局部完全環(huán)的同調刻畫

林詩雨， 王芳貴， 陳 丹

（四川師范大學 數學科學學院，四川 成都610066）

本文恒設R是有單位元的交換環(huán).pdRM和fdRM分別表示M的投射維數和平坦維數，gl.dim（R）和w.gl.dim（R）分別表示環(huán)R的整體維數和弱整體維數，F(xiàn)PD（R）表示環(huán)R的finitistic投射維數.

設M是R-模.稱M是Max模，是指M的每個非零子模都有一個極大子模.稱環(huán)R是Max環(huán)，是指所有非零R-模都是Max模.文獻［1］對半素環(huán)進行同調刻畫時，證明左完全環(huán)是左Max環(huán).文獻［2-5］進一步證明環(huán)R是Max環(huán)當且僅當它是一個局部完全環(huán)，當且僅當對任何p∈Max（R）有Rp是Max環(huán).文獻［6-7］從范疇的角度對Max環(huán)進行了等價刻畫.文獻［8］證明了R是一個局部完全環(huán)，當且僅當對任意R-模C有（F，C）＝0，其中F是一個循環(huán)平坦模.文獻［9］用“投射下降法”對局部完全環(huán)進行了刻畫.文獻［10］用幾乎投射模對局部完全環(huán)進行了刻畫.M是一個幾乎投射模.是指對任意的Rm-模N有（M，N）＝0，其中m∈Max（R）.環(huán)R是局部完全環(huán)當且僅當平坦模是幾乎投射模.這時有FPD（Rm）＝0，其中m∈Max（R）.

文獻［10］定義了模M的幾乎投射維數和環(huán)R的幾乎整體維數，分別用ApdRM和a.gl.dim（R）表示.若a.gl.dim（R）＝0，則R是von Neumann正則環(huán).若a.gl.dim（R）＝1，則R是almost Dedekind整環(huán).對R-模M，有

對環(huán)R，有

本文在文獻［10］的研究基礎上，對幾乎投射模及幾乎投射維數做了進一步的刻畫.建立了商環(huán)上的幾乎投射維數和滿射情況下幾乎整體維數的換環(huán)定理.在定義了環(huán)R的幾乎finitistic投射維數AFPD（R）的基礎上，證明

AFPD（R）≤Sup｛FPD（Rm）｜m∈Max（R）｝.指出了若環(huán)R是局部完全環(huán)，則AFPD（R）＝0.最后，證明了整環(huán)R是局部幾乎完全整環(huán)當且僅當對R的任何極大理想m，有Rm是幾乎完全整環(huán).

1 幾乎投射模與幾乎投射維數

以下總用A P表示幾乎投射模類.

命題1.1對模P，以下各條等價：

1）P是幾乎投射模；

2）設0→A→B→P→0是正合列，m∈Max（R），則對任意的Rm-模N，有正合列

3）設A是B的子模，m∈Max（R）.對任意的Rm-模N，若B／A?P，則任何同態(tài) ψ：A→N都可以擴張到B；

4）設m∈Max（R），N是Rm-模，則任意正合列0→N→B→P→0都是分裂的.

證明1）?2） 由正合列

即證.

2）?3） 設0→A→B→B／A→0是正合列.已知B／A?P，由2）可以得到

即任何同態(tài)ψ：A→N都可以擴張到B.

3）?4） 設0→N→B→P→0是正合列，且B／N?P.由3）知 ψ：N→N可以擴張到B，所以正合列0→N→B→P→0是分裂的.

4）?1） 由題設，N到P的擴張是分裂的.再由文獻［11］的定理7.20，有（P，N）＝0，故P是幾乎投射模.

命題1.2設I是R的一個理想，＝R／I.若P是幾乎投射R-模，則P／IP是幾乎投射-模.

