD）”之間是否相等；而對于病例對照研究設(shè)計資料而言，就是檢驗各層“優(yōu)勢比（OR）”之間是否相等。④計算“合并后資料”的“效應指標（RR或RD或OR）”的估計值及其置信區(qū)間。在進行前述兩步計算時，都必須依據(jù)“齊性檢驗”結(jié)果來選擇具體方法。

傳統(tǒng)算法體系的解決方案：在常規(guī)的統(tǒng)計學教科書［3，7-8］和用于 Meta分析的統(tǒng)計軟件（例如 Review Manager軟件［9］）中，都采取如下策略：第一步，針對不同的“效應指標［（RR或lnRR）或RD或（OR或lnOR）］”構(gòu)造不同的檢驗統(tǒng)計量Q，檢驗各層2×2表資料是否滿足齊性要求；第二步，若“分層2×2表資料”滿足齊性要求，則采取基于“固定效應模型”導出的公式進行特定效應指標估計和置信區(qū)間估計，若“分層2×2表資料”不滿足齊性，則采取基于“隨機效應模型”導出的公式進行特定效應指標估計和置信區(qū)間估計。

SAS算法體系的解決方案：在SAS/STAT的FREQ過程中［6］，只出現(xiàn)了關(guān)于“各層優(yōu)勢比（OR）”齊性檢驗的方法，沒有給出關(guān)于“相對危險度（RR或lnRR）”或“危險率差（RD）”齊性檢驗的方法。優(yōu)勢比齊性檢驗的具體方法有以下四種［6］：“Breslow-Day檢驗”“Q檢驗”“計算I2度量統(tǒng)計量及其95%置信區(qū)間”和“Zelen’s精確檢驗”。在SAS/STAT的FREQ過程中［6］，沒有明確提及“固定效應模型”與“隨機效應模型”的概念，只要在“tables語句”中增加了選項“CMH”，于是，在SAS輸出結(jié)果中，就會輸出“普通優(yōu)比和相對風險”（或稱為“共同優(yōu)比和相對風險”）的計算結(jié)果，具體內(nèi)容如下所示：

在上面輸出的結(jié)果中，第1列為“統(tǒng)計量”，有“優(yōu)比”和“相對風險”兩種，相對風險又分為兩種計算結(jié)果，分別基于“分層2×2表”的“第1列”和“第2列”計算所得。若研究者將自己所關(guān)心的結(jié)局（例如：死亡）放置在表中第1列上，就看“相對風險（第1列）”所在的行；否則，就看“相對風險（第2列）”所在的行。無論是哪一種統(tǒng)計量的估計值和置信區(qū)間，SAS都基于兩種方法（即“校正的Mantel-Haenszel法”與“校正的logit法”）進行計算并輸出相應的結(jié)果。通過比較發(fā)現(xiàn)，它們可以被視為基于“固定效應模型”計算的“估計值及95%置信區(qū)間”。

下面輸出結(jié)果中的“精確置信限”可以被視為基于“隨機效應模型”計算的“共同優(yōu)比估計值及95%置信區(qū)間”。

值得一提的是，在SAS/STAT的FREQ過程中，尚未給出與“共同相對危險度（即按分層因素進行合并計算的相對危險度）”對應的精確檢驗方法，也就是說，當對隊列研究設(shè)計高維表資料進行Meta分析時，若“分層2×2表”資料不滿足齊性要求時，需要基于隨機效應模型導出的公式并借助SAS語言編程實現(xiàn)完整的計算［10］。

在使用SAS/STAT的FREQ過程中，只要在“tables語句”中增加了選項“commonriskdiff（test=mh cl=（k mh mr score newcombe newcombemr））”，于是，SAS輸出結(jié)果就會呈現(xiàn)基于6種算法得到的“共同危險率差（RD）”的估計值及95%置信區(qū)間：

