層級思辨：助推概念教學全過程
——以“圓的認識”教學為例

文∣戚洪祥

概念是小學數(shù)學教學的重要內容之一，圖形與幾何領域的許多概念因其具有較高的抽象性，而成為小學數(shù)學教學的難點。在“圖形與幾何”概念教學中，如果把概念文本內容的記憶與強化當作教學的終點，一味通過機械的模仿與訓練，最終會讓學生遠離數(shù)學。小學生在學習“圖形與幾何”概念時，受已有認知結構和學習能力的影響，會有些困難。此時如果教師以概念的學習過程作為載體，以關注思維發(fā)展為過程目標，激活學生已有經驗，讓學生經歷概念抽象、發(fā)展的全過程，教學效果會大大提升?！皥A的認識”一課是“圖形與幾何”概念教學的經典課例，也是一節(jié)“種子課”，諸多名特優(yōu)教師都有自己的思考與演繹。筆者從層級思辨的視角，通過指向概念形成過程、能力發(fā)展過程、思維提升過程的三個視角，對本課的教學進行分析與重構。

一、身心諧振——從有限感知到無限抽象

數(shù)學是真實世界抽象的產物，圖形世界更是如此。對于五年級學生而言，導入既要激發(fā)學生參與課堂學習的積極性，又要能深層揭示數(shù)學知識的本質。如何將導入部分設計的數(shù)學活動與圓的數(shù)學本質“到定點的距離等于定長的點的集合”相聯(lián)系、相融合？如何實現(xiàn)“有限點的初步嘗試”到“無限點的抽象成圓”？佩伯特提出了“參與思考的對象”這個概念，用以說明現(xiàn)實生活和數(shù)學世界中的對象如何成為大腦中的意識對象來幫助建構、檢驗和修正新舊知識之間的聯(lián)結。[1]在學生完成獨立體驗的基礎上，以電腦卡通人物作為“幫助思考的對象”，通過不斷描點，讓學生產生身心諧振的獨特效果，從而促進學生對圓本質的初步感知。

?教學1

上課伊始，通過“尋寶游戲”引入，激發(fā)學生的學習興趣。最終定格在核心問題：寶物在離大樹3米遠的草叢中。此時教師留白，待學生靜靜思考后。繼續(xù)引導：如果用一個點代表大樹的位置，用紙上的3厘米代表實際的3米，你能試著用一個點表示寶物的位置嗎？教師給每個學生發(fā)一張半透明紙，讓學生畫出寶物可能存在的位置。學生完成寶物點繪制后，教師展示學生的作品，如圖1所示。然后，教師將學生的作品以表示大樹的點重疊、表示寶物的點不重疊的方式慢慢堆疊在一起，隨著作品數(shù)量的增加(如圖2所示)，啟發(fā)學生思考：如果點越來越多，你將看到一個什么樣的圖形呢？接著通過電腦中的卡通人物不斷描點，不斷增加點的數(shù)量，慢慢形成一個圓形，見圖3。

圖1 單個學生作品

圖2 多個學生作品重疊

圖3 電腦演示無限點

“圓的認識”一課的引入，是圍繞生活中的圓形物體進行觀察引入，還是凸顯圓的數(shù)學本質(到定點的距離等于定長的點的集合)進行探究引入？根據(jù)五年級學生的身心發(fā)展規(guī)律，教師最終選擇后者。教師通過設計“尋寶游戲”，首先讓每個學生都體驗尋找定點的過程，然后借助半透明紙的堆疊，將學生繪制的點慢慢集聚到一起，引導學生頭腦中的圓慢慢形成、呼之欲出。但受紙張數(shù)量、透明度的限制，還未能完全成圓。此時，借助多媒體設計虛擬的尋寶人物，參與學生的學習活動，幫助學生完成現(xiàn)實受限的抽象活動。教師將紙張慢慢堆疊過程中，圓慢慢浮現(xiàn)在學生眼前，這一過程與學生認知和經驗的累積是吻合的。甚至在此過程中，點的數(shù)量“多一些”“再多一些”這一要求，與學生內心對活動的意愿也是一致的。最后，虛擬的助學人物幫助學生將圓的認識與已有經驗聯(lián)系起來，形成更深刻、更完備的經驗植根于學生頭腦中。

