材料力學(xué)中基本變形下內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法

尚偉　劉爽　王金芝　邵蕊

[摘 要]文章結(jié)合土木類專業(yè)和材料力學(xué)課程的特點(diǎn)，探索材料力學(xué)中基本變形下內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法。在研究構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度等問題時(shí)，均與內(nèi)力這個(gè)因素有關(guān)，經(jīng)常需要知道構(gòu)件在已知外力作用下某一截面上的內(nèi)力值。文章在截面法的基礎(chǔ)上總結(jié)出了軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲基本變形形式下構(gòu)件內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法。內(nèi)力與外力有關(guān)，等于外力或外力矩的代數(shù)和，而外力和外力矩符號(hào)的確定是關(guān)鍵。此方法的優(yōu)點(diǎn)是將外力和外力矩的符號(hào)與變形聯(lián)系起來，更加方便記憶和應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了將材料力學(xué)中的理論轉(zhuǎn)化為解決工程問題的工具。

[關(guān)鍵詞]土木類專業(yè);材料力學(xué);基本變形;內(nèi)力;截面法

[中圖分類號(hào)] O341;G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2021）06-0083-04

材料力學(xué)是土木工程等專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，它以高等數(shù)學(xué)、理論力學(xué)、大學(xué)物理等課程為基礎(chǔ)，同時(shí)又為結(jié)構(gòu)力學(xué)以及一系列專業(yè)課打下重要基礎(chǔ)。材料力學(xué)課程的基本任務(wù)是將工程結(jié)構(gòu)中的簡(jiǎn)單構(gòu)件簡(jiǎn)化為桿件，并對(duì)桿中的應(yīng)力、變形以及穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算分析，保證結(jié)構(gòu)能承受預(yù)定的載荷，選擇適當(dāng)?shù)牟牧稀⒔孛嫘螤詈统叽?，設(shè)計(jì)出既安全又經(jīng)濟(jì)的結(jié)構(gòu)構(gòu)件。課程目標(biāo)為利用材料力學(xué)的常用分析方法，研究桿件四種基本變形及其受力變形的基本規(guī)律，建立工程相關(guān)力學(xué)問題的基礎(chǔ)知識(shí)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，為后續(xù)課程打下重要基礎(chǔ)。通過學(xué)習(xí)桿件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等基本知識(shí)，掌握簡(jiǎn)單超靜定、應(yīng)力狀態(tài)、強(qiáng)度理論、組合變形及壓桿穩(wěn)定等復(fù)雜工程問題的分析方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力。土木類專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)是培養(yǎng)適應(yīng)國(guó)家現(xiàn)代化建設(shè)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，服務(wù)城鎮(zhèn)化和城市現(xiàn)代化進(jìn)程，德、智、體、美、勞全面發(fā)展;熟練運(yùn)用基礎(chǔ)理論和專業(yè)知識(shí)，具備獲得土木工程及相關(guān)領(lǐng)域執(zhí)業(yè)資格的能力;能在房屋、道路、橋梁、地下等相關(guān)行業(yè)獨(dú)立承擔(dān)技術(shù)或管理工作;具有創(chuàng)新意識(shí)、人文素養(yǎng)、社會(huì)責(zé)任感和一定國(guó)際視野，以及良好的組織管理、溝通協(xié)調(diào)能力;在終身學(xué)習(xí)、專業(yè)發(fā)展和領(lǐng)導(dǎo)能力上能夠持續(xù)進(jìn)步，成為土木工程及相關(guān)領(lǐng)域的復(fù)合型應(yīng)用人才。根據(jù)土木類專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)和材料力學(xué)課程的特點(diǎn)，將材料力學(xué)中的理論轉(zhuǎn)化為解決工程問題的工具應(yīng)該是土木類專業(yè)材料力學(xué)課程教學(xué)中的關(guān)鍵，也應(yīng)該區(qū)別于力學(xué)和物理專業(yè)材料力學(xué)課程的教學(xué)。