證明設P是一個幾乎投射R-模.I是R的一個理想，＝R／I.若N是R／I的極大理想，則存在R的一個極大理想M，使得I?M，且N＝M／I.由易知

由同構（P／IP）N?（P／IP）M?P M／IPM和文獻［10］的定理2.3，有P M是自由的RM-模，故P M／IPM是自由N-模，即P／IP是幾乎投射-模.

命題1.3設S是R的乘法封閉集.若P是幾乎投射R-模，則P S是幾乎投射RS-模.

證明設M是RS的極大理想，則存在R的素理想m，使得M＝m S.由條件，Pm是自由Rm-模.設T是形如的元素的集合，其中s∈S，t∈R，t?m.則T是RS的乘法集，且有（P S）M＝（P m）T.故（PS）M是自由（RS）M模.因此，MS是幾乎投射RS-模.

定義1.4設M是R-模.若M有如下形式的幾乎投射分解

則稱M有有限的幾乎投射維數，其中M最短的幾乎投射分解的長度稱為M的幾乎投射維數，用ApdRM表示.若M沒有有限長度的幾乎投射分解，則記ApdRM＝∞.

例1.5設P是幾乎投射模，則0→P→P→0是P的幾乎投射分解，從而ApdR P＝0.反之，若ApdRP＝0，則P是幾乎投射模.

命題1.6設n≥0.對模M，以下各條等價：

1）ApdRM≤n；

2）設m∈Max（R），對任意Rm-模N，與任何k≥1，有（M，N）＝0；

3）設m∈Max（R），對任意Rm-模N，有

4）若0→Pn→Pn－1→Pn－2→…→P1→P0→M→0是正合列，其中P0，P1…Pn－1是幾乎投射模，則Pn也是幾乎投射模.

證明1）?2） 由于ApdRM≤n，故M有幾乎投射分解

由文獻［12］的定理3.3.2，有

又由文獻［10］的命題2.4，可以得到

3）?4） 由文獻［12］的定理3.3.2，有

又由題設有m∈Max（R），N是Rm-模，由此可得Pn是一個幾乎投射模.

4）?1） 設…→Pn→Pn－1→Pn－2→…→P1→P0→M→0是M的任意幾乎投射分解.令An－1＝Ker（Pn－1→Pn－2），則0→An－1→Pn－1→P n－2→…→P1→P0→M→0是正合列.由假設，An－1是幾乎投射模，故ApdRM≤n.

推論1.7設ApdRM＝n≥0，m∈Max（R），則存在自由Rm-模F，使得（M，F(xiàn)）≠0.

證明設m∈Max（R）.根據命題1.6，對任意的Rm-模X，有（M，X）＝0，且有Rm-模N，使得（M，N）≠0.取自由Rm-模F及正合列0→A→F→N→0，則有

推論1.8設0→A→P→M→0是正合列，P是幾乎投射R模.若ApdRM＝n＞0，則ApdRA＝n－1.

證明設0→P n→P n－1→P n－2→…→P1→A→0是正合列，其中Pn－1，…，P1是幾乎投射模.因此，有正合列

由命題1.6，Pn是幾乎投射模，故ApdRA≤n－1.若n＝1，則A是一個幾乎投射模，則有ApdRA＝0＝n－1.現(xiàn)設n＞1，由于ApdRM＝n，故存在Rm-模N，使得（M，N）≠0，其中m∈Max（R）.由正合列（A，N）→（M，N）→（P，N）＝0知（A，N）≠0，故ApdRA≥n－1，由此得到

定理1.9設0→A→B→C→0是正合列.

1）ApdRC≤1＋Max｛ApdRA，ApdRB｝；

2）若ApdRA≤ApdRC，則

證明1）不妨設上式右端是有限值.設ApdRA≤n，ApdRB≤n，m∈Max（R）.對任何Rm-模N，有正合列

2）設ApdRB＝n，m∈Max（R）.當k＞n時，對任何Rm-模N，有正合列

設ApdRA＝s，ApdRC＝m，m∈Max（R）.對任何Rm-模N，有（A，N）?（C，N）＝0，從而有m≤s＋1.另一方面，由于

故s≤m－1.因此，可以得到m＝s＋1.

