廣義一維勢(shì)熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)微循環(huán)的性能分析

鄂青，吳鋒，雷霆

(1.武漢工程大學(xué)光電信息與能源工程學(xué)院，湖北武漢，430205；2.武漢工程大學(xué)熱科學(xué)與動(dòng)力工程研究所，湖北武漢，430205)

有限時(shí)間熱力學(xué)(finite time thermodynamics，F(xiàn)TT)[1?5]作為經(jīng)典熱力學(xué)的延伸，主要研究非平衡系統(tǒng)中能量流和熵流的規(guī)律。在低溫系統(tǒng)和微納米能量轉(zhuǎn)換裝置的進(jìn)一步研究和工程實(shí)踐中[6?7]，系統(tǒng)的量子特性變得越來(lái)越重要。在有限時(shí)間熱力學(xué)與量子熱力學(xué)的基礎(chǔ)上，人們建立并分析了不同種類的量子能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，這代表了熱力學(xué)的一個(gè)重要的發(fā)展方向。

人們?cè)谘芯苛孔涌ㄖZ[8]、奧托[9]、斯特林[10?11]、迪塞爾[12]和熱聲[13]循環(huán)時(shí)，將其工質(zhì)視為一系列粒子的集合。這些粒子有的是囚禁于一個(gè)一維無(wú)限深勢(shì)阱的，也可以是被囚禁于諧振勢(shì)或者四次勢(shì)的，甚至可以是箱勢(shì)中的極端相對(duì)論粒子[8?17]。王建輝等[18?19]驗(yàn)證了循環(huán)性能計(jì)算中粒子的能量譜簡(jiǎn)化式，并據(jù)此得出了廣義量子奧托循環(huán)的效率及做功量的表達(dá)式。本文作者進(jìn)一步對(duì)由2個(gè)等壓過(guò)程和2 個(gè)等熵過(guò)程組成的熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)微循環(huán)展開(kāi)分析。

1 廣義量子熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)微循環(huán)模型的建立

1.1 系統(tǒng)的量子力學(xué)基礎(chǔ)

普朗克的量子理論給出了粒子的能量表達(dá)式為εn=n?ω?？蓪⑻幱?個(gè)廣義一維勢(shì)場(chǎng)內(nèi)的粒子所具有的能量譜公式簡(jiǎn)化[18]為

式中：εn為粒子的能量；? 為約化普朗克數(shù)；ω=λL-θ，是為了滿足量子化的能量表達(dá)形式而構(gòu)建出的頻率；L為勢(shì)阱寬度；λ為特定勢(shì)場(chǎng)所固有的常數(shù)；θ和σ為由勢(shì)阱種類決定的指數(shù)；n為量子數(shù)。λ，θ和σ在不同勢(shì)阱條件下的取值見(jiàn)表1。表1中，c和m分別為粒子的速度與質(zhì)量；L1為系統(tǒng)處于所示循環(huán)的宏觀狀態(tài)1時(shí)粒子所處勢(shì)阱的寬度；ε1g為系統(tǒng)處于宏觀狀態(tài)1 時(shí)其中處于基態(tài)(n=1)的粒子能量。這里選用了4 種特殊勢(shì)：一維無(wú)限深勢(shì)阱、諧振勢(shì)阱、包含相對(duì)論粒子的一維勢(shì)阱以及四次勢(shì)阱，它們代表了廣義一維勢(shì)的典型情況。系統(tǒng)在宏觀狀態(tài)i的內(nèi)能εi計(jì)算式為

表1 不同勢(shì)阱的參數(shù)比較Table 1 Comparisons of different potential parameters

式中：εin為處于狀態(tài)i時(shí)n級(jí)本征態(tài)的粒子的能量；pin為狀態(tài)i時(shí)處于n級(jí)本征態(tài)的粒子的概率。pin應(yīng)滿足如下歸一化條件：

