借助幾何畫(huà)板，助力解題教學(xué)

甘肅 張建文

(作者單位：甘肅省岷縣第一中學(xué))

由于信息技術(shù)的迅猛發(fā)展,教師授課方式在逐漸發(fā)生變化，以幾何畫(huà)板為主要媒介的圖形教學(xué)和解題教學(xué)的形式也隨之發(fā)生變化.本文主要研究論述了幾何畫(huà)板的主要作用和使用原則，以及在解題教學(xué)中如何借助幾何畫(huà)板輔助學(xué)生作圖分析.以案例的形式和師生互動(dòng)的方式展現(xiàn)幾何畫(huà)板以及圖形分析的特點(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)方面有很大的促進(jìn)作用.同時(shí)在極力推單元教學(xué)的浪潮下，運(yùn)用多媒體創(chuàng)新教學(xué)方式已經(jīng)成為教學(xué)研究的主要領(lǐng)域.下面筆者就以核心素養(yǎng)主題下借助幾何畫(huà)板進(jìn)行教學(xué)探究進(jìn)行簡(jiǎn)單論述.

一、幾何畫(huà)板的作用

幾何畫(huà)板作為一種技術(shù)手段，能夠多角度的輔助教學(xué)，提高教學(xué)效果,對(duì)課堂教學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.幾何畫(huà)板在教學(xué)中的重要作用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.幫助教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).課堂教學(xué)應(yīng)遵循知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,在有關(guān)圖形教學(xué)的時(shí)候,教師可以借助幾何畫(huà)板直觀展現(xiàn)圖形的幾何特征，分析點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系和動(dòng)態(tài)變化規(guī)律.幾何畫(huà)板作為課堂技術(shù)支持手段,能夠解決教師作圖慢效果差的困境,提高教師的課堂駕馭能力，助力教師教學(xué)水平的提升.

2.驗(yàn)證作圖結(jié)果，幫助學(xué)生培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).直觀想象素養(yǎng)是六大核心素養(yǎng)之一,主要通過(guò)學(xué)生描述和繪制圖形進(jìn)行培養(yǎng)的.在課堂教學(xué)中,學(xué)生可以直觀觀察標(biāo)準(zhǔn)圖形的特點(diǎn),糾正自己的思考錯(cuò)誤,通過(guò)教師的引導(dǎo)，形成科學(xué)有效的思考方法.同時(shí)在解題教學(xué)中,可以借助幾何畫(huà)板來(lái)驗(yàn)證自己作圖的正確性,糾正自己錯(cuò)誤的作圖方式，提高作圖的效率.

3.優(yōu)化教學(xué)策略.基于核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)更注重教學(xué)情境的設(shè)計(jì),幾何畫(huà)板能夠提供不同形式的教學(xué)情景,由單一轉(zhuǎn)向多樣,使得學(xué)生在思考中觀察,觀察中思考,切實(shí)優(yōu)化教學(xué)策略.教學(xué)有法,教無(wú)定法,貴在得法,教師要結(jié)合具體學(xué)情，借助幾何畫(huà)板可以設(shè)計(jì)多樣化的教學(xué)過(guò)程,主要在立體幾何、函數(shù)圖象和解析幾何等知識(shí)模塊中有較好的應(yīng)用.

二、幾何畫(huà)板的使用原則

幾何畫(huà)板在高中數(shù)學(xué)作圖教學(xué)和解題教學(xué)中具有強(qiáng)大的作用，我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的時(shí)候一定要?jiǎng)?chuàng)造性的應(yīng)用幾何畫(huà)板.注意在使用幾何畫(huà)板的過(guò)程中應(yīng)該遵循以下基本原則：

