新課標(biāo)、新高考、新教材背景下教育質(zhì)量檢測工具的跨區(qū)域研發(fā)項目成果展示

山西 李小麗 江蘇 胡道國 遼寧 閆海鵬

(作者單位：山西省平遙中學(xué)校 江蘇省宿遷市沐陽如東中學(xué) 天津市翔宇力仁學(xué)校)

【試題一】對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)每一個值，都有f(x)=f(2a-x)，則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是________(把所有滿足條件的序號都填上).

【試題解析】

剖析新定義：即函數(shù)f(x)是軸對稱圖形，且至少存在一條非y軸的對稱軸.

①只有當(dāng)a=0時，滿足f(x)=f(2a-x)，所以f(x)不是準(zhǔn)偶函數(shù)；

③設(shè)g(x)=-x2+2|x|，h(x)=-x2+2x-1+2|x-1|，易得h(x)=g(x-1)，因為g(x)是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，所以p(x)=2g(x)也是偶函數(shù)，而f(x)可看成是由p(x)向右平移1個單位長度所得，所以f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，即f(x)=f(2-x)；

綜上，滿足條件的是②③④.

1.命題依據(jù)

【學(xué)科型專業(yè)依據(jù)】本題對應(yīng)高考填空題中14、15題的位置，對知識點、難度的考查類似，基本初等函數(shù)以及以基本初等函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)的性質(zhì)是高考中的高頻考點.

【教育測量學(xué)依據(jù)】本題以山西省平遙中學(xué)高三年級學(xué)生為測試樣本，難度系數(shù)0.7，符合高考題的難度區(qū)間，是一道很好的創(chuàng)新題.

【教學(xué)經(jīng)驗型依據(jù)】

易錯點學(xué)生易錯選①學(xué)生易受y=sinx的影響認(rèn)為y=sin|x|也有無數(shù)條對稱軸易錯點學(xué)生易漏選③學(xué)生沒有掌握復(fù)合函數(shù)的奇偶性判斷以及不能很好地利用平移來把握奇偶性與對稱性的關(guān)系易錯點學(xué)生易漏選④學(xué)生不能很好地利用定義驗證函數(shù)的奇偶性與周期性

2.命題意圖

本題以一個新定義為載體，考查學(xué)生獲取新知識的能力和對新問題的探究能力，挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)：函數(shù)的奇偶性，對稱性，把握奇偶性與對稱性的區(qū)別與聯(lián)系(可通過函數(shù)的平移實現(xiàn)轉(zhuǎn)化)；奇偶性、對稱性、周期性三者是知二推一的關(guān)系.考查二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)與以絕對值函數(shù)為代表的分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)；考查復(fù)合函數(shù)的奇偶性與對稱性；另外還引進(jìn)高等代數(shù)中一個特別重要的分段函數(shù)——狄利克雷函數(shù)，由此讓學(xué)生深刻體會奇偶性、對稱性、周期性的嚴(yán)格定義.提高學(xué)生對知識的整合運(yùn)用能力，考查了數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).

A.40 408 B.40 432

C.40 420 D.80 840

如果右焦點射出光線不沿長軸方向的話，經(jīng)反射后匯聚到左焦點，相當(dāng)于從左焦點再次射出光線，依然不沿長軸方向，經(jīng)反射后匯聚到右焦點，即光線第一次回到右焦點經(jīng)過的路程為4a即40 cm，故第2 021次回到該焦點所經(jīng)過的路程長為2 021×40=80 840 cm；

如果右焦點射出光線沿長軸方向的話，分成兩種情況：第一類是經(jīng)右頂點反射直接回到該焦點，光線經(jīng)過路程為2a-2c即8 cm，第二類是路過左焦點經(jīng)左頂點反射回到左焦點再次回到右焦點，光線經(jīng)過的路程為2a+2c即32 cm.若按照第一類情況，光線第2 021次回到該焦點所經(jīng)過的路程1 010×32+1 011×8=1 010×40+8=40 408 cm；若按照第二類情況，光線第2 021次回到該焦點所經(jīng)過的路程1 011×32+1 010×8=1010×40+32=40 432 cm，故選ABD.

1.命題依據(jù)

【學(xué)科型專業(yè)依據(jù)】

教無定法，考無定勢，新高考下已無考試大綱，對學(xué)生的知識考查已回歸課本，注重定義本質(zhì)的理解，性質(zhì)內(nèi)涵的研讀，知識鏈?zhǔn)降臉?gòu)建.命題的角度已呈現(xiàn)發(fā)散式、開放式、鏈條式等諸多特征.學(xué)科的核心素養(yǎng)要求學(xué)生不能靠單純的刷題，而要去平心靜氣地感悟數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)，并能夠應(yīng)用數(shù)學(xué).

【教育測量學(xué)依據(jù)】

新授課階段容易忽視對教材中衍生內(nèi)容(閱讀部分等)的研究，重視概念、性質(zhì)的解題應(yīng)用；復(fù)習(xí)課階段零散知識點容易遺漏；乃至實際形成學(xué)生的知識“盲點”，同時，重視章節(jié)所謂“重難點”教學(xué)，忽視概念的來龍去脈，導(dǎo)致學(xué)生對概念的一知半解.

【教學(xué)經(jīng)驗型依據(jù)】

易錯點1：對教材閱讀部分的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，實際教學(xué)過程中很多教師會忽視，從而形成學(xué)生的知識盲點；

易錯點2：學(xué)生容易借助不沿長軸方向的反射形成單一模式認(rèn)知，形成D選項，忽視光線沿長軸方向的反射情況；

易錯點3：意識到沿長軸方向的反射，但無法提煉出正確的運(yùn)算形式導(dǎo)致結(jié)果出錯.

2.命題意圖

本題借助物理社團(tuán)的光學(xué)實驗發(fā)現(xiàn)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，注重對學(xué)生的勞動教育、實際動手能力的鍛煉、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力的培養(yǎng)；注重考查學(xué)生對橢圓基本性質(zhì)、焦點三角形周長等的掌握，滲透分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象學(xué)科核心素養(yǎng)，引導(dǎo)教師的教學(xué)要回歸教材，要“接地氣”，要重視對教材的研讀、知識的拓展.

(1)求橢圓的方程；

【試題解析】

(1)若選①.

若選②.

若選③.

因為Δ≥0,

因為Δ>0,

解得k=±1.

1.命題依據(jù)

【學(xué)科型專業(yè)依據(jù)】本題參照2020年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷(供山東省使用)中的17題，命制為結(jié)構(gòu)不良試題.圓錐曲線中直線與橢圓的位置關(guān)系是高考中的高頻考點.

【教育測量學(xué)依據(jù)】本題難度系數(shù)為0.32，符合新高考20，21題的難度區(qū)間.

【教學(xué)經(jīng)驗型依據(jù)】

易錯點不熟悉題型結(jié)構(gòu)不良試題,學(xué)生容易不知道選擇哪一個作為切入點易錯點P點坐標(biāo)已知不會表示中點 PQ直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可以直接表示中點坐標(biāo),學(xué)生容易糾結(jié)于P點坐標(biāo)已知,是否可以直接求出M點坐標(biāo)易錯點計算失誤第(2)問中涉及兩次聯(lián)立方程組和應(yīng)用韋達(dá)定理,對學(xué)生的計算能力與計算技巧考查較多

2.命題意圖

本題基礎(chǔ)性、應(yīng)用性考查落實，以橢圓的相關(guān)知識點為背景，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).