基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)的邊緣保持圖像平滑算法

宋昱 孫文赟

(深圳大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院∥深圳市媒體信息內(nèi)容安全重點實驗室∥廣東省智能信號處理重點實驗室,廣東 深圳 518060)

邊緣保持圖像平滑的目的是在保持圖像中主要邊緣的前提下對其中的紋理和細(xì)節(jié)進(jìn)行平滑。邊緣保持圖像平滑是很多計算機(jī)視覺與圖形學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)和關(guān)鍵步驟。自然圖像中通常包含很多紋理和細(xì)節(jié),可能對很多計算機(jī)視覺和圖形學(xué)算法(如邊緣檢測[1]、圖像分割[2]、圖像分類、 基于內(nèi)容的圖像編輯等)造成困難。使用邊緣保持圖像平滑算法對圖像進(jìn)行預(yù)處理通常是有利的,可以降低邊緣檢測、圖像分割、圖像分類與基于內(nèi)容的圖像編輯等任務(wù)的難度;另外,邊緣保持圖像平滑也可以作為圖像增強(qiáng)算法的一個中間步驟[3],在平滑了原始圖像后,通過從原始圖像中減去平滑圖像得到一幅細(xì)節(jié)圖像,然后對細(xì)節(jié)圖像進(jìn)行放大,再加到平滑圖像上,可以得到一幅增強(qiáng)后的圖像。

現(xiàn)有的邊緣保持圖像平滑算法可以大致分為2類。第1類算法是基于像素點的局部鄰域統(tǒng)計特征對像素點進(jìn)行濾波,這些算法被稱為基于局部統(tǒng)計特征的算法；基于局部統(tǒng)計特征的算法根據(jù)中心像素點和該像素點鄰域中其他像素點的關(guān)系對中心像素點進(jìn)行處理。雙邊濾波器是一種基于局部統(tǒng)計特征的算法[4- 5],該算法通過對鄰域中的像素加權(quán)平均得到濾波后的像素,像素灰度距離越大或者像素點空間距離越大,權(quán)重越小。引導(dǎo)濾波采用和雙邊濾波器類似的方法對圖像濾波[6- 7]。局部拉普拉斯濾波器是一種基于局部統(tǒng)計特征的算法[8],該算法是在對中心像素進(jìn)行點操作之后,構(gòu)建該像素點的局部拉普拉斯金字塔,通過組合局部拉普拉斯金字塔得到像素點的濾波結(jié)果。文獻(xiàn)[9]中的算法是根據(jù)區(qū)域協(xié)方差平滑像素點,該算法和非局部均值圖像去噪算法類似[10]。基于偏微分方程(PDE,Partial Differential Equation)的算法(例如各向異性擴(kuò)散或者一致增強(qiáng)擴(kuò)散[11- 13]),也是基于局部統(tǒng)計特征的算法,這類算法根據(jù)像素灰度距離以迭代的方式對像素點進(jìn)行濾波,那些與鄰域中像素灰度更接近的像素被以較大力度進(jìn)行平滑,那些與鄰域中像素灰度差異較大的像素被以較小的力度進(jìn)行平滑。基于邊緣回避小波的平滑算法也是基于局部統(tǒng)計特征的算法[14],該算法首先對原始圖像進(jìn)行邊緣回避小波變換,然后對各個細(xì)節(jié)子帶進(jìn)行抑制,最后通過使用邊緣回避小波逆變換得到平滑圖像。最近提出的樹濾波算法使用中心像素點與鄰域中像素點的樹距離和雙邊距離對圖像進(jìn)行平滑[15],通過使用該算法,可以有效地濾除圖像中的強(qiáng)紋理。基于局部統(tǒng)計特征的算法有一個主要的優(yōu)勢——因為算法中涉及的主要計算都限制在各個像素點的局部鄰域中,基于局部統(tǒng)計特征的算法的計算復(fù)雜度較低。而這類算法的一個主要缺點是每一像素點的濾波結(jié)果僅依賴該像素點局部鄰域的統(tǒng)計特征,在濾波過程中沒有充分考慮整幅圖像提供的信息。