物體的內(nèi)力一般是指物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力。物體未受外力作用時(shí)，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間就存在著內(nèi)力，這種內(nèi)力能使質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置保持不變，從而使物體保持一定的幾何形狀[1]。當(dāng)物體受外力作用而變形時(shí)，內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)距離發(fā)生改變，從而引起內(nèi)力的改變，即產(chǎn)生了附加內(nèi)力[2]。材料力學(xué)所研究的內(nèi)力，就是物體內(nèi)部各部分之間由外力作用而引起的附加內(nèi)力，簡(jiǎn)稱為內(nèi)力。這種內(nèi)力隨外力的增加而增加，到達(dá)某一極限值時(shí)構(gòu)件就會(huì)發(fā)生破壞。在研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度等問題時(shí)，均與內(nèi)力這個(gè)因素有關(guān)，經(jīng)常需要知道構(gòu)件在已知外力作用下某一截面上的內(nèi)力值，教學(xué)中采用圖1所示分析方法。截面法為材料力學(xué)中求解構(gòu)件內(nèi)力的常用方法[3-5]，其基本思想是：無論構(gòu)件發(fā)生何種變形，畫脫離體受力圖時(shí)，其截面上的內(nèi)力方向統(tǒng)一設(shè)成與規(guī)定內(nèi)力正向相一致，然后按照設(shè)定的參考軸建立力系的平衡方程。求解所得的數(shù)值為正，說明所設(shè)內(nèi)力方向與實(shí)際同向，數(shù)值為負(fù)說明所設(shè)內(nèi)力方向與實(shí)際反向。此外還可從撓曲線的一般形式出發(fā)，通過邊界條件確定待定常數(shù)，能同時(shí)得到撓曲線方程，轉(zhuǎn)角方程，彎矩方程，剪力方程和支座反力[6]。本文在截面法的基礎(chǔ)上總結(jié)出了軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲基本變形形式下構(gòu)件內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法。此方法的優(yōu)點(diǎn)是將外力和外力矩的符號(hào)與變形聯(lián)系起來，更加方便記憶和應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了將材料力學(xué)中的理論轉(zhuǎn)化為解決工程問題的工具。

一、軸向拉壓變形

軸向受拉桿件圖2（a）所示，運(yùn)用截面法求解橫截面m?m的內(nèi)力，首先用假想截面在此處將桿件截?cái)?，保留左部分或右部分為脫離體，用內(nèi)力來代替移去部分對(duì)保留部分的作用，其作用線與桿的軸線重合，即垂直于橫截面并通過其形心，故稱這種內(nèi)力為軸力，用符號(hào)FN表示。

取右段脫離體Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)軸力符號(hào)規(guī)定如圖3所示，假設(shè)橫截面上的軸力為正，畫脫離體的受力圖，如圖2（b）所示。由于原直桿處于平衡狀態(tài)，故截開后各部分仍應(yīng)維持平衡。根據(jù)平衡條件列平衡方程得

對(duì)于所研究的構(gòu)件來說，其他構(gòu)件作用于該構(gòu)件上的力稱為外力。構(gòu)件的內(nèi)力是由外力引起的，內(nèi)力是與變形相聯(lián)系的，內(nèi)力總是與變形同時(shí)產(chǎn)生的。內(nèi)力作用的趨勢(shì)則是使受力構(gòu)件恢復(fù)原狀，內(nèi)力對(duì)變形起抵抗和阻止作用。由式（1）可得出軸向拉壓構(gòu)件的軸力等于脫離體上的所有軸向外力的代數(shù)和。將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，使脫離體成為懸臂梁如圖2（c）所示。由式（1）可得出當(dāng)軸向外力使懸臂梁拉伸時(shí)，在平衡方程中軸力與軸向外力符號(hào)相反，而移到等式另一端時(shí)符號(hào)相同，軸向外力取正號(hào)。由此得出軸向外力使懸臂梁拉伸時(shí)取正號(hào)，使懸臂梁壓縮時(shí)取負(fù)號(hào)，此方法的優(yōu)點(diǎn)是無論取左半段還是右半段脫離體為研究對(duì)象此方法都適用，且將軸向外力的符號(hào)與變形聯(lián)系起來。

二、扭轉(zhuǎn)變形

如圖4（a）所示圓軸受到一對(duì)外力偶Me的作用，使其產(chǎn)生了扭轉(zhuǎn)變形，求任一橫截面m?m上的內(nèi)力。可以采用截面法，設(shè)想將桿件沿m?m截面截成兩段，并取右段Ⅱ?yàn)槊撾x體如圖4（b）所示，那么m?m截面上必有一內(nèi)力偶作用，該內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用T表示。

取右段脫離體Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)扭矩符號(hào)規(guī)定如圖5所示，假設(shè)橫截面上的扭矩為正，畫脫離體的受力圖，如圖4（b）所示。根據(jù)平衡條件列平衡方程得

