在小學(xué)幾何教學(xué)中滲透“變中有不變”的思想方法

詹錦秀

（福建師范大學(xué)第二附屬小學(xué)，福建 福州 350015）

幾何圖形的數(shù)量關(guān)系和空間形式是具體事物的高度抽象。為了幫助學(xué)生理解和接受數(shù)學(xué)的抽象，小學(xué)幾何的知識(shí)點(diǎn)分散在各個(gè)年級(jí)，教材的編排也是逐步抽象的螺旋式遞升難度。但是，分散的知識(shí)點(diǎn)容易造成學(xué)生對(duì)幾何基本性質(zhì)認(rèn)知的割裂與理解的片面，在題型變換中無所適從，無法將幾何知識(shí)從點(diǎn)到線、從線到面的形成思維體系，更談不上將知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的解決。這就要求教師在教學(xué)中，逐步滲透“變中有不變”的思想方法。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或用數(shù)學(xué)解決問題的過程中，會(huì)面對(duì)千變?nèi)f化的對(duì)象，在這些變化中找到不變的性質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這就是變中有不變的思想。［1］這有助于學(xué)生在小學(xué)幾何學(xué)習(xí)中掌握不變的幾何基本性質(zhì)，將變化的情境假設(shè)服務(wù)于基本性質(zhì)的掌握。本文就概念的比較、知識(shí)的聯(lián)系及問題的解決三個(gè)方面，闡述如何在小學(xué)幾何教學(xué)中滲透“變中有不變”的思想方法。

一、概念比較，抓住本質(zhì)特征

在小學(xué)幾何教學(xué)中，有很多基本圖形的概念以及由概念推導(dǎo)出來的基本性質(zhì)，這些概念和基本性質(zhì)都是“變中有不變”教學(xué)思想中的“不變”量。在概念、規(guī)律、方法歸納教學(xué)中進(jìn)行變與不變的對(duì)比，使得隱含的思想外顯。在變與不變中揭示概念，概念的本質(zhì)特征更容易讓學(xué)生抓住。［2］教師要通過概念規(guī)律的比較，從變化的現(xiàn)象、情境中尋找不變的量，再以不變量為主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生比較辨析各種概念及基本性質(zhì)，從而更清晰地理解概念的本質(zhì)特征。

例如，五年級(jí)上冊(cè)《梯形的認(rèn)識(shí)》，本課的重點(diǎn)是對(duì)梯形概念的理解。教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生比較、辨析，從眾多變化的量中找到不變的量，清晰地抓住梯形概念的本質(zhì)特征。

第一步：初步感知梯形。多媒體出示實(shí)物圖片，如梯子、跳馬臺(tái)和堤壩的橫切面，讓學(xué)生先感知生活中的梯形，建立實(shí)物表象；再逐步抽象出梯形的幾何圖形，從實(shí)物表象到幾何抽象，初步建立梯形的概念。

第二步：認(rèn)識(shí)梯形特征。教師提出問題：仔細(xì)觀察下面三個(gè)梯形（圖1），總結(jié)它們的共同特征。與其他四邊形相比較，它們之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)分別是什么？讓學(xué)生帶著問題，觀察梯形，從邊、角等方面闡述特點(diǎn)。

圖1

生1：梯形都有4 個(gè)角。

生2：梯形的邊可以不相等。

生3：梯形都有4 條邊，是四邊形。

生4：梯形不僅有4條邊，還有一組對(duì)邊是平行的。

第三步：比較、辨析。從眾多可變的信息中，通過比較、辨析，發(fā)現(xiàn)唯一不變的特征。

師：根據(jù)你們的發(fā)現(xiàn)，找找下面圖形（圖2）中誰是梯形？

圖2

生5：①號(hào)、②號(hào)是梯形，③號(hào)不是；

生6：③號(hào)不是，雖然有一組對(duì)邊平行，但不是四邊形。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置的問題讓學(xué)生有目的地在比較、辨析中尋找答案，激發(fā)學(xué)生探究未知事物的欲望，同時(shí)有意識(shí)地滲透梯形與其他四邊形之間的關(guān)系，為整體建構(gòu)四邊形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)關(guān)系做好鋪墊。

第四步：概括定義。

師：再來看看它是梯形嗎？（圖3）

圖3

生：是，只要滿足一組對(duì)邊平行的四邊形就是梯形。

通過梯形與一般四邊形及其他多邊形的對(duì)比，讓學(xué)生透過圖形的大小、平面放置方向等變化的量，深入理解和把握“只有一組對(duì)邊平行的四邊形”這個(gè)不變的基本性質(zhì)，就能夠正確地認(rèn)識(shí)和理解梯形概念的本質(zhì)，在判斷梯形的過程中，就不會(huì)困惑于變化的情境，幫助學(xué)生更加深刻有效地掌握知識(shí)并提高思維能力。

二、知識(shí)聯(lián)系，系統(tǒng)把握重難點(diǎn)