在經(jīng)典熱聲熱力過(guò)程中，外界通過(guò)振動(dòng)膜片的運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)做功。與振動(dòng)膜片的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)類似，可以假設(shè)廣義一維勢(shì)阱的壁面在有限的速度下運(yùn)動(dòng)，這樣，當(dāng)系統(tǒng)消耗外界功量或?qū)ν饨巛敵龉α繒r(shí)，其施加于勢(shì)阱壁面的合力Fi就可以寫為

式中：Fin為處于狀態(tài)i時(shí)n級(jí)本征態(tài)的粒子施加于勢(shì)阱壁面的力；Li為處于狀態(tài)i時(shí)的勢(shì)阱寬度。

將式(1)代入式(4)可得

1.2 理想廣義量子熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)微循環(huán)

圖1所示為在理想情況下，熱聲回?zé)崞鏖g氣體微團(tuán)與固體工質(zhì)的熱作用微循環(huán)過(guò)程。其中，熱聲板疊兩端存在明顯的溫度梯度，板間距小于或等于氣體工質(zhì)熱滲透深度的2倍[20]。設(shè)Tx為氣團(tuán)在平衡位置處的平均溫度(下標(biāo)x表示微團(tuán)的當(dāng)?shù)刈鴺?biāo))，Tm為溫度幅值，p0為系統(tǒng)靜壓，pm為壓力波動(dòng)幅值，ξm為振蕩的位移幅值，dTx/dx為熱聲回?zé)崞鞴腆w壁的縱向溫度梯度，T′i為氣團(tuán)處于狀態(tài)i(i=1，3)時(shí)的溫度與平均溫度偏差的絕對(duì)值。當(dāng)氣體微團(tuán)處于最右端狀態(tài)1 時(shí)，氣團(tuán)的溫度Tx+T′1低于與之相接觸的器壁溫度為Tx+ξm(dTx/dx)，因而有熱量Q1從固體壁面流向氣團(tuán)使其溫度升高，變?yōu)門x+Tm，并因膨脹而對(duì)鄰近氣團(tuán)做功。這一過(guò)程可近似為定壓吸熱過(guò)程，即圖1中的過(guò)程1—2。當(dāng)氣團(tuán)由于振蕩和熱弛豫快速?gòu)挠叶讼蜃蠖诉\(yùn)動(dòng)時(shí)，此氣團(tuán)無(wú)法與器壁進(jìn)行熱交換，因而可近似認(rèn)為該過(guò)程是絕熱的。當(dāng)氣團(tuán)到達(dá)左端時(shí)，溫度變?yōu)門x-T′3，壓力從右端的p0+pm變?yōu)閜0?pm，與氣團(tuán)相接觸的當(dāng)?shù)乇跍貫門x-ξm(dTx/dx)，氣團(tuán)由于膨脹而對(duì)鄰近氣團(tuán)做功，這就是圖1中的過(guò)程2—3。當(dāng)氣團(tuán)到達(dá)左端時(shí)，由于氣團(tuán)溫度比當(dāng)?shù)乇跍馗?，因而有熱量Q2流出氣團(tuán)，使其溫度降低為Tx?Tm，并因被壓縮而消耗鄰近氣團(tuán)的功。這一過(guò)程可近似為定壓放熱過(guò)程，即圖1中的過(guò)程3—4。圖1(b)中的過(guò)程4—1 為近似的絕熱壓縮過(guò)程，當(dāng)氣團(tuán)因振蕩而從左端向右端快速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于熱弛豫，它無(wú)法與器壁交換熱量。當(dāng)?shù)竭_(dá)右端時(shí)，氣團(tuán)的溫度變?yōu)門x+T′1，壓力變?yōu)閜0+pm，此時(shí)，氣團(tuán)的狀態(tài)回復(fù)到初始狀態(tài)，完成了1個(gè)熱力學(xué)循環(huán)。根據(jù)循環(huán)命名傳統(tǒng)，可將熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)微循環(huán)簡(jiǎn)稱為熱聲微循環(huán)。由熱力學(xué)第一定律可知，在循環(huán)的每個(gè)過(guò)程中，氣體微團(tuán)作為閉口系統(tǒng)應(yīng)滿足能量守恒方程Q=Δε+W(其中，Q和W分別為在任意過(guò)程中熱力系與外界交換的熱量與功，ε為系統(tǒng)內(nèi)能)。當(dāng)系統(tǒng)自外界吸熱時(shí)，Q>0；當(dāng)向外界放熱時(shí)，Q<0；當(dāng)系統(tǒng)消耗外功時(shí)，W<0；對(duì)外界做功時(shí)，W>0。