第2類算法是對整幅圖像同時進(jìn)行濾波,這類算法被稱為基于全局統(tǒng)計特征的算法,通常需要構(gòu)建一個目標(biāo)函數(shù),該目標(biāo)函數(shù)以平滑圖像與原始圖像作為變量,通過最小化目標(biāo)函數(shù)得到平滑后的圖像；目標(biāo)函數(shù)通常包含2種類型的能量項,其中一項是數(shù)據(jù)忠誠項,該項用以衡量平滑圖像與原始圖像之間的差值,另外一項是正則項,該項用以描述平滑后圖像的特征。該類算法中最有代表性的算法是加權(quán)最小二乘(WLS,Weighted Least Square)算法[16],該算法在目標(biāo)函數(shù)中有2項能量項,數(shù)據(jù)忠誠項用以衡量平滑圖像與原始圖像差值的l2范數(shù)的平方,正則項用以衡量平滑圖像的加權(quán)梯度,可以通過求解一個線性方程組得到平滑圖像；算法的平滑結(jié)果具有如下特征,那些高對比度的邊緣被保留了,那些低對比度的紋理被平滑了。為了進(jìn)一步提升原始WLS濾波器的運(yùn)行速度,文獻(xiàn)[17] 提出了一種快速加權(quán)最小二乘算法。文獻(xiàn)[18]的算法基于局部極值對圖像進(jìn)行平滑,該算法首先基于局部鄰域定位極值,然后根據(jù)全局統(tǒng)計特征構(gòu)建最小和最大包絡(luò),最后通過對最小和最大包絡(luò)求均值得到平滑圖像。l0梯度最小化也屬于這類算法[19],該算法的目標(biāo)函數(shù)中有2項能量項,數(shù)據(jù)忠誠項用以衡量平滑圖像與原始圖像之差的l2范數(shù)的平方,正則項用以衡量平滑圖像的l0梯度,通過迭代求解2個子最小化問題可以得到平滑圖像。最近,研究者又提出了一種基于l1范數(shù)的圖像平滑算法[20],該算法的目標(biāo)函數(shù)中有3項能量項,數(shù)據(jù)忠誠項用以衡量平滑圖像與原始圖像之差的l2范數(shù)的平方,第一項正則項用以衡量平滑圖像中彼此在對方鄰域中的像素對差值的l1范數(shù),第二項正則項用以衡量平滑圖像中代表性像素對差值的l1范數(shù),這些代表性像素從一個超像素區(qū)域中選取得到；該算法使用了稀疏表示中的概念進(jìn)行邊緣保持圖像平滑[21- 23],算法目標(biāo)函數(shù)是一個凸函數(shù),通過最小化目標(biāo)函數(shù)直至收斂得到平滑圖像?；谌纸y(tǒng)計特征的算法與基于局部統(tǒng)計特征的算法的特征是相反的；因為在最小化過程中,需要求解一個大型稀疏線性方程組,所以這類算法的計算復(fù)雜度較高；但是因為在濾波過程中考慮了整幅圖像的全局信息,因此基于全局統(tǒng)計特征算法的平滑效果較好。除前述的相關(guān)算法外,最近研究者還提出了一些基于學(xué)習(xí)的邊緣保持圖像平滑算法[24- 28],這些算法利用深度學(xué)習(xí)方法有監(jiān)督或者無監(jiān)督的訓(xùn)練一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平滑圖像。

因為在算法的目標(biāo)函數(shù)中考慮了中心像素點和鄰域中其他像素點差值的l1范數(shù),基于l1范數(shù)的算法可以很好地平滑圖像;WLS算法和l0梯度最小化算法只考慮了中心像素點水平與垂直方向的梯度[16,19],與WLS算法和l0梯度最小化算法相比,基于l1范數(shù)的算法考慮的鄰域信息更加完整。事實上,衡量差值的最優(yōu)的范數(shù)是l0范數(shù),但是,使用l0范數(shù)的目標(biāo)函數(shù)是非凸的,最小化該目標(biāo)函數(shù)非常困難甚至是不可能的。l1范數(shù)是l0范數(shù)的一個凸近似,基于l1范數(shù)的算法的濾波結(jié)果仍然包含很多紋理；受Candes等[29]提出的重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)的啟發(fā),本研究使用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)替代l1范數(shù),提出一種基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)的圖像平滑算法,并通過將該算法與其他很多最新的邊緣保持圖像平滑算法進(jìn)行比較,來驗證該方法的性能。

1 基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)的圖像平滑算法

1.1 原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法

基于l1范數(shù)的圖像平滑算法的目標(biāo)函數(shù)是3項能量項的加權(quán)之和[20],可表示為

E=αE1+βEg+θEa

(1)