定理1.10設A是R-模，則

證明設m∈Max（R），記＝A.對任何Rm-模N，由于

因此，結論成立.

定理1.111）A P關于直和與直和加項是封閉的.

2）A P關于滿同態(tài)的核是封閉的.

證明1）設｛P i｝是一簇R-模，m∈Max（R），M是Rm-模.由自然同構

2）設0→A→B→C→0是正合列，其中C是幾乎投射模.設m∈Max（R），M是Rm-模.由命題1.6，對任何k＞0，有正合列

因此，有A是幾乎投射模當且僅當B是幾乎投射模.故A P關于滿同態(tài)的核是封閉的.

定義1.12對環(huán)R，令

稱之為R的幾乎整體維數.

推論1.13設R是環(huán)，則a.gl.dim（R）＝Sup｛ApdR（R／I）｜I是R的一個理想｝.

證明對任意模M，由命題1.6，有ApdRM≤n當且僅當對任意的Rm-模N，（M，N）＝0成立，其中m∈Max（R）.這時idRN≤n.由文獻［12］的定理3.5.15有（R／I，N）＝0，其中I是R的理想，故有ApdR（R／I）≤n.

定理1.14設R是環(huán)，則

證明由文獻［10］的定理2.5，有fdR M≤ApdRM≤pdRM，即證.

定理1.15設R是完全環(huán)，則w.gl.dim（R）＝a.gl.dim（R）＝gl.dim（R）.

證明在完全環(huán)上，對任何的R-模M，有fdRM＝pdRM.根據定理1.14，此時結論顯然成立.

定理1.16設R是完全環(huán).若a.gl.dim（R）＝0，則R是一個半單環(huán).

證明由定理1.15，有

由題設a.gl.dim（R）＝0，有gl.dim（R）＝0，故R是半單環(huán).

命題1.17對環(huán)R，以下各條等價：

1）a.gl.dim（R）＝0；

2）R是von Neumann正則環(huán)；

3）每個模都是幾乎投射模；

4）?m∈Max（R），Rm是域.

證明1）?2） a.gl.dim（R）＝0時，由定理1.14有w.gl.dim（R）＝0，故R是von Neumann正則環(huán).

1）?3） 顯然.

2）?4） 由文獻［12］的定理3.6.16易知.

4）?3） 由題設，對任意R-模M，有Mm是自由Rm-模.根據文獻［10］的定理2.3，可以得到M是幾乎投射模.

命題1.18對整環(huán)R，以下各條等價：

1）a.gl.dim（R）≤1；

2）幾乎投射模的子模是幾乎投射模；

3）R的每個理想是幾乎投射模；

4）?m∈Max（R），Rm是一個離散賦值環(huán)；

5）?p∈Max（R），Rp是一個離散賦值環(huán).

證明1）?2） 設M是一個幾乎投射模，L是M的子模.由正合列0→L→M→M／L→0，對任意的Rm-模N，其中m∈Max（R），有

2）?3） 顯然.

3）?1） 設I是R的理想，由題設有ApdRR／I≤1.又由推論1.13，a.gl.dim（R）≤1.

1）?4） 若a.gl.dim（R）≤1，根據定理1.14，有w.gl.dim（R）≤1.由文獻［12］的定理3.7.21，可知Rm是賦值環(huán)，其中m∈Max（R）.又由文獻［10］的定理3.6，有a.gl.dim（R）＝Sup｛gl.dim（Rm｜m∈Max（R）｝，有gl.dim（Rm）≤1，故Rm為Dedekind整環(huán).由文獻［12］的定理3.7.20，易知Rm是一個局部整環(huán).又由文獻［12］的定理5.2.14，有Rm是離散賦值環(huán).

