矩陣的中心化子及其維數(shù)

夏衛(wèi)東，吳月柱

（常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

1 引言

Mn(C)表示復(fù)數(shù)域C上所有n×n矩陣的全體.Mn(C)對(duì)數(shù)與矩陣的乘法及矩陣的乘法構(gòu)成線性空間.

定義1.1 給定一個(gè)n階方陣A，稱C(A)={B ∈Mn(C)BA=AB} 為矩陣 A 的中心化子.

容易驗(yàn)證，C(A)是Mn(C)的一個(gè)子空間.本文將確定C(A)，給出C(A)的基及維數(shù).

矩陣的中心化子是有趣的問(wèn)題，它不僅與古典矩陣對(duì)的相似標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題密切相關(guān)[1-3]，而且在表示論中起著非常重要的作用.在文獻(xiàn)[3]中，作者利用Weyr矩陣得到了矩陣中心化子的基底及其維數(shù).本文將在第二節(jié)給出Jordan矩陣中心化子的基及維數(shù)，在第三節(jié)利用相似變換確定一般方陣的中心化子及其維數(shù).

首先回憶Jordan塊及Jordan矩陣的定義.

定義2.1 形如的矩陣稱為Jordan塊，其中λ是復(fù)數(shù).

定義2.2 由若干個(gè)Jordan塊組成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣稱為Jordan矩陣，即形如的矩陣，其中為Jordan塊.

為確定Jordan矩陣的中心化子及其維數(shù)，需要下面的兩個(gè)引理.

2 Jordan矩陣的中心化子及其維數(shù)

引理2.3 設(shè)Jn為n階Jordan塊，則

進(jìn)而dim C(Jn)=n.

證明設(shè) A=(aij)為與Jn交換的任意n階方陣，即 A Jn=JnA.

計(jì)算可得

上式中對(duì)應(yīng)的元素相等，可得：

引理2.4 設(shè)Jn、Jm為兩個(gè)Jordan塊，A為m×n矩陣.令S={A-A Jn=JmA}. 則dim S=min{m ,n}.更確切地，

（1）若 m

進(jìn)而dim S=m.

（2）若 m>n，則

證明設(shè)A=()aijm×n為滿足 A Jn=JmA 的矩陣

（1）當(dāng)m

計(jì)算可得

上式中對(duì)應(yīng)的元素相等，可得：

記

容易驗(yàn)證 β1(m,n)，β2(m,n)，…，βn(m,n)是S的一組基.所以dim S=m.

（2）當(dāng)m>n 時(shí)，由 Am×nJn=JmAm×n，可得

計(jì)算可得

上式中對(duì)應(yīng)的元素相等，可得：

因此

記容易驗(yàn)證 γ1(m,n)，γ2(m,n)，…，γn(m,n)是S的一組基.所以dim S=n.

綜上所述，dim S=min{m,n.}

定理2.5 設(shè)為Jordan矩陣.則

證明設(shè)與J交換.由 XJ=JX，得

即

上式中對(duì)應(yīng)的子塊相等，可得

下面分情況確定滿足（*）式的Xij.

當(dāng)i>j，此時(shí) ki

當(dāng)ikj.由引理2.4得

3 方陣的中心化子及其維數(shù)

定義3.1 設(shè) A ，B為n階矩陣，如果存在n階可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則稱 A 與B相似，記為A～B.

眾所周知，復(fù)數(shù)域C上任一方陣A都與一個(gè)Jordan矩陣相似.本節(jié)將確定復(fù)數(shù)域上任意方陣的中心化子及其維數(shù)，為此需要下面的引理.

引理3.2 若 A，B相似，即存在可逆矩陣 P ，使得 P-1AP=B.則 P-1C(A) P=C(B).進(jìn)而dim C(A)=dim C(B).

由上面的引理及定理2.5可得下面的定理.

定理3.3 設(shè) A為復(fù)數(shù)域上任意n階方陣.設(shè) P為可逆矩陣滿足 A=P-1JP,其中則

（1）C(A)=P-1C(J) P;

[1]徐運(yùn)閣，馬曉靜.矩陣對(duì)的相似標(biāo)準(zhǔn)形[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（1）：104-107.

[2]章超.矩陣中心化子[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009（4）：325-328.

[3]Sergeichuk V V.Canonical matrices for basic matrix problems[J].Linear algebra and its applications,2002,317(1-3):53-102.