其中,E1、Eg和Ea分別表示局部稀疏正則項、全局稀疏正則項和數(shù)據(jù)忠誠項,α、β和θ是這3項的權(quán)重參數(shù)。

(1)局部稀疏正則項

局部稀疏正則項可以表示為

(2)

其中：xi、xj為平滑圖像中像素點i、j的RGB色彩空間中的3維色彩向量；Nh(i)是一個局部鄰域窗口,窗口的中心點像素是i,窗口大小為h×h；wij表示像素點i和像素點j的相似性,可以定義為

(3)

其中：fi=[κ·liaibi]T,fj=[κ·ljajbj]T,fi、fj是像素點i處的Lab顏色空間中加權(quán)后的顏色向量;κ和σ是常數(shù)。

原始圖像像素點i的CIELab色彩空間中的3維色彩向量可以表示為[liaibi]T。每一通道都?xì)w一化至[0,1]之間。當(dāng)κ<1時,該能量項對光照變化的敏感性會降低。給出這一設(shè)置的目的是為了抑制光照變化。在該能量項中計算了平滑圖像中彼此在對方鄰域中的像素對的差值的l1范數(shù)。因為權(quán)重函數(shù)是原始圖像中像素對差值的單調(diào)遞減函數(shù),那些在原始圖像中有著較小顏色差異的像素對被賦以較大的權(quán)重,這會導(dǎo)致平滑圖像中相應(yīng)像素點l1差值的減小,從而使平滑中有著較大顏色差值的像素對的個數(shù)會比較稀疏。

為了給出能夠最小化目標(biāo)函數(shù)的算法,必須使用矩陣-向量的方法對式(2)中的能量項進(jìn)行改寫。假設(shè)圖像中共有n個像素,式(2)中共有ml個相鄰像素對。平滑圖像所有像素的R通道值可以表示為向量zr；類似的,平滑圖像所有像素的G通道值和B通道值可以分別表示為zg和zb。令zr、zg和zb是一個矩陣z的第1、第2和第3列,也即,z=[zrzgzb]是一個n×3的矩陣。令L=Lij是一個mi×n的矩陣。如果像素點i和像素點j構(gòu)成了第k對像素對,那么Lki=wij、Lkj=-wij。通過使用矩陣-向量乘法,可以將式(2)中的能量項重新寫為

E1=‖Lz‖1

(4)

(2)全局稀疏正則項

因為一幅圖像中通常僅有有限數(shù)量的不同光照值,所以可以利用超像素計算全局稀疏正則項。通過使用文獻(xiàn)[30]中的算法產(chǎn)生一個固定數(shù)量(這一數(shù)量表示為ns)的超像素。從超像素區(qū)域中選出代表性的像素點,選取的準(zhǔn)則是該像素點的顏色值與超像素區(qū)域的顏色均值最為接近。這些代表性像素點構(gòu)成一個集合Sr,該集合是原始圖像像素點集合的一個子集。全局稀疏正則項可以定義為

(5)

在該能量項中考慮了所有代表性像素對之間的相互作用。和式(2)類似,原始圖像中具有較小顏色差值的像素對被賦以較大的權(quán)重,這樣會更容易使這些像素點在平滑圖像中具有相同的顏色,從而能夠提升平滑圖像中像素點顏色的全局稀疏性。

所有代表性像素對的總數(shù)可以表示為mg(mg=ns(ns-1))。ns表示代表性像素點的個數(shù)。G=Gij是一個mg×n的矩陣(此處的n和前文的n是相同的變量,都表示圖像中像素點的個數(shù)),如果像素點i和像素點j構(gòu)成了第k對像素對,那么Gki=wij,Gkj=-wij。再次使用矩陣-向量乘法,式(5)中的能量項可以重新寫為

Eg=‖Gz‖1

(6)

(3)數(shù)據(jù)忠誠項

如果僅考慮上述能量項,那么顯然存在一個平凡解,即所有的像素都取相同的顏色值。為了避免得到上述平凡解,需要增加一個限制條件,即平滑圖像與原始圖像的差異應(yīng)該盡可能的小。數(shù)據(jù)忠誠項可以表示為

(7)

用矩陣-向量形式寫成的目標(biāo)函數(shù)表示為

(8)

可以采用交替方向乘子方法(ADMM,Alternating Direction Method of Multipliers)或者分裂Bregman方法最小化目標(biāo)函數(shù)[31- 32]。

1.2 利用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)改進(jìn)原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法