4）?1） 由題設有gl.dim（Rm）≤1，由文獻［10］的定理3.6，有

易知a.gl.dim（R）≤1.

4）?5） 顯然.

定理1.19設R是整環(huán).若a.gl.dim（R）≤1，則R是一個凝聚環(huán).

證明a.gl.dim（R）≤1時，由定理1.14有w.gl.dim（R）≤1，故R是一個Prüfer整環(huán)，即證R是一個凝聚環(huán).

2 換環(huán)定理

引理2.1設φ：R→T是滿同態(tài)，對任何T-模M，有

證明設 φ：R→T是滿射，I＝Ker（φ）.不難得到T?R／I.設ApdTM＝ApdR／IM＝n＜∞.

由文獻［10］的定理3.3，有

現(xiàn)證明

對?m∈Max（R）成立即可.

當n＝0時，若I?m，設

易知Mm?M.同理，（R／I）m?（R／I）.根據文獻［10］的定理 2.3，對?m∈Max（R／I），Mm是一個自由的（R／I）m-模，由此可得Mm?⊕（R／I）m.故Mm和（R／I）m作為Rm-模有Mm?⊕（R／I）m.由定理1.10，有

若Im，由（R／I）m＝0，有pdRm（R／I）m＝0.對

即證.

當n≥1時，取T-模正合列0→A→F→M→0，其中F是自由T-模.于是ApdTA＝n－1，故可歸納設ApdRA≤n－1＋ApdRT，又ApdRF＝ApdRT.因此，由定理1.9，有

綜上所述，

定理2.2設S是R的乘法集，L是RS-模，則

證明為證明ApdRSL≤ApdRL，不妨設ApdRL＝n＜∞，則有R-的幾乎投射分解

由命題1.3，每一個（Pi）S都是幾乎投射RS-模，從而

是L的RS-幾乎投射分解，故有ApdRSL≤n.

定理2.3設A是R-模，x∈R不是零因子，＝R／xR，則

證明若ApdRA＝∞，則無需證明.不妨設

若A是幾乎投射R-模，由命題1.2有A／xA是幾乎投射-模，于是ApdRA＝Apd（A／xA）＝0，此時結論顯然成立.

若n≥1，設0→K→F→A→0是正合列，其中F是自由模.由定理1.8，有ApdRK＝n－1，故可歸納設Apd（K／xK）≤n－1.由題設，有正合列

因為x是非零因子，故（A，R／xR）＝0.由定理1.9，可知

定理2.4設M是R-模，x∈R既不是零因子也不是單位，＝R／xR，Mx＝｛z∈M：xz＝0｝.

2）若ApdR M≤ ＋ ∞，則Apd（M／xM）和ApdMx同時有限.

證明不妨設ApdRM＝n＜∞.若ApdRM＝0，由命題1.2有ApdRM＝Apd（M／xM）＝0，易知此時還有Mx＝0，結論顯然成立.

考察正合列0→A→P→M→0，其中P是幾乎投射模，A是P的一個子模.由定理2.3有

由題設，有正合列0→Mx→A／xA→P／xP→M／xM→0.令H＝Im（A／xA→P／xP），則有以下的正合列

由（*），對任意的j≥0和任意的模B來說，有正合列

有

由（**）和定理1.9，有

于是

即證1）.

定理2.5設a∈R既不是零因子也不是單位，＝R／aR.

1）設A是非零的-模，若ApdA＜ ∞，則

證明1）令ApdA＝n，由于a既不是零因子也不是單位，故＝1.由引理2.1，有ApdRA≤ApdA＋1＝n＋1.若n＝0，則ApdRA≤1.由于a不是零因子，故A不是幾乎投射模.現(xiàn)設n＞0.由文獻［14］的定理2.1和推論1.7，存在自由Rm-模F，使得

因此，有ApdRA≥n＋1，故ApdRA＝ApdA＋1.