1.適應(yīng)性原則.高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)包含多個(gè)不同的模塊,在處理不同學(xué)習(xí)模塊的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，用到的教學(xué)手段也不盡相同.在涉及圖形教學(xué)或動(dòng)態(tài)演示的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，可以嘗試幾何畫(huà)板,直觀形象地展現(xiàn)知識(shí)的生成過(guò)程和變量之間的變換關(guān)系,這能極大的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.主次性原則.先進(jìn)教學(xué)技術(shù)的應(yīng)用旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,幾何畫(huà)板作為教學(xué)輔助手段,是配合教師來(lái)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要工具.一般地,學(xué)生先要經(jīng)歷獨(dú)立的思考過(guò)程，對(duì)圖形的生成過(guò)程和動(dòng)態(tài)變化在大腦中有一定的預(yù)演,但是存在一定的不解和迷惑,這時(shí)幾何畫(huà)板通過(guò)直觀展示圖形的變化過(guò)程和動(dòng)態(tài)特點(diǎn)就可以達(dá)到事半功倍的效果.這個(gè)教學(xué)先后順序若顛倒就會(huì)極大地抑制學(xué)生的思維發(fā)展,不利于教育教學(xué)效果的提高.

3.適量性原則.對(duì)于幾何畫(huà)板在教學(xué)中的應(yīng)用要遵循適量性原則,適量就是要控制幾何畫(huà)板的使用頻率.一堂課的容量應(yīng)該體現(xiàn)在學(xué)生的思維量上面,換言之就是應(yīng)用信息技術(shù)手段都是為了促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的自身特點(diǎn)思考是否使用幾何畫(huà)板、怎樣使用幾何畫(huà)板以及幾何畫(huà)板在一堂課教學(xué)中的比例問(wèn)題等.適量的圖形演示可以快速解決學(xué)生的思維困惑，提高學(xué)習(xí)的趣味性.

4.適時(shí)性原則.教學(xué)不是簡(jiǎn)單機(jī)械的知識(shí)灌輸,而是思想和思想的碰撞.古代教育思想家孔子說(shuō)“不憤不啟，不悱不發(fā)”就體現(xiàn)了教學(xué)的適時(shí)性原則.在學(xué)生經(jīng)歷了獨(dú)自思考后進(jìn)行圖形演示，在學(xué)生能夠基本厘清變量間的變化過(guò)程后展示動(dòng)態(tài)圖形,這樣在恰到好處的時(shí)間點(diǎn)應(yīng)用幾何畫(huà)板更能夠提高課堂教學(xué)效率,不至于使得教學(xué)過(guò)程過(guò)于單調(diào)，以促進(jìn)學(xué)生積極思考.

三、幾何畫(huà)板的應(yīng)用

幾何畫(huà)板作為信息技術(shù)融入教學(xué)的典型代表,在不同知識(shí)模塊當(dāng)中具有不同的表現(xiàn)，下面就分類(lèi)體現(xiàn)幾何畫(huà)板對(duì)教學(xué)的輔助作用.

1.函數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題

在解題教學(xué)中,對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題或是函數(shù)中參數(shù)求解問(wèn)題,通常需要繪制函數(shù)圖象來(lái)進(jìn)行思路分析.一般地，繪制函數(shù)圖象都是通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的分析來(lái)進(jìn)行的,但這樣繪制的函數(shù)圖象通常在圖象的走勢(shì)和特殊點(diǎn)處有誤差,此時(shí)通過(guò)幾何畫(huà)板準(zhǔn)確繪制函數(shù)圖象,用以糾正作圖誤差，輔導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性思考.

例1.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex.

(1)若關(guān)于x的方程f(x)=λx只有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；

(2)若x=0是函數(shù)g(x)=2f(x)-ax2的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

教學(xué)案例分析(師生互動(dòng)過(guò)程)：

師：直線x=0有何特點(diǎn)？如何作出函數(shù)h(x)的圖象？

生：可知直線x=0為函數(shù)h(x)的一條漸近線，而且有：

當(dāng)x→+∞時(shí)，h(x)→+∞；當(dāng)x→0+時(shí)，h(x)→-∞；

當(dāng)x→-∞時(shí)，h(x)→0；當(dāng)x→0-時(shí)，h(x)→+∞.

由此可以得到函數(shù)h(x)的草圖如圖.

師：現(xiàn)在我們利用幾何畫(huà)板作圖檢驗(yàn):

觀察比較自己的手工草圖與標(biāo)準(zhǔn)圖象之間有何差異？

生：雖然單調(diào)性一致，但是自己作圖的規(guī)范性和準(zhǔn)確性還是有一定的偏差.