在上面的輸出結(jié)果中，第1列是6種計算方法的名稱，第2列為普通風險率差（RD）的估計值，最后2列為其95%置信區(qū)間的下限值與上限值。其中，最后一行上的“匯總評分法”也叫做“General variance-based 法”［7］。在這 6 種方法中，哪些是與“固定效應模型”對應的方法、哪些是與“隨機效應模型”對應的方法，有待深入研究。

2.3 回歸分析

2.3.1 對數(shù)線性回歸模型

對數(shù)線性回歸模型不僅可以解決χ2檢驗所能解決的變量間是否存在關(guān)聯(lián)的問題，還可以解決χ2檢驗難以分析的多個變量間交互效應的問題。其分析過程是：先構(gòu)建列聯(lián)表中各網(wǎng)格中頻數(shù)的對數(shù)（設(shè)為因變量）與多個分類變量（視為自變量）間關(guān)系的模型，然后用一定的統(tǒng)計方法（常用加權(quán)最小二乘方法和最大似然方法估計模型中的參數(shù)，并使用迭代法進行計算，如Newton-Raphson迭代法）以實際頻數(shù)擬合模型、估計模型中的參數(shù)，并進行參數(shù)的假設(shè)檢驗。

2.3.2 Logistic回歸模型

依據(jù)定性結(jié)果變量的不同類型，Logistic回歸模型有3種，即二值結(jié)果變量的一般多重Logistic回歸模型（包括配對設(shè)計資料和非配對設(shè)計資料兩種情形）、多值有序結(jié)果變量的累計多重Logistic回歸模型和多值名義結(jié)果變量的擴展（或稱為多項）多重Logistic回歸模型。在前述的幾種情形下，依據(jù)資料的實際情況，還可以將它們分別擴展成為“帶隨機效應的多重 Logistic回歸模型”［6］和/或“多水平多重Logistic回歸模型”［11］。

2.3.3 Probit回歸模型

Logistic回歸模型與Probit回歸模型都是用于分析定性（二值或多值的）響應變量與自變量之間的關(guān)系。它們之間最大區(qū)別在于：Probit回歸分析中響應變量不再是二值變量，而是介于0～1之間的百分比變量。Probit回歸分析中采用的關(guān)聯(lián)函數(shù)為Probit函數(shù)，響應變量取值為1的概率如式（1）所示：

這個函數(shù)實際上就是標準正態(tài)分布曲線下分位數(shù)函數(shù)u=PROBIT（P）的反函數(shù)。式（1）中的β0+β1x就相當于這里的u。在醫(yī)學研究中，此回歸模型常用于估計藥物或毒物的半數(shù)致死量［6］。

2.3.4 離散選擇模型

統(tǒng)計學家在“效用最大化”的假設(shè)之下推導出離散選擇模型。依據(jù)結(jié)果變量的表現(xiàn)形式，離散選擇模型可分為以下兩類。

第一類，當結(jié)果變量為有序變量（也被稱為“偏好評分值”）時，此時的離散選擇模型就是“結(jié)合分析中的回歸模型”［10］，見式（2）：

在式（2）中，Y表示某種屬性組合下被評對象的總效用，即輪廓的總效用。a為截距，v為屬性變量各水平的分值效用，x為取值為0或1的啞變量，當它代表的屬性水平出現(xiàn)，則x=1，否則x=0。

若模型中屬性水平的分值效用的差值（最大效用與最小效用之差）越大，則該屬性的相對重要性越高。一般用百分比的形式來描述各屬性的重要性，見式（3）：

在式（3）中，m表示屬性個數(shù)，Wj表示第j個屬性的相對重要性，max（vj）和min（vj）分別表示第j個屬性各水平中最大和最小的分值效用。

第二類，當結(jié)果變量為多選一（即從多項被選項目中選擇一項，選中的項標記為1，其他未被選中的項一律標記為0）時，此時的離散選擇模型（可進一步劃分為“Logit模型”“Nested logit模型”和“Probit模型”）比較復雜［6］，限于篇幅，不予贅述。

