分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

吳愛民

【摘要】隨著新課程改革工作的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)也開始進(jìn)入到全面調(diào)整階段，原本的教學(xué)理念無法滿足當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)需求，需要引入更加先進(jìn)的教學(xué)思想.分類討論思想是高中數(shù)學(xué)解題主要運(yùn)用的思想之一，其不僅能夠以分類方式將原本復(fù)雜的問題梳理開，也能讓學(xué)生的邏輯思維能力得到鍛煉.本文就分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開研究，首先明確分類討論思想的應(yīng)用價值，然后對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)劃分，最后闡述具體的應(yīng)用過程.

【關(guān)鍵詞】分類討論思想;高中數(shù)學(xué);解題

引言

高中階段的數(shù)學(xué)知識抽象且復(fù)雜，充分展現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和科學(xué)性，新課標(biāo)要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并掌握多種數(shù)學(xué)能力.而學(xué)生如果在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時沒有學(xué)習(xí)新的解題思想，那么必然會在學(xué)習(xí)過程中感到解題困難，甚至?xí)霈F(xiàn)理解偏差的情況.為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，教師需要鍛煉學(xué)生的解題思維，將分類討論思想引入數(shù)學(xué)解題過程當(dāng)中，使學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)解題方法，快速解決數(shù)學(xué)問題，并提升解題準(zhǔn)確率.

一、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價值

分類討論思想是對特定題型出現(xiàn)的不同情況，分不同的條件討論，從而得到結(jié)論的一種思想，即當(dāng)該題目無法在唯一情況下討論時，就應(yīng)根據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)對該題目進(jìn)行人為的劃分，然后分別對各部分進(jìn)行解答，最后綜合解題過程得到答案.例如，函數(shù)、數(shù)列、幾何等的題目，只從某一方面思考不能得到完整答案，這就要求學(xué)生根據(jù)題目進(jìn)行分類論證.這實(shí)質(zhì)上是邏輯分類的思想，是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)戰(zhàn)略，體現(xiàn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解和解決能力.在解題過程中，我們僅須抓住主要的問題因素，然后再確定變化的條件范圍和問題發(fā)展的方向，就能根據(jù)不同情況進(jìn)行分類，運(yùn)用不同的解題技巧分類討論.在運(yùn)用分類理念的過程中，學(xué)生樹立了分類的意識，明確了如何進(jìn)行分類研究，并對分類結(jié)果進(jìn)行整合分析.運(yùn)用分類思維解高中數(shù)學(xué)問題，可以不斷地提高學(xué)生們的邏輯思考能力.高中階段的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容較抽象，因此解題的難度會增大，但只要學(xué)生在解題時能夠利用分類思想，把握數(shù)學(xué)問題的發(fā)展方向，就可以提高解題的效率，提高答案正確率.

二、分類討論思想的劃分標(biāo)準(zhǔn)

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用不斷增多，為我們更加快速而準(zhǔn)確的解答數(shù)學(xué)習(xí)題創(chuàng)造了良好的條件.因此我們需要對分類思想類型進(jìn)行準(zhǔn)確詳細(xì)劃分，這樣才能更好地應(yīng)用分類討論思想.首先，按照數(shù)學(xué)的概念知識進(jìn)行科學(xué)合理的劃分，很多知識內(nèi)容都是按照分類思想定義的.其次，按照運(yùn)算法則、定理、公式等進(jìn)行劃分.最后，按照圖形位置進(jìn)行合理劃分.在圖形習(xí)題的解題中，應(yīng)用分類討論思想比較多，比如函數(shù)圖像和立體幾何等.

三、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

（一）分類討論思想在高中函數(shù)解題中的應(yīng)用

函數(shù)問題一直都是高考當(dāng)中的重要考查點(diǎn)，不管是在選擇題部分還是填空題部分都有和函數(shù)相關(guān)的題目.但函數(shù)本身知識概念繁雜，且抽象邏輯性也比較強(qiáng)，很多學(xué)生剛接觸函數(shù)知識的時候就感覺恐懼，導(dǎo)致對課堂上學(xué)習(xí)到的函數(shù)知識理解并不透徹，在后續(xù)解答函數(shù)題目的時候也會耗費(fèi)大量時間.長期處于這種學(xué)習(xí)狀態(tài)下，學(xué)生會逐漸喪失學(xué)習(xí)函數(shù)知識的自信心，即便是耗費(fèi)大量的時間和精力記憶了函數(shù)的知識概念，但在解函數(shù)題的時候依然無法從容運(yùn)用知識點(diǎn)，在無法掌握解題技巧的情況下，總是混淆函數(shù)的各類概念.學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識，不僅要區(qū)分函數(shù)的基本形式，也需要在掌握函數(shù)概念的情況下區(qū)分不同類別的函數(shù)題目.教師在教學(xué)過程中要滲透分類討論思想，并引導(dǎo)學(xué)生形成該種解題思想，使學(xué)生在遭遇函數(shù)問題的時候，能夠想到采用分類討論思想解答問題.從而，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維更加豐富，更具備數(shù)學(xué)學(xué)科的特性.分類討論思想能夠幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提升解題效率，改善學(xué)習(xí)心態(tài)，并在考試當(dāng)中獲取更好的成績.為此，本文討論具體的函數(shù)案例，將分類討論思想運(yùn)用到函數(shù)當(dāng)中，體現(xiàn)分類討論思想對解函數(shù)題的作用.