二、具身體驗——從淺層模仿到深度建構

在傳統(tǒng)的滿堂灌的數(shù)學教學中，學生的學習就是簡單的信息輸入、輸出和存儲的過程，有人將這樣的學習簡單比喻為“脖子以上的學習”。 隨著課程改革的不斷深入，小學數(shù)學教學越來越重視“具身體驗型”學習活動的設計，讓學生全身心地參與這樣的活動，在操作中感知、在探究中頓悟、在實踐操作中慢慢形成技能。在具身參與的探究活動中，學生的觸覺、視覺、聽覺都能產生積極的反應，從而使新知與學生的已有經驗、認知結構產生一種共鳴，讓學生真切地感受成功的快樂。“畫圓”對于學生來說看似簡單，做則不易。將畫圓的學習活動，根據(jù)目標不同進行層級設計，從而幫助學生體會畫圓的動作要領，形成熟練的畫圓技能。

?教學2

【第一次畫圓】借助學具任意畫。

教師事先給每個小組準備以下學具：硬幣、有圓形孔洞的直尺、圓形透明膠帶、細線、圓規(guī)等，然后要求每個學生選擇物體或工具，任意畫一個圓。在匯報對比中，認識圓規(guī)并初步觀察借助圓規(guī)畫圓。

【第二次畫圓】用圓規(guī)任意畫一個圓。

教師出示學習單，包括“用圓規(guī)畫一個圓”“想一想，你在畫圓時遇到了什么困難”“把你的困難與同桌說一說”。通過全班交流，著重解決學生畫圓過程中遇到的操作性困難。同時，教師分析圓規(guī)畫圓的過程，認識“定點(圓心)”“定長(半徑)”，以及“直徑”等知識。

【第三次畫圓】圓規(guī)畫指定大小的圓。

教師引導學生：①確定圓心的位置，并用字母O表示。②畫一個半徑為3厘米的圓，并任意畫出一條半徑。③和同桌交流怎么畫。教學過程中，讓學生重在體會游戲中的大樹、畫圓時圓規(guī)針尖所在的位置就是圓的圓心，“距離3米”“圓規(guī)兩腳之間的距離”就是圓的半徑。

第一次畫圓體驗，讓學生感受借助圓形物體描圓過程中的“所見即所得”，工具畫圓過程中的“所思亦可得”。第二次畫圓體驗，直面學生圓規(guī)畫圓的操作性難點，引導學生在交流中解決困難，形成初步的畫圓技能。在學習了“圓心”“半徑”之后，教師安排第三次畫圓體驗，既鞏固畫圓的技能，又感知圓的特征與畫圓操作之間的內在聯(lián)系。在數(shù)學教學中，教師應該根據(jù)知識內容、組織形式、活動目標、操作材料的不同，進行層級設計，盡最大可能去增加學生體驗的環(huán)節(jié)或延長學生感受的時間，使學生能夠進行身心融入的具身學習，將“脖子以上的學習”轉變?yōu)椤叭硇牡膶W習”。

具身認知理論認為“學習是全身心參與的過程，具身體驗應為知識有效獲取不可缺少的途徑，其知識建構應該依賴于學生自身的感知、體驗及由此產生的對外界事物的解釋”[2]。對于“畫圓”這種體驗性較強的技能型操作活動，教師如果單純地依靠言傳、演示講解的方式進行教學，容易固化學生的思維，使學生的學習停留在淺層描摹和動作模仿之中，難以對多種畫法進行深度辨析，更難以形成圓規(guī)畫圓的技能。

三、境脈想象——從靜態(tài)讀圖到動態(tài)成像

愛因斯坦說過，“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切”。許多人在生活中觀察幾何圖形時，往往把它看成可視、靜止、固定的，很少有人用一種動態(tài)、發(fā)展的眼光去觀察它們。在特定的情境之下，用動態(tài)的眼光去觀察圖形，既可以培養(yǎng)學生的數(shù)學想象力，又可以幫助學生形成一種觀察生活的數(shù)學視角?！皥A的認識”一課的練習環(huán)節(jié)，許多時候會設計一些基本練習，比如“關于圓特征語句的判斷”“在一個圓中畫好一些線段，找出直徑與半徑”“利用直徑與半徑的長度關系進行互算”。這樣的題組練習，把知識從情境中分離出來，進行純數(shù)學知識的判斷與演繹。雖說可以提升學生對基礎知識的掌握和記憶，但長此以往，此種教學方法的枯燥、乏味慢慢就會成為數(shù)學的代名詞。

?教學3

【練習環(huán)節(jié)】首先出示規(guī)格為6英寸(15.2厘米)的雙拼比薩圖和規(guī)格為9英寸(22.8厘米)的四拼比薩圖各一幅，讓學生借助今天所學的知識，任選一幅圖進行介紹。學生在表述這兩幅圖時主要通過三個方面。①根據(jù)“規(guī)格”直接說出直徑的大小，從而推算出半徑的大小。②理想狀態(tài)下的 “雙拼”“四拼”指平均分成2份或4份，那么一定要沿著直徑或半徑進行分割。③四拼比薩的多條分割線在比薩中間會有一個交點，那就是圓心。