由式（2）可得出扭轉(zhuǎn)構(gòu)件的扭矩等于脫離體上的所有外力偶矩的代數(shù)和。將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，使脫離體成為懸臂梁如圖4（c）所示。由式（2）可得出當(dāng)向固定端看去外力偶使懸臂梁逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在平衡方程中扭矩與外力偶矩符號(hào)相反，而移到等式另一端時(shí)符號(hào)相同，外力偶矩取正號(hào)。由此得出當(dāng)向固定端看去外力偶使懸臂梁逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正號(hào)，使懸臂梁順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取負(fù)號(hào)。

三、彎曲變形

彎曲變形是工程中最常見的一種變形形式。在工程實(shí)際中，受到荷載作用產(chǎn)生彎曲變形的桿件是很多的，通常把這種以彎曲變形為主的桿件叫作梁。如圖6（a）所示的懸臂梁，在外力作用下處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)假想在距右端為a的橫截面處，用一假想的橫截面m?m將此懸臂梁截為兩段，取右半段Ⅱ?yàn)槊撾x體，并用內(nèi)力來代替左半段Ⅰ對(duì)它的作用如圖6（b）所示。為使右半段脫離體保持平衡，在其截面上應(yīng)該有兩個(gè)內(nèi)力，沿截面切線方向的剪力FS和縱向平面內(nèi)的彎矩M。

取右段脫離體Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)剪力和彎矩符號(hào)規(guī)定如圖7所示，假設(shè)橫截面上的剪力和彎矩為正，畫脫離體的受力圖，如圖6（b）所示。根據(jù)平衡條件列平衡方程得

由式（3）可得出彎曲構(gòu)件的剪力值等于脫離體上的所有外力橫向外力的代數(shù)和。將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，使脫離體成為懸臂梁如圖6（c）所示。由式（3）可得出當(dāng)橫向外力使懸臂梁繞固定端順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在平衡方程中剪力與橫向外力符號(hào)相反，而移到等式另一端時(shí)符號(hào)相同，橫向外力取正號(hào)。由此得出橫向外力使懸臂梁繞固定端順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正號(hào)，使懸臂梁繞固定端逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取負(fù)號(hào)。

由式（4）可得出彎曲構(gòu)件的彎矩值等于脫離體上的所有外力（橫向外力和外力偶）對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù)和。將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，使脫離體成為懸臂梁如圖6（c）所示。由式（4）可得出當(dāng)外力使懸臂梁下側(cè)受拉時(shí)，在平衡方程中彎矩與外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的符號(hào)相反，而移到等式另一端時(shí)符號(hào)相同，外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩取正號(hào)。由此得出外力使懸臂梁下側(cè)受拉時(shí)外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩取正號(hào)，使懸臂梁下側(cè)受壓時(shí)外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩取負(fù)號(hào)。

四、應(yīng)用算例

梁橫截面上的剪力和彎矩都是隨橫截面的位置變化而變化的。由于在進(jìn)行梁的應(yīng)力和變形計(jì)算時(shí)，需要知道沿梁軸線橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律。為了形象地表明剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，通常用剪力圖和彎矩圖將剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況表示出來。繪制剪力圖和彎矩圖的關(guān)鍵就是計(jì)算剪力和彎矩值，下面的例題運(yùn)用本文提出的彎曲變形內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法，計(jì)算剪力值和彎矩值，進(jìn)而繪制剪力圖和彎矩圖。

例題 外伸梁尺寸及其上荷載如圖8（a）所示，試作該外伸梁的剪力圖和彎矩圖。

解：首先求出梁的支座反力：FRA=8kN， FRB=12kN

（1）作剪力圖

AB段作用有向下的均布荷載，即荷載集度方程為q（x）=常數(shù)C<0，所以剪力圖為向下傾斜直線段;BC段沒有荷載作用，即荷載集度方程為q（x）=0，所以剪力圖為平行梁軸線的水平線段。

無限靠近A點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值 等于脫離體上所有橫向外力的代數(shù)和，取左半段為脫離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，橫向外力FRA使左半段懸臂梁繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正值，所以無限靠近A點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值FSA右=FRA。

無限靠近B點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)截面上的剪力值等于脫離體上所有橫向外力的代數(shù)和，取右半段為脫離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，橫向外力FRB使右半段懸臂梁繞截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取負(fù)值，所以無限靠近B點(diǎn)左側(cè)截面上的剪力值FSB左=-FRB。

無限靠近B點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值等于脫離體上所有橫向外力的代數(shù)和，取右半段為脫離體，無橫向外力，所以無限靠近B點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值FSB右=0。

無限靠近C點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)截面上的剪力值等于脫離體上所有橫向外力的代數(shù)和，取右半段為脫離體，無橫向外力，所以無限靠近C點(diǎn)左側(cè)截面上的剪力值FSC左=0。