師：現(xiàn)在利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示兩圖象的交點(diǎn)情況：

h(x)與y=λ圖象有兩個(gè)交點(diǎn)

h(x)與y=λ圖象只有一個(gè)交點(diǎn)

生：由此可知λ的取值范圍是(-∞,0].

師：第二問(wèn)g(x)=2(x-1)ex-ax2,g′(x)=2xex-2ax=2x(ex-a).

由于x=0是g(x)的極大值點(diǎn),所以x=0是g′(x)的零點(diǎn)，且y=g′(x)在x=0附近的取值是先正后負(fù).如何理解“y=g′(x)在x=0附近的取值是先正后負(fù)”？

生：函數(shù)y=g′(x)在x=0附近單調(diào)遞減，而且g′(0)=0.

研究函數(shù)g′(x)=2x(ex-a)的簡(jiǎn)圖，可以確定y=g′(x)在x=0處取值的正負(fù)情況.

①當(dāng)a≤0時(shí)，ex-a>0,y=g′(x)的取值正負(fù)與y=x完全一致,如圖：

可知x=0不滿(mǎn)足題意.

②當(dāng)a>0時(shí)，令g′(x)=0，得x=0或x=lna.g′(x)=2x(ex-a)的取值正負(fù)y=x(x-lna)完全一致.作y=x(x-lna)的圖象：

通過(guò)觀察圖象，可知a的取值范圍是(1,+∞).

師：非常好！我們可以利用幾何畫(huà)板作出函數(shù)g′(x)的準(zhǔn)確圖象，比較分析與自己所作簡(jiǎn)圖的異同.

生：雖然自己作圖太粗糙，但也能說(shuō)明問(wèn)題.

思考與總結(jié)：此例題是師生互動(dòng)的真實(shí)過(guò)程,題目的解答依賴(lài)于學(xué)生直觀想象思維,需要學(xué)生自己形成解答思路,但作圖時(shí)可能會(huì)有所偏差，所以教師可以通過(guò)幾何畫(huà)板進(jìn)行模擬演示,糾正學(xué)生作圖時(shí)的誤差,提高學(xué)生的直觀想象能力.同時(shí)化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用處處都在,值得一提的是,將導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)圖轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行手工作圖,既保證了題意不變又簡(jiǎn)化了求解過(guò)程.

例2.函數(shù)f(x)=ex|ex-2|+2,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n](m

( )

分析：根據(jù)題意,需要借助于函數(shù)f(x)的圖象來(lái)進(jìn)行分析.由于解析式中含有絕對(duì)值符號(hào),可以考慮寫(xiě)成分段函數(shù)進(jìn)行研究.

生：分段判定函數(shù)的單調(diào)性,再分段畫(huà)圖,最后整體分析，關(guān)鍵是作出比較準(zhǔn)確的圖象.

①當(dāng)x≥ln2時(shí),f(x)=e2x-2ex+2,

所以f′(x)=2e2x-2ex=2ex(ex-1)>0，

故f(x)在[ln2,+∞)上單調(diào)遞增,且f(ln2)=2.

②當(dāng)x

所以f′(x)=-2e2x+2ex=2ex(-ex+1)，

故f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,ln2)上單調(diào)遞減,

且f(0)=3,f(ln2)=2.

根據(jù)單調(diào)性作簡(jiǎn)圖如圖：

師：此圖正確嗎？能否據(jù)此獲得m,n的取值范圍？

生：假設(shè)此圖正確,還需要解兩個(gè)方程.

①當(dāng)x

當(dāng)x

師：函數(shù)f(x)的圖象該如何調(diào)整？

生：可以從函數(shù)值的變化規(guī)律上尋找突破口,考慮極限問(wèn)題.當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→2,故函數(shù)簡(jiǎn)圖可以調(diào)整為如圖：

師：我們可以利用幾何畫(huà)板來(lái)驗(yàn)證作圖的正確性.

生：雖然我們自己作出的圖象和準(zhǔn)確圖象有一定的差距,但是也能夠說(shuō)明圖象趨勢(shì).