“轉(zhuǎn)化”這一方法經(jīng)常應(yīng)用于小學(xué)幾何“空間與圖形”的教學(xué)過程中。轉(zhuǎn)化就是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，懂得將新知識(shí)通過觀察與分析等思維活動(dòng)，轉(zhuǎn)化到舊知識(shí)中進(jìn)行解決。［3］通過知識(shí)點(diǎn)間的相互聯(lián)系，不斷滲透“變中有不變”的思想方法，幫助學(xué)生克服教材中各知識(shí)點(diǎn)分散分布帶來的認(rèn)知割裂、理解片面等缺陷，系統(tǒng)地把握一類知識(shí)的本質(zhì)特征。當(dāng)學(xué)生面對(duì)同樣問題的各種提法時(shí)，就會(huì)有意識(shí)地按照“變中有不變”的思想方法來觀察、思考問題，透過變化的情境，抓住不變的本質(zhì)特征，尋求解決問題的方法，從而深刻、牢固地掌握這一類知識(shí)的要點(diǎn)。

例如，在復(fù)習(xí)五年級(jí)平面圖形面積時(shí)，教師可結(jié)合變中有不變的教學(xué)思想，把小學(xué)階段學(xué)過的直線平面圖形進(jìn)行一次大串聯(lián)。多媒體出示圖4：

師：我把上底向右平移兩格后，梯形面積會(huì)和原來一樣嗎？

生：會(huì)一樣，因?yàn)樯舷碌椎暮筒蛔兏卟蛔儭?/p>

師：現(xiàn)在把上底減少一格，下底增加一格，梯形變化成什么圖形？面積變了嗎？

生：還是梯形。面積不會(huì)變，因?yàn)樯舷碌椎暮蜎]有改變，高也沒變。

師：如果設(shè)定面積不變，還有可能變成什么圖形？

生：三角形。上底減少到0，下底可以增加到6。

師：與原來梯形相比，什么變了？什么沒變？

生：仍然是上下底之和沒變，高沒變，所以面積也不會(huì)變。

生：我會(huì)用公式來證明，（0+6）×4÷2=12。

圖4

設(shè)計(jì)意圖：從觀察梯形上、下底邊的變化，到驗(yàn)證梯形的面積是否有改變，再到梯形的上底減少到0，下底增加，這一系列的動(dòng)態(tài)變化，讓學(xué)生感受到上、下底的邊長(zhǎng)在變化，但推理過程不變，公式也不變，面積也不變。抓住“什么變了”“什么沒變”來探究，才能發(fā)現(xiàn)隱藏的規(guī)律。

生1：除了三角形，還可以變成平行四邊形。只要保證上下底之和不變都是6 格，高也不變，面積自然也不會(huì)變。上底為3，下底為3，所以（3+3）×4÷2=12。

生2：也可以變化成長(zhǎng)方形。長(zhǎng)為3，寬為4，所以（3+3）×4÷2=12。

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察，在計(jì)算方法上有什么地方相同？

生3：雖然上下底的長(zhǎng)度不一樣，但上下底之和不變，高不變，面積不變。

圖形轉(zhuǎn)化后，教師要基于各個(gè)知識(shí)點(diǎn)相互之間的聯(lián)系，結(jié)合“變中有不變”思想展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、總結(jié)幾何圖形周長(zhǎng)、面積及體積的計(jì)算方法等教學(xué)重難點(diǎn)，主動(dòng)把新知識(shí)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化到舊知識(shí)的系統(tǒng)中，從而形成新的數(shù)學(xué)能力。

三、問題解決，加強(qiáng)實(shí)踐應(yīng)用

事物是變化著的，而“變化”中又蘊(yùn)含著“聯(lián)系”和“不變”的因素，從錯(cuò)綜復(fù)雜的“變化”中發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系和不變，往往是解決問題的突破口?！白冎杏胁蛔儭彼枷胧且环N概括性和實(shí)用性都很強(qiáng)的思想方法，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用“變中有不變”思想去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，逐步滲透“變中有不變”思想。小學(xué)幾何圖形中的等面積、等體積變化這一類的問題，也可以通過“變中有不變”的思想方法來解決。

例如，六年級(jí)下冊(cè)求不規(guī)則圓柱的體積時(shí)，教材呈現(xiàn)1 瓶未裝滿水的瓶子，裝水部分是圓柱體，空氣部分是不規(guī)則體積，如何求得瓶子的體積呢？顯然，用水的體積+空氣的體積=瓶子的體積，水的體積是圓柱體，可空氣的體積該如何求呢？很多學(xué)生想到可以把瓶子倒置，把空氣的體積轉(zhuǎn)化成圓柱的體積。為什么可以轉(zhuǎn)化呢？從表面上看，空氣的體積變了，可再仔細(xì)研究，并不是空氣的體積變了，而是空氣部分的形狀發(fā)生改變，它的體積并沒有發(fā)生改變。學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)其“不變”的本質(zhì)意義，形狀變了，體積不變。在變化中尋找不變的規(guī)律，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。

綜上所述，教師對(duì)小學(xué)幾何各種基本圖形概念的發(fā)生及演變要熟練掌握，并通過概念規(guī)律的比較、知識(shí)點(diǎn)間的相互聯(lián)系及問題解決過程中的轉(zhuǎn)化與計(jì)量單位的統(tǒng)一約定，不斷滲透“變中有不變”的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)及解決問題的過程中，以不變的量為突破口，透過紛繁復(fù)雜的變化，在概念比較中辨析各知識(shí)點(diǎn)基本特征間的“同”與“不同”，在各知識(shí)點(diǎn)間的相互聯(lián)系中有意識(shí)地歸納總結(jié)，并在問題解決的實(shí)踐過程中不斷提煉，形成一個(gè)完整的知識(shí)體系。