根據(jù)以上剪力值并結(jié)合各段剪力圖線形，便可繪出剪力圖如圖8（b）所示。

（2）作彎矩圖

AB段作用有向下的均布荷載，即荷載集度方程為q（x）=常數(shù)<0，所以彎矩圖為下凸二次拋物線;BC段沒有荷載作用，即荷載集度方程為q（x）=0，所以彎矩圖為傾斜直線。

無限靠近A點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)截面上的彎矩值等于脫離體上所有外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù)和，取左半段為脫離體，橫向外力FRA對(duì)截面形心點(diǎn)的矩為零，所以無限靠近A點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值MA右=0。

無限靠近B點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)截面上的彎矩值等于脫離體上所有外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù)和，取右半段為脫離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，橫向外力FRB對(duì)截面形心點(diǎn)的矩為零，外力偶Me使右半段懸臂梁下側(cè)受壓，外力偶Me對(duì)截面形心點(diǎn)矩取負(fù)值，所以無限靠近B點(diǎn)左側(cè)截面上的彎矩值MB左=-Me。

無限靠近B點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)截面上的彎矩值等于脫離體上所有外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù)和，取右半段為脫離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，外力偶Me使右半段懸臂梁下側(cè)受壓，外力偶Me對(duì)截面形心點(diǎn)矩取負(fù)值，所以無限靠近B點(diǎn)右側(cè)截面上的彎矩值MB右=-Me。

無限靠近C點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)截面上的彎矩值等于脫離體上所有外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù)和，取右半段為脫離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，外力偶Me使右半段懸臂梁下側(cè)受壓，外力偶Me對(duì)截面形心點(diǎn)矩取負(fù)值，所以無限靠近C點(diǎn)左側(cè)截面上的彎矩值MC左=-Me。

當(dāng)彎矩圖為拋物線時(shí)還應(yīng)確定極值點(diǎn)才能繪出彎矩圖，求出剪力FS=0的截面位置以確定彎矩的極值。假設(shè)該截面距離梁左端點(diǎn)為x，截面上的剪力值等于脫離體上所有橫向外力的代數(shù)和，取左半段為脫離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，橫向外力FRA使左半段懸臂梁繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正值，均布荷載簡(jiǎn)化為的集中力使左半段懸臂梁繞截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取負(fù)值，于是可求出在x處截面上剪力值，并令它為零。

AB段內(nèi)在剪力為零的截面上彎矩有極值，截面上的彎矩值等于脫離體上所有外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù)和，取右半段為脫離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，橫向外力FRA使右半段懸臂梁下側(cè)受拉，橫向外力FRA對(duì)截面形心點(diǎn)矩取正值，外力偶Me使右半段懸臂梁下側(cè)受壓，外力偶Me對(duì)截面形心點(diǎn)矩取負(fù)值，于是可求出AB段內(nèi)彎矩的極值。

由以上彎矩值并結(jié)合各段彎矩圖線形，便可繪出該梁的彎矩圖如圖8（c）所示。

五、結(jié)論

本文在截面法的基礎(chǔ)上總結(jié)出了軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲基本變形形式下構(gòu)件內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法。內(nèi)力與外力有關(guān)，等于外力或外力矩的代數(shù)和，而外力和外力矩符號(hào)的確定是關(guān)鍵。提出將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，使脫離體成為懸臂梁。軸向拉壓變形下，軸向外力使懸臂梁拉伸時(shí)取正號(hào)，使懸臂梁壓縮時(shí)取負(fù)號(hào)。扭轉(zhuǎn)變形下，當(dāng)向固定端看去外力偶使懸臂梁逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正號(hào)，使懸臂梁順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取負(fù)號(hào)。彎曲變形下，求剪力時(shí)橫向外力使懸臂梁繞固定端順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正號(hào)，使懸臂梁繞固定端逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取負(fù)號(hào);求彎矩時(shí)外力使懸臂梁下側(cè)受拉時(shí)外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩取正號(hào)，使懸臂梁下側(cè)受壓時(shí)外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩取負(fù)號(hào)。此方法的優(yōu)點(diǎn)是無論取左半段還是右半段脫離體為研究對(duì)象此方法都適用，且將軸向外力的符號(hào)與變形聯(lián)系起來，更加方便記憶和應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了將材料力學(xué)中的理論轉(zhuǎn)化為解決工程問題的工具。

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[責(zé)任編輯：張 雷]