3 局部完全環(huán)

定義3.1設R是環(huán).令

稱為R的幾乎finitistic投射維數.

命題3.2設R是環(huán).

1）AFPD（R）≤a.gl.dim（R）；

2）若a.gl.dim（R）＜∞，則

證明由定義1.12和定義3.1易證.

推論3.3設R是環(huán)，則AFPD（R）≤FPD（R）.

證明由文獻［10］的定理2.5，對任意R-模M，有ApdRM≤pdRM.于是

故AFPD（R）≤FPD（R）.

引理3.4設m∈Max（R），M和N是模，則（M，N）?（M，N）.

證明對任意的R-模P和Rm-模N，由文獻［13］的命題1.9，有

設0→A→F→M→0是正合列，其中F是自由R-模.考慮以下正合列構成的交換圖.

易知 θ1和 θ2是同構，于是

因為M是Rm-模，所以Mm＝M，故（M，N）?（M，N）.由維數提升可得

命題3.5設R是環(huán)，則

證明設Sup｛FPD（Rm）｜m∈Max（R）｝≤n，其中m∈Max（R）.對任意的Rm-模N有pdRm N≤n.由引理3.4，可知ApdRN≤n.由此可得

定理3.6設R是局部完全環(huán)，則AFPD（R）＝0.

證明設m∈Max（R），于是Rm是完全環(huán).由文獻［2］的定理3.10.25，有FPD（Rm）＝0.又由命題3.5，有

命題3.7設I是R的一個理想，＝R／I.若R是局部完全環(huán)，則R／I是局部完全環(huán).

證明M是R／I的極大理想，則存在R的極大理想m，使得I?m，M＝m／I.由條件有Rm是完全環(huán)，根據同構（R／I）M?（R／I）m?Rm／Im和文獻［12］的定理3.10.23，有（R／I）M是完全環(huán)，故R／I是局部完全環(huán).

設R是整環(huán).若R的任何非平凡商環(huán)都是完全環(huán)，則R稱之為幾乎完全整環(huán).文獻［15-16］對幾乎完全整環(huán)進行了系統(tǒng)刻畫.文獻［12］證明了整環(huán)R是幾乎完全整環(huán)當且僅當R有有限特征（即任何非零元素u只包含在有限個極大理想中，且對R的任何極大理想m，Rm是幾乎完全整環(huán).）

定義3.8整環(huán)R被稱為局部幾乎完全整環(huán)，是指對R的任何非平凡商環(huán)是局部完全環(huán).

定義3.9設R是局部幾乎完全整環(huán).對任何非零元素u∈R，有AFPD（R／（u））＝0.

證明設R是局部幾乎完全整環(huán)，由定義3.8可知結論顯然成立.

定義3.10設AFPD（R）≤1，則對任何非零元素u∈R，AFPD（R／（u））＝0.

證明設A是任何非零＝R／（u）-模，ApdA＜ ∞.由定理2.5，ApdRA＝ApdA＋1≤1，故ApdA＝0.于是AFPD（）＝0.

定義3.11環(huán)R是局部幾乎完全整環(huán)當且僅當對R的任何極大理想m，有Rm是幾乎完全整環(huán).

證明設R是局部幾乎完全整環(huán)，I是R的非零理想，M是R／I的極大理想，則存在R的極大理想m，使得I?m，M＝m／I.由（R／I）M?（R／I）m?Rm／Im，可知Rm／Im是一個完全環(huán)，故Rm是幾乎完全整環(huán).

設Rm是幾乎完全整環(huán)，I是R的非零理想.M是R／I的極大理想，則存在R的極大理想m，使得I?m，M＝m／I.由（R／I）M?（R／I）m?Rm／Im，可知（R／I）M是一個完全環(huán)，故有R／I是局部完全環(huán)，即證R是局部幾乎完全整環(huán).