教師接著出示小狗被拴在木樁上的圖，并給出“繩長5米”的信息，讓學生思考，然后進行分析。學生表述這幅圖時，引導學生著重強調：當小狗把繩子拉直并進行跑動時，其運動的軌跡就是一個圓形，而拴著繩的木樁就是這個圓的圓心。教師根據(jù)學生回答，借助電腦動畫展示運動過程，并拓展“草地上正在噴水的旋轉式龍頭”“鐘面上運動的指針”等，讓學生進一步體會動態(tài)成圓的現(xiàn)象。

脫離情境的純文本式練習，容易陷入題海戰(zhàn)術。課堂練習要想真正實現(xiàn)其鞏固提升的功能，應更多地將知識置于真實的任務情境中，否則練習不會有效、不會深入。“讀圖時代”的到來，不論是教材上的習題，還是各級、各類學業(yè)水平檢測試題，都越來越注重生活場景類圖片的嵌入。靜止的雙拼、四拼比薩圖，與學生的生活實際密切相關，通過想象它平均分的過程與結果，從而感受到半(直)徑的特征、關系以及現(xiàn)實意義，讓本不可見的知識變得可視。動態(tài)成圓的生活場景創(chuàng)設，既激發(fā)了學生的學習興趣，又鼓勵了學生用運動的眼光去觀察、去想象。由靜到動的過程中“圓”呼之欲出，并深深地印在了腦海中。在練習階段，將不同的情境分層引入，進行整體設計，不但可以豐富知識的運用載體，彌補傳統(tǒng)數(shù)學學習的不足，還可以更好地促進學生創(chuàng)造性思維的發(fā)展，這對提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)有著重大的意義。

四、拓展應用——從概念理解到主題探究

“圖形與幾何”的概念教學常常因為空間上囿于教室，主觀上知識本位的影響，而僅僅停留在“識記”與“理解”的層面。根據(jù)布魯姆目標分類法，“識記”“理解”對應的學習仍屬于淺層學習，只有達到“應用”才具有深度學習的意蘊，也才有可能實現(xiàn)“分析”“評價”“創(chuàng)造”等更高層次目標。概念教學應該從封閉走向開放，從課內走向課外，追求高水平目標的達成。教師挖掘數(shù)學概念、社會生活、兒童經驗之間的融合點，通過課前的問卷調查、課中的引思提問等方式，生成一些圍繞概念本質的問題驅動式學習主題，讓學生自主選擇主題并構建課外學習共同體進行小課題研究，從而讓學生的學習走出教室，走向真實的生活世界。通過講解圓在生活中的廣泛應用，對其應用進行兒童視角的篩選，形成系列學習主題，供學生自主選擇；讓學生通過成員之間的共同探究，感受成功的喜悅。

?教學4

教師為學生提供可選主題：①校園里的窨井蓋為什么要做成圓形？②運動會時，運動場上的大圓是怎么畫出來的？③五年級的王明同學在信息課上，利用圖形化編程繪制了兩個圓(如圖4和圖5)，他是怎么畫圓的？讓學生進行探究。教師也可以引導學生進行提問，如“為什么車輪都是圓形的”“學校操場中間的大圓是怎么畫出來的”“學校圓形花池的正中間有個噴泉，那個圓心是怎么找到的”“‘無心繪圓’是什么意思？那么沒有圓心怎么畫圓”。

圖4 程序繪圓

圖5 頭像圍圓

從課內的基本概念提煉出課外學習主題，開展數(shù)學、生活與兒童“三位一體”的探究性學習，使得概念學習從“理解”走向更高層次的“應用”“分析”，甚至是“創(chuàng)造”。學習主題的凝練源于學生，與學生的經驗、能力相適應，與傳統(tǒng)的探究性學習相比，這樣的學習主題更能激發(fā)學生主動參與、勤于探究的熱情。在探究性學習過程中，教師應關注每一個學習共同體的研究進程，當學生碰到困難向教師求助時，教師應及時為其提供合適的腳手架，與共同體一起解決問題，而其余的時間教師應保持旁觀者的沉默。在成果匯報時，學生借助小論文、數(shù)學小報、PPT等形式進行班內宣講，相同主題對話交流、取長補短，不同主題仔細傾聽、質疑問難。這種基于兒童經驗、來源于數(shù)學、根植于生活問題的探究性學習，既可以實現(xiàn)對數(shù)學知識的深度理解，還可以實現(xiàn)知識的實踐應用，提升學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力。