1.2.1 重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)和重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化

l0范數(shù)最小化問題(記為問題P0)可以寫成

(9)

s.t.y=Φx

其中:‖x‖0=|i:xi≠0|;Φ是一個m×n的矩陣,其行數(shù)小于列數(shù),也即m

問題P0是非凸的,從而很難求解。為了求解問題P0,通常的做法是凸化該問題,并且求解該凸問題以近似原問題P0的解。如果使用l1范數(shù)而不是l0范數(shù),那么問題就變?yōu)橐粋€凸問題。

對應(yīng)于問題P0的l1范數(shù)最小化問題(記為問題P1)可以表示為

(10)

s.t.y=Φx

盡管l1范數(shù)是l0范數(shù)最緊的凸近似,問題P1的解中仍然包含很多非零元素。為了使解更加稀疏,可以考慮問題P1的一個重加權(quán)版本?？紤]“加權(quán)”l1范數(shù)最小化問題(記為問題WP1)可以表示為

(11)

s.t.y=Φx

其中,w1,w2,…,wn是正的權(quán)重。在下面,可以方便的將目標(biāo)函數(shù)表示為‖Wx‖1,其中W是一個對角矩陣,其對角線上的元素是w1,…,wn,其他元素是0。在文獻(xiàn)[29]中,Candes等指出,如果權(quán)重與x0中的數(shù)值成反比,那么問題WP1和問題P0就是等價的,其中x0是問題P0的解。因為事先不可能得到x0,那么可以將權(quán)重設(shè)置為反比于解x0的一個近似。Candes等[29]提出一個簡單的迭代算法,其在估計x0和重新計算權(quán)重之間交替進(jìn)行,算法如下。

步驟2 求解如下的重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化問題

xl=argmin‖Wlx‖1

(12)

s.t.y=Φx

步驟3 對于i=1,…,n,按照下式更新權(quán)重

(13)

步驟4 達(dá)到收斂條件或者l超過一個最大的迭代次數(shù)lmax時,停止算法;否則,對l增加1,并且回到步驟2。

在步驟3中,有一個參數(shù)ε>0,引入ε的原因是為了保證算法的穩(wěn)定性,即保證在xl中如果有一個零值存在,那么在下次迭代中,可以在對應(yīng)位置存在非零值。就像文獻(xiàn)[29]中的實驗給出的那樣,求解重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化問題,得到的解比求解問題P1得到的解更加稀疏。

1.2.2 將重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化應(yīng)用于基于l1范數(shù)的圖像平滑算法

重新查看式(8)中的目標(biāo)函數(shù),可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)上是對基于l0范數(shù)的圖像平滑算法的一種近似。其對應(yīng)的l0范數(shù)圖像平滑算法的目標(biāo)函數(shù)可以寫為

(14)

原來的l1范數(shù)被替換為l0范數(shù)。如果平滑圖像是通過求解目標(biāo)函數(shù)式(14)得到的,而不是通過求解目標(biāo)函數(shù)式(8)得到的,那么可以預(yù)見的是在平滑圖像中應(yīng)該有更少的具有不同顏色值的像素對。換句話說,式(14)中的目標(biāo)函數(shù)的解應(yīng)比式(8)中目標(biāo)函數(shù)的解更加“稀疏”。因為式(14)中的目標(biāo)函數(shù)是非凸的,很難求解,所以可以使用文獻(xiàn)[29]中提出的重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化來求解。文中,使用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化來求解式(14)中目標(biāo)函數(shù)的近似解。式(14)中的目標(biāo)函數(shù)可以重新寫為

(15)

每一個單品拿出來，都營造出以女孩為主的消費者爭先追逐的熱潮。用上這款面膜，前男友看了要后悔；涂上這些口紅，你就是生活的女王。

(16)

變量z的解與前面的解是一樣的。變量u1的解可以寫為

(17)

這是一個重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化問題,變量u1有閉式解,可以寫為

(18)

加權(quán)軟閾值算子Sεw(x)的一般定義為

(19)

(20)

在求解完變量u1和u2后,根據(jù)下式更新權(quán)重

(21)

(22)

權(quán)重和當(dāng)前的解(u1與u2)的值成反比,下一次迭代的權(quán)重是通過當(dāng)前迭代時解的值計算得到的。用于求解目標(biāo)函數(shù)(式(15))的重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化算法如算法1所示。