例如，如果a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+x-a+1，x∈R，根據(jù)上述函數(shù)條件，求函數(shù)f（x）的最小值.

應(yīng)用分類討論思想，我們可以完成該題目求解，遵循下述解析步驟：當(dāng)x

（二）分類討論思想在高中概率解題中的應(yīng)用

函數(shù)知識是學(xué)生在高中時期需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容，除此之外，概率知識也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，更是人們?nèi)粘Ｉ钪袝?jīng)常接觸的知識內(nèi)容.概率主要是指隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律，屬于獨(dú)立的學(xué)科，但也納入數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中.概率能夠促使人們秉承客觀思想認(rèn)識世界，形成客觀思維，并在解決問題的時候采用科學(xué)的解題思路.高中階段我們所學(xué)習(xí)的概率知識主要是了解隨機(jī)現(xiàn)象和概率的意義，明確概率所具備的基本性質(zhì)，并且在形成簡單概率模型的情況下，探究概率條件下的隨機(jī)現(xiàn)象，為統(tǒng)計學(xué)研究奠定了堅實(shí)理論基礎(chǔ).在學(xué)習(xí)概率知識以后，學(xué)生能夠利用隨機(jī)模擬方法對簡單隨機(jī)事件進(jìn)行概率計算.將分類討論思想運(yùn)用到概率問題解答過程的主要目的是加深學(xué)生對概率性質(zhì)的理解，讓學(xué)生了解隨機(jī)事件發(fā)生所具備的不確定性與頻率所具備的穩(wěn)定性之間的聯(lián)系和差別.如此，學(xué)生才能夠真正意義上掌握概率的含義.在此之前，學(xué)生雖然感覺概率知識比較好學(xué)，但真正理解起來卻有些困難.而教師在教學(xué)過程中過于重視向?qū)W生灌輸知識，忽視了思想引導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生雖然能夠記憶概率的知識概念，但無法靈活運(yùn)用概率知識進(jìn)行問題解答.學(xué)生需要教師根據(jù)分類討論思想進(jìn)行引導(dǎo)，先從概率問題的本質(zhì)著手，分析問題的概率類型，在明確已知條件以后，對概率題目中涉及的個數(shù)進(jìn)行編號處理，并將編號按照特定的順序排列起來.此時學(xué)生可以根據(jù)自身所整理的數(shù)據(jù)進(jìn)行可能性數(shù)值假設(shè)，最終得出概率的具體數(shù)值結(jié)論.

例如，教師為了夯實(shí)學(xué)生在概率的知識基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和學(xué)習(xí)狀態(tài)，展示如下練習(xí)題：在區(qū)間[-3，3]，選取隨機(jī)數(shù)值x，并且要保證x+1-x-2≥1這個不等式成立，求概率.學(xué)生解答該問題的時候，并不知道該從哪個方面入手.在沒有掌握解題技巧的情況下，學(xué)生消耗大量時間厘清各類數(shù)值.但教師引導(dǎo)學(xué)生采用分類討論思想思考問題，讓學(xué)生按照如下思路進(jìn)行解答：如果x<-1，則可以得出不等式-x-1+x-2≥1，此時不等式無解.如果-1≤x≤2，則可以得到不等式x+1+x-2≥1，此時可以得到1≤x≤2.如果x>2，則可以得出不等式為x+1-x+2≥1，不等式恒成立.綜上，我們可以明確x+1-x-2≥1的解集是[1，+∞）.通過上述過程，即得出要求解的概率，學(xué)生不僅捋順相關(guān)問題的解題思路，也在解題過程中也能鍛煉自身的思維能力.

（三）分類討論思想在高中數(shù)列解題中的應(yīng)用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，處于知識交匯點(diǎn)的位置，與許多知識有著緊密的聯(lián)系，不僅能幫助我們深度復(fù)習(xí)方程的問題，還能回顧許多重要數(shù)學(xué)問題，如一次函數(shù)、二次函數(shù)的問題，等比性質(zhì)等.數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的位置，數(shù)列問題可以鍛煉學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的思考能力、分類能力和歸納能力，對以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起到良好的促進(jìn)作用.例如，在認(rèn)識數(shù)列的過程中，教師將分類討論思想融入教學(xué)中，學(xué)生就可以動態(tài)地認(rèn)識數(shù)列.在學(xué)習(xí)等差數(shù)列、求和最大值學(xué)習(xí)時，教師都可將分類討論思想融入其中，從而可以提高學(xué)生解題的效率，提高答案正確性.

結(jié)語

綜合上述分析，我們能夠明確在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中需要梳理眾多知識難點(diǎn)，學(xué)生不能以死記硬背的方式學(xué)習(xí)知識，而是需要靈活運(yùn)用知識的技巧，采用分類討論的方式將原本復(fù)雜煩瑣的題目轉(zhuǎn)化為簡單的解題過程.例如數(shù)列、函數(shù)等比較難以理解的抽象知識點(diǎn)，運(yùn)用分類討論思想均能夠得到細(xì)化分解.教師帶領(lǐng)學(xué)生采用更加簡便的方式來解決數(shù)學(xué)問題，能夠促使學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和方法技巧解答數(shù)學(xué)問題，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

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