圖1 理想熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)微循環(huán)示意圖Fig.1 Schematic diagrams of ideal thermoacoustic engine micro-cycle

本文從量子力學(xué)的角度分析，可將上述氣體微團(tuán)視為1種被限制在廣義一維勢(shì)阱中的粒子。為了簡(jiǎn)單，在分析量子熱聲微循環(huán)的過(guò)程中，只考慮由出現(xiàn)概率較高的2個(gè)特征態(tài)粒子構(gòu)成的二能級(jí)系統(tǒng)。1臺(tái)真正的發(fā)動(dòng)機(jī)中的工作介質(zhì)是由無(wú)數(shù)這樣的粒子組成的。從粒子的量子行為角度分析，每個(gè)微循環(huán)都可歸納為由2個(gè)量子絕熱過(guò)程和2個(gè)量子等壓過(guò)程環(huán)繞而成，由此得到本文的主要研究對(duì)象即理想廣義量子熱聲微循環(huán)(Ideal generalized quantum thermoacoustic micro-cycle,IGQTAC)，如圖2所示。

圖2 理想廣義量子熱聲微循環(huán)示意圖Fig.2 Schematic diagram of ideal generalized quantum thermoacoustic micro-cycle

在過(guò)程1—2中，系統(tǒng)與1個(gè)功源及1個(gè)高溫?zé)嵩?溫度為TH)相偶聯(lián)。隨勢(shì)阱壁外推，系統(tǒng)在相同作用力下膨脹，此時(shí)，它會(huì)從高溫?zé)嵩次沾罅繜崃?，同時(shí)向功源輸出體積功。通常勢(shì)阱壁的運(yùn)動(dòng)耗時(shí)比高溫?zé)嵩吹牧孔映谠r(shí)間(約?/E)長(zhǎng)得多，即系統(tǒng)能夠保持與高溫?zé)嵩吹某浞譄峤佑|，以確保其始終處于熱平衡狀態(tài)。在系統(tǒng)中，處于激發(fā)態(tài)(n=2)的粒子的占有概率pie與處于基態(tài)(n=1)的粒子的占有概率pig=1?pie之間應(yīng)滿足玻爾茲曼分布規(guī)律：

式中：k為玻爾茲曼常數(shù)；Ti為系統(tǒng)平衡溫度。

由式(6)可求得系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)的概率為

由式(7)可得

聯(lián)立式(1)，(3)和(5)可得出在此過(guò)程中系統(tǒng)做功W12的計(jì)算式為

由于系統(tǒng)始終處于熱平衡狀態(tài)，所以，氣團(tuán)從高溫?zé)嵩吹奈盏臒崃縌12為

式中：εi(i=1，2)為圖2所示狀態(tài)1 和狀態(tài)2 的系統(tǒng)內(nèi)能。由式(1)～(3)可得

將式(9)和式(11)代入式(10)可得

在過(guò)程2—3 中，系統(tǒng)與外界沒(méi)有熱交換，系統(tǒng)對(duì)外界做的功將全部來(lái)自系統(tǒng)自身內(nèi)能。在量子絕熱過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)部粒子不會(huì)發(fā)生能級(jí)躍遷，即各能級(jí)粒子的占有概率維持不變，即p2e=p3e。由式(1)～(3)和式(5)可得交換的功W23為