以上兩類模型的適用場合如下：一類物品是否被顧客所青睞，取決于其自身多個屬性變量的水平組合以及顧客自身的條件和偏好。例如，假設(shè)考慮小轎車的三個屬性：車身（分為長、短）、耗油量（分為多、少）、價格（分為高、低），總共有2×2×2=8種型號的小轎車可供顧客選擇。讓某位顧客來挑選時，他或她有兩種表達意愿的方式：其一，依次給這8種型號的小轎車打一個“分值（1～8分）”，分值越大，代表顧客越喜歡。此時，可選擇前述提及的第一類離散選擇模型；其二，僅從這8種型號的小轎車中選擇一種，但參與選擇的顧客人數(shù)至少應大于8，此時，可選擇前述提及的第二類離散選擇模型。

3 討論與小結(jié)

3.1 討論

處理高維表資料時，人們常會犯以下兩種錯誤。

其一，將高維表資料簡單地壓縮成二維表資料，并直接對其進行統(tǒng)計分析，這樣做很容易得出錯誤的結(jié)論。例如，采用CMH χ2檢驗分析一個關(guān)于“A、B兩個診所護理量多和護理量少所對應的嬰兒死亡率的資料［12］”，所得結(jié)果如下：共同相對危險度為RR=1.1078，其95%置信區(qū)間為［0.3996，3.0707］（Mantel-Haenszel法）、［0.3980，3.0662］（logit法）。因置信區(qū)間包含1，說明護理量少與護理量多的嬰兒死亡率接近相等；若對該資料中的A、B兩個診所進行簡單合并，得到的四格表資料如下：

用CMH χ2檢驗分析上述簡單合并后的四格表資料，得到的結(jié)果如下：

相對危險度為RR=2.7311，其95%置信區(qū)間為［1.1100，6.7198］（Mantel-Haenszel法）、［1.1100，6.7198］（logit法）。因置信區(qū)間不包含1，說明護理量少與護理量多的嬰兒死亡率之間的差別具有統(tǒng)計學意義，前者的死亡率為5.35%、后者的死亡率為1.90%。顯然，兩個死亡率之間的差距被人為地夸大了。究其原因，不難發(fā)現(xiàn)：診所A與診所B的四格表資料之間不滿足齊性，而且診所B中“護理量多”的人數(shù)（25人）比診所A中“護理量多”的人數(shù)（297人）少了很多。以致于簡單合并后的資料中，原本死亡率高（8.00%）的診所B中“護理量多”的那一行數(shù)據(jù)在合計中的“貢獻或權(quán)重”很小，從而導致“護理量多”的合計欄中嬰兒死亡率“下降”（這可能是一種假象）了很多。

其二，采用回歸模型（對數(shù)線性模型除外）分析高維表資料時，人們常忽略因素之間的交互作用項。在使用Logistic回歸模型和Probit回歸模型時，使用者很少會把因素之間的交互作用項納入回歸模型中，因為統(tǒng)計學教科書中幾乎都忽視了這一點。事實上，在有些實際問題中，因素之間的交互作用是不可忽視的，不將其納于回歸模型，可能會降低回歸模型對資料的擬合效果。有時，可能會得出不符合實際的結(jié)論。

3.2 小結(jié)

本文以高維表形式呈現(xiàn)了三種常見的和一種特殊的多因素定性資料及實例，即“二值結(jié)果變量的高維表資料及其實例”“多值有序結(jié)果變量的高維表資料及其實例”“多值名義結(jié)果變量的高維表資料及其實例”和“人-時間數(shù)據(jù)及實例”；概括介紹了分析高維表資料的兩類統(tǒng)計分析方法，即“廣義差異性分析簡介”和“回歸分析簡介”；最后，還討論了處理高維表資料時常犯的兩類錯誤，即“將高維表資料簡單地壓縮成二維表資料”和“基于回歸模型分析時常忽略因素之間的交互作用項”。