師：如何理解“f(x)在[m,n]上的取值范圍是[2,3]”？

思考與總結(jié)：此題解答的基礎(chǔ)是準(zhǔn)確地作出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖.作圖過(guò)程能夠訓(xùn)練學(xué)生大腦繪圖,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的素養(yǎng),作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)出學(xué)生理性思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.幾何畫(huà)板作為現(xiàn)代信息技術(shù)教學(xué)工具,合理利用幾何畫(huà)板能夠提高課堂教學(xué)效果,但是不能代替學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考.

2.動(dòng)態(tài)變化中的最值問(wèn)題

現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1,P2,P3,P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P,從而得到一個(gè)多面體.下面關(guān)于該多面體的命題,正確的是________，(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))

①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為5πa2.

分析：在折疊問(wèn)題中，需要先根據(jù)圖形變化繪制出幾何體的直觀圖，在折疊過(guò)程中要明確哪些幾何元素之間的關(guān)系發(fā)生變化，哪些幾何元素之間的關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化，由此確定該幾何體當(dāng)中幾何元素的關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行推理得到新的結(jié)論.

師：折疊過(guò)程中哪些幾何元素之間的關(guān)系發(fā)生了變化？

生：P1,P2,P3,P4的位置發(fā)生變化，且與邊AC的相對(duì)位置發(fā)生變化,構(gòu)成新的三角形PAC.

師：哪些幾何元素之間的關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化？

生：四個(gè)角∠AP1B,∠BP2C,∠CP3D,∠AP4D的大小沒(méi)有變,△ABC,△ADC沒(méi)有變化.

師：該多面體有哪些新的性質(zhì)或特點(diǎn)？

又由于PD⊥PC,PD⊥PA,所以PD⊥平面PAC.同理得PB⊥平面PAC.

師：你能描述一下圖形的形狀嗎？你能作出它的簡(jiǎn)圖嗎？

生：該多面體可以這樣構(gòu)成：由Rt△PAC出發(fā),過(guò)直角頂點(diǎn)P作垂線PB⊥平面PAC,在此垂線上有點(diǎn)D滿(mǎn)足PD=PB.據(jù)此可以構(gòu)造該幾何體的簡(jiǎn)圖.

師：我們一起來(lái)體會(huì)圖形的折疊過(guò)程,驗(yàn)證自己的分析是否正確.

幾何畫(huà)板演示圖形的折疊過(guò)程：

圖形折疊過(guò)程具體為：圖①→圖②→圖③.為了使得原多面體看起來(lái)更加直觀,可以將該多面體適當(dāng)旋轉(zhuǎn)得到圖④和圖⑤.你能說(shuō)說(shuō)該幾何體的特征嗎？

圖①

圖②

圖③

圖④

圖⑤

圖⑥

師：如何求解該三棱錐的外接球半徑？

生：由于該三棱錐的對(duì)棱對(duì)應(yīng)相等,所以可以將該三棱錐放置在長(zhǎng)方體當(dāng)中,使得長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球.如圖：

思考與總結(jié):折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是要思考清楚圖形的變化過(guò)程,以及折疊過(guò)程中哪些幾何元素發(fā)生變化,哪些幾何元素沒(méi)有發(fā)生變化,同時(shí)要確定折疊后點(diǎn)線面之間的相互關(guān)系.幾何畫(huà)板在折疊問(wèn)題教學(xué)中可以很好地輔助學(xué)生思考,幫助學(xué)生厘清幾何元素之間的關(guān)系,但需要提醒的是幾何畫(huà)板使用的時(shí)間節(jié)點(diǎn),盡量在學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考之后再由教師展示圖形的折疊過(guò)程.

四、總結(jié)與展望

運(yùn)用多媒體優(yōu)化解題教學(xué)，需要授課教師能夠熟練運(yùn)用幾何畫(huà)板，能夠準(zhǔn)確快速地繪制常用函數(shù)的圖象和常用幾何模型，能夠合理恰當(dāng)?shù)氖崂斫獯鹆鞒?，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)和知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程，創(chuàng)造性地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考.當(dāng)然借助于幾何畫(huà)板進(jìn)行解題教學(xué)只是常規(guī)教學(xué)的一部分，也有一定的局限，比如耗時(shí)多，過(guò)多使用可能會(huì)有一定的依賴(lài)性等，正因如此，我們才要深入思考教學(xué)的各個(gè)方面，創(chuàng)造性地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).