在過(guò)程3—4 中，系統(tǒng)在等作用力狀態(tài)下向低溫?zé)嵩?溫度為TL)釋放熱量。同時(shí)，氣團(tuán)自身體積隨勢(shì)阱壁的內(nèi)移被壓縮，從而消耗外界功。采用類似過(guò)程1—2 的分析方法可得此過(guò)程中交換的功W34和熱量Q34分別為：

在過(guò)程4—1 中，由系統(tǒng)絕熱壓縮有p4e=p1e，故消耗的功W41為

根據(jù)熱力學(xué)第一定律，在理想廣義量子熱聲微循環(huán)過(guò)程中，系統(tǒng)從高溫?zé)嵩次盏臒崃縌H為

系統(tǒng)輸出凈功Wnet為

1.3 循環(huán)周期

為了計(jì)算完整的循環(huán)周期，可假設(shè)勢(shì)阱寬度變化的平均速度為vˉ，這里，勢(shì)阱寬度的平均變化速度很慢，因此其變化時(shí)間遠(yuǎn)大于系統(tǒng)及熱源的弛豫時(shí)間(約為?/E)，從而使系統(tǒng)能夠始終處于熱平衡狀態(tài)下。則系統(tǒng)經(jīng)歷循環(huán)過(guò)程1—2—3—4—1所需的時(shí)間，即循環(huán)周期τ[21]為

1.4 循環(huán)性能參數(shù)

由式(1)～(3)可得1個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)的內(nèi)能ε為

由式(5)可知：1個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)施加在勢(shì)阱壁上的力F可寫為

由F1=F2和F3=F4，可得

由式(7)可知當(dāng)系統(tǒng)處在宏觀狀態(tài)2 和狀態(tài)4時(shí)，其內(nèi)部激發(fā)態(tài)粒子的占有概率分別為：

式中：y′=L2/L4>1，為勢(shì)阱寬度比；T2和T4分別為狀態(tài)點(diǎn)2和狀態(tài)點(diǎn)4的系統(tǒng)溫度。

在理想情況下，可取狀態(tài)點(diǎn)4和狀態(tài)點(diǎn)2的溫度分別為冷、熱端溫度(圖2)，即

顯然，對(duì)于特定勢(shì)場(chǎng)，p4e=p1e，它們是由L4，Tx，Tm及λ決定的。對(duì)于p4e，σ以及θ已給定的情況，p2e=p3e僅由y′決定，因此，y′是1個(gè)重要的控制參數(shù)。

將式(22)和式(23)代入式(17)和式(18)可將循環(huán)從高溫?zé)嵩传@得的熱量及做功計(jì)算式改寫為：

即可得出廣義量子熱聲微循環(huán)的效率η為

將式(22)和式(23)代入式(19)得

循環(huán)的輸出功率為

對(duì)于任意特定的勢(shì)場(chǎng)，σ和θ都是常數(shù)。當(dāng)冷熱端溫度T4和T2已知時(shí)，由式(25)可知，式(26)和式(28)所描述的效率與量綱一功率都僅僅是p4e和勢(shì)阱寬度比y′的函數(shù)。

2 廣義量子熱聲微循環(huán)性能分析

式(26)和式(28)指出了廣義量子熱聲微循環(huán)的性能與系統(tǒng)參數(shù)間的關(guān)系，在給定了一部分參數(shù)的情況下，可用圖線的形式對(duì)其性能與重要參數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行研究。