算法1:用于最小化目標(biāo)函數(shù)(式(15))的優(yōu)化算法

輸入：原始圖像zin,參數(shù)α、β和θ

while not converged do

1.固定其他變量,通過下式更新z

zk+1=(2θI+μkLTL+μkGTG)-1·

(2θzin+μkLT(u1,k+Y1,k/μk)+

μkGT(u2,k+Y2,k/μk))

2.固定其他變量,通過下式更新u1

3.固定其他變量,通過下式更新u2

4.對于i=1,…,3,ml,j=1,…,3，通過下式更新權(quán)重

5.對于i=1,…,3,mg,j=1,…,3通過下式更新權(quán)重

6.更新拉格朗日乘子

Y1,l+1=Y1,l+μl(u1,l-Lzl)

Y2,l+1=Y2,l+μl(u2,l-Gzl)

7.更新懲罰因子μ,μl+1=min(ρμl,μmax)

8.檢查是否滿足收斂條件

‖u1,l-Lzl‖∞<εADMM

‖u2,l-Lzl‖∞<εADMM

9.l=l+1

end while

輸出：平滑圖像z=zl+1

比較算法1和文獻(xiàn)[20]中的求解算法,可以看出有兩處不同。第1處不同是變量u1和u2的解不同；在文獻(xiàn)[20]的算法中,使用了普通的軟閾值算子；與之相對的,在算法1中,使用了一個加權(quán)軟閾值算子。第2處不同是在算法1中,權(quán)重是迭代更新的,但是在文獻(xiàn)[20]的算法中,沒有權(quán)重?？梢灶A(yù)見到,通過使用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化,解可以更加稀疏,也就意味著在平滑圖像中具有不同顏色值的像素對的數(shù)量更少。

2 實驗結(jié)果與分析

為了衡量所提算法的性能,將所提算法和很多最新的邊緣保持圖像平滑算法進(jìn)行了比較,用于比較的算法包括原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法(l1)[20]、l0梯度最小化圖像平滑算法(l0)[19]、加權(quán)最小二乘圖像平滑算法(WLS)[16]、快速加權(quán)最小二乘圖像平滑算法(Fast WLS)[17]、使用擴(kuò)散圖的加權(quán)最小二乘圖像平滑算法(Diffusion WLS)[28]、局部拉普拉斯濾波器(LL)[8]、基于邊緣回避小波的圖像平滑算法(EAW)[14]、基于局部極值的圖像平滑算法(LE)[18]、基于樹濾波的圖像平滑算法(TF)[15]。上述算法中,l1、l0、Fast WLS和Diffusion WLS是基于全局統(tǒng)計特征的圖像平滑算法,LL、EAW、 LE和TF是基于局部統(tǒng)計特征的圖像平滑算法。在大量圖像上進(jìn)行了實驗,限于篇幅,文中選取了其中6幅有代表性的圖像作為說明。這些圖像均取自BSDS300數(shù)據(jù)集[34],分辨率分別是341×512、560×368、321×481、481×321、321×481以及321×481。實驗環(huán)境是Intel(R)Core(TM)i5- 4460S CPU @2.9 GHz,8 GB RAM,Matlab R2015a。在給出實驗結(jié)果之前,先給出了所提算法和比較算法的相關(guān)參數(shù),如表1所示。

表1 不同算法的參數(shù)

圖像平滑結(jié)果如圖1-圖12所示。為了更加清楚地比較不同圖像平滑算法的性能,從每幅圖像中選取了一個代表性的區(qū)域(圖像中白色矩形框所示區(qū)域),將該區(qū)域進(jìn)行放大并示于相應(yīng)的圖像平滑結(jié)果之后。

圖1 圖像1及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖2 從圖1各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖3 圖像2及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖4 從圖3各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖5 圖像3及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖6 從圖5各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖7 圖像4及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖8 從圖7各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖9 圖像5及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖10 從圖9各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖11 圖像6及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖12 從圖11各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