對(duì)于工作介質(zhì)氣體微團(tuán)被束縛于各種一維勢(shì)阱(如一維無(wú)限深勢(shì)阱、包含相對(duì)論粒子的一維勢(shì)阱、諧振勢(shì)阱、四次勢(shì)阱等)中的量子熱聲微循環(huán)，可統(tǒng)稱為一維量子熱聲微循環(huán)(1D quantum thermoacoustic cycle,1DQTAC)，即一維量子熱聲微循環(huán)包括工作于一維無(wú)限深勢(shì)阱的量子熱聲微循環(huán)(1D infinite potential quantum thermoacoustic cycle,1DIQTAC)、相對(duì)論粒子系統(tǒng)量子熱聲微循環(huán) (relativistic particles quantum thermoacoustic cycle,RQTAC)、諧振系統(tǒng)量子熱聲微循環(huán)(harmonic potential quantum thermoacoustic cycle,HQTAC)和四次勢(shì)系統(tǒng)量子熱聲微循環(huán)(quartic potential quantum thermoacoustic cycle,QQTAC)。

由表1可見(jiàn)：一維無(wú)限深勢(shì)阱系統(tǒng)與諧振系統(tǒng)具有相同的θ和σ，但λ與基態(tài)能量本征值ε1g是有差別的，因此，當(dāng)L4和T4給定時(shí)，這2種系統(tǒng)唯一的區(qū)別在于具有不同的p4e。又由式(7)可推得ln(1/p1D4e- 1)/ln(1/phar4e- 1)=π2/2，其中p1D4e(phar4e)為圖2中宏觀狀態(tài)4 時(shí)一維無(wú)限深勢(shì)阱系統(tǒng)(諧振系統(tǒng))中激發(fā)態(tài)粒子的占有概率。換言之，當(dāng)一維無(wú)限深勢(shì)阱系統(tǒng)和諧振系統(tǒng)的p4e相同時(shí)，由式(26)和式(28)可知，這2類量子熱聲微循環(huán)的性能也相同。因此，下面的分析中合并考慮這2種情況。為了便于比較，在對(duì)各種不同勢(shì)場(chǎng)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，采用以下條件：Tx=600 K，Tm/Tx=0.1。

由式(26)可繪出圖3所示的粒子在特定量子力學(xué)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的熱聲微循環(huán)效率η與p4e及y′之間的關(guān)系曲面。由圖3可見(jiàn)：當(dāng)p4e給定時(shí)，η會(huì)隨y′的增大呈單調(diào)遞增的變化；而當(dāng)y′取值較大時(shí)，3種不同系統(tǒng)的η都會(huì)隨p4e的取值變化而出現(xiàn)較明顯的變化；但當(dāng)y′不斷減小時(shí)，p4e對(duì)η的影響會(huì)變得非常微弱。y′在任意取值下，由?η/?p4e=0可求出ηmax和ηmin，此時(shí)對(duì)應(yīng)的p4e分別為p4emaxη和p4eminη。由圖3可見(jiàn)：在相同參數(shù)條件下，相對(duì)論粒子系統(tǒng)中的ηmax和ηmin明顯比諧振系統(tǒng)的低；而諧振系統(tǒng)中的ηmax和ηmin比四次勢(shì)系統(tǒng)的略高，即粒子處于諧振勢(shì)中時(shí)，熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)效率較高。

圖3 η與p4e及y′的關(guān)系Fig.3 Relationship among η,p4e and y′

由式(28)可繪出圖4所示的氣體微團(tuán)在特定勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的P*與p4e及y′之間的關(guān)系曲面。由圖4可見(jiàn)：當(dāng)p4e一定時(shí)，P*與y′呈類拋物線關(guān)系；而當(dāng)y′一定時(shí)，P*與p4e亦呈類拋物線關(guān)系；并且P*?y′曲線及P*?p4e曲線對(duì)于3 種勢(shì)場(chǎng)條件都具有相似的形狀；此外，存在最大值P*max以及相應(yīng)的參數(shù)值p4emaxP*和y′maxP*(可根據(jù)2 個(gè)極值條件方程?P*/?y′=0，?P*/?p4e=0 聯(lián)立得出)。在相同參數(shù)下，諧振系統(tǒng)的輸出功率遠(yuǎn)比四次勢(shì)系統(tǒng)的高；而四次勢(shì)系統(tǒng)的輸出功率又比相對(duì)論粒子系統(tǒng)的略高，即粒子處于諧振勢(shì)中時(shí)熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率較高。此外，由于熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)的目的是對(duì)外輸出有效功量，因此，若要保證P*≥0，則p4e的取值應(yīng)滿足0.5≤p4e≤1。