因為沒有關(guān)于“真實平滑圖像”的明確定義,所以客觀評價指標(biāo)(峰值信噪比(PSNR)、結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)等)不能使用。文獻(xiàn)[35]中給出了一種得到“真實平滑圖像”的方法,即從現(xiàn)有的多種圖像平滑結(jié)果中主觀選出一幅最滿意的圖像作為“真實平滑圖像”,并以此為標(biāo)準(zhǔn)來定義“真實平滑圖像”,該方法具有一定的局限;由于現(xiàn)有方法不一定能取得較好的結(jié)果,如果從現(xiàn)有方法的平滑結(jié)果中選擇其中一種平滑結(jié)果作為真實圖像,則該圖像不能作為“真實平滑圖像”，而只是“主觀的真實平滑圖像”。下面主要采用主觀評價方法對算法平滑結(jié)果進(jìn)行比較。邊緣保持圖像平滑算法應(yīng)該具有如下的特征：首先,在平滑圖像中,主要的邊緣應(yīng)該被保留；第二,在平滑圖像中,低對比度和高對比度的紋理應(yīng)該被平滑?？梢酝ㄟ^上述兩點判斷平滑圖像的質(zhì)量。通過觀察實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn),算法WLS、 Fast WLS、Diffusion WLS的濾波效果并不好,這些算法通過最小化一個目標(biāo)函數(shù)得到平滑圖像,目標(biāo)函數(shù)中包括一項數(shù)據(jù)忠誠項和一項正則項,傾向于平滑那些有著較小圖像梯度的像素點,也會平滑低對比度的邊緣,且不能有效平滑高對比度的紋理(可以很清楚的從圖5與圖6(c)-6(e)中看出);算法LL的圖像平滑效果也不好,該算法不能很好地濾除圖像中高對比度的紋理；算法LL使用一個全局閾值區(qū)分高對比度的邊緣和低對比度的紋理,因為算法會將高對比度的紋理判斷為邊緣,故該算法不能平滑高對比度的紋理；算法EAW的圖像平滑結(jié)果也不佳,在平滑圖像中有很多高對比度和低對比度的紋理,該算法可以保留主要的邊緣,但是算法處理紋理的能力不強(qiáng)；算法LE的圖像平滑結(jié)果同樣不好,該算法依賴局部極小值和極大值估計一個最小和最大包絡(luò),平滑圖像是2個包絡(luò)的平均,當(dāng)圖像中的紋理非常復(fù)雜時,采用平均的方法不能有效地濾除這些紋理；與前述算法相比,算法l0和TF的圖像平滑效果較好,這2個算法可以平滑一些高對比度的紋理并保留主要的邊緣,但是,當(dāng)圖像中的紋理具有很高的對比度時,算法l0的濾波效果就會變得不好(這可以從圖9(b)和圖10(b)中看出來)；算法l1的圖像平滑能力一般(從各圖的圖(j)中可以看出),盡管在平滑圖像中保留了主要的邊緣,但是平滑圖像中卻存在很多紋理,因為算法l1使用l1范數(shù)描述平滑圖像中像素對顏色差值且基于l1范數(shù)的算法并不能保證算法解的稀疏性,從而在平滑圖像中有很多具有不同顏色值的像素對；文中所提算法的圖像平滑結(jié)果較好,該算法可以有效地濾除紋理并保留主要邊緣,因為該算法中使用了重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù),得到的解更加“稀疏”,在平滑圖像中有著更少的具有不同顏色值的像素對,證明使用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)可以明顯改善算法l1的圖像平滑結(jié)果。

采用5分制對10種平滑算法在6幅實驗圖像上的平滑結(jié)果進(jìn)行了評分。5分制中分?jǐn)?shù)和平滑效果的對應(yīng)關(guān)系為：5,很好；4,好；3,一般；2,差；1,很差。評分結(jié)果如表2所示,同時在表2中(第2列)給出了圖像的主要特征。從實驗結(jié)果可以看出,對于含有強(qiáng)紋理和復(fù)雜紋理的圖像,文中所提算法可以取得最優(yōu)的結(jié)果,而對于含有弱邊緣的圖像,文中所提算法會濾除其中的一些弱邊緣。

表2 10種圖像平滑算法的得分

4 結(jié)論

文中提出了一種新的基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)的邊緣保持圖像平滑算法。原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法使用l1范數(shù)衡量平滑后圖像中局部鄰域內(nèi)像素點差值的稀疏性,其平滑結(jié)果中仍然存在較多的紋理。為了減少平滑后圖像中的紋理,提出的算法將原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法與重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化進(jìn)行了結(jié)合,通過使用重加權(quán)方法使得解更加稀疏,即使得平滑后圖像中局部鄰域內(nèi)像素點差值更小。實驗結(jié)果表明,和原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法以及其他的圖像平滑算法相比,該算法可以更加有效地平滑圖像。所提算法的平滑圖像中紋理殘留較少。