圖4 P*與p4e及y′的關(guān)系Fig.4 Relationship among P*,p4e and y′

圖5所示為p4e取不同數(shù)值時(shí)P*與η之間的關(guān)系。由圖5可知：在3 種情況下，同一η所對(duì)應(yīng)的P*會(huì)先隨p4e增加而增大，達(dá)到極限p4emaxP*后繼續(xù)增大p4e反而會(huì)使P*下降；在相同參數(shù)下，3種系統(tǒng)中循環(huán)的輸出功率最大值滿足P*Hmax>P*Qmax>P*Rmax，其中下標(biāo)H，R及Q分別代表諧振系統(tǒng)、相對(duì)論粒子系統(tǒng)和四次勢(shì)系統(tǒng)；且3種系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)于P*max的η雖然很接近但依然滿足ηHmaxP*>ηQmaxP*>ηRmaxP*?？梢?jiàn)，當(dāng)粒子氣體微團(tuán)在諧振勢(shì)中工作時(shí)，循環(huán)的輸出功率與循環(huán)效率均比其他2種勢(shì)場(chǎng)系統(tǒng)的高。

圖5 P*與η的關(guān)系Fig.5 Relationship between P*and η

3 結(jié)論

1)當(dāng)p4e給定時(shí)，工作于一維無(wú)限深勢(shì)阱的量子熱聲微循環(huán)與工作于諧振勢(shì)的量子熱聲微循環(huán)的性能是相同的。而當(dāng)L4和T4給定時(shí)，這2種系統(tǒng)中的p4e會(huì)因?yàn)棣瞬煌煌?/p>

2)當(dāng)p4e給定時(shí)，3種勢(shì)場(chǎng)條件下循環(huán)的η都會(huì)隨y′的增大呈單調(diào)遞增趨勢(shì)；而當(dāng)y′給定時(shí)，3 種勢(shì)場(chǎng)條件下循環(huán)的η都會(huì)隨p4e的變化而分別達(dá)到最大值ηmax和最小值ηmin。通常，ηmax出現(xiàn)在p4e>0.5 的區(qū)間中，而ηmin出現(xiàn)在p4e<0.5的區(qū)間。在相同參數(shù)下，處于3種不同勢(shì)場(chǎng)的量子熱聲微循環(huán)滿足ηH>ηQ>ηR。

3)當(dāng)p4e一定時(shí)，P*與y′呈類拋物線關(guān)系；而當(dāng)y′一定時(shí)，P*與p4e亦呈類拋物線關(guān)系；P*?y′曲線及P*?p4e曲線對(duì)于3 種勢(shì)場(chǎng)條件下的微循環(huán)都具有相似的形狀。在相同參數(shù)下，處于3種不同勢(shì)場(chǎng)的量子熱聲微循環(huán)滿足P*H>P*Q>P*R，并且P*達(dá)最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的p4e大于0.5。輸出功率P*達(dá)最大值時(shí)循環(huán)效率η也接近最大值，此時(shí)熱機(jī)性能達(dá)最好。

4)在相同參數(shù)下，當(dāng)工質(zhì)粒子工作于一維無(wú)限深勢(shì)阱或諧振勢(shì)場(chǎng)時(shí)，循環(huán)的效率和輸出功率均比其他2種勢(shì)場(chǎng)系統(tǒng)的高。