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    一類(lèi)分?jǐn)?shù)次微分方程邊值問(wèn)題的解

    2014-06-17 05:55:38代雨杭胡平平蘇新衛(wèi)
    關(guān)鍵詞:積分算子邊值問(wèn)題不動(dòng)點(diǎn)

    代雨杭,胡平平,蘇新衛(wèi)

    (中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系,北京 100083)

    1 引 言

    本文研究下面問(wèn)題

    近幾十年來(lái),分?jǐn)?shù)次微積分算子及分?jǐn)?shù)次微積分方程因其在眾多領(lǐng)域的應(yīng)用而倍受關(guān)注,發(fā)展十分迅速[1-3].國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者致力于研究分?jǐn)?shù)次微分方程的邊值問(wèn)題. 在文獻(xiàn)[4]中,作者研究了無(wú)窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)次微分方程的邊值問(wèn)題,應(yīng)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理及對(duì)角線(xiàn)化方法,證明了其有界解的存在性.無(wú)窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)次微分方程邊值問(wèn)題無(wú)界解的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[5-6].本文在合適的Banach空間中討論問(wèn)題(1.1)的解并允許解是無(wú)界的,基于Caputo導(dǎo)數(shù)更廣泛的應(yīng)用,不同于文獻(xiàn)[5-6],問(wèn)題(1.1)中的導(dǎo)數(shù)是Caputo導(dǎo)數(shù)且階數(shù)是任意的.

    2 有關(guān)引理

    關(guān)于函數(shù)x(t)的 δ >0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)次積分和Caputo分?jǐn)?shù)次導(dǎo)數(shù)的定義可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

    引理2.1[1]分?jǐn)?shù)次微積分算子有如下性質(zhì),其中a>0是任意常數(shù).

    (1)對(duì) f∈ L1(0, a), γ>δ>0,有和

    (2)對(duì) α > 0, β > 0, f(t)∈ L1(0, a)有

    引理2.2[1]當(dāng)且僅當(dāng)f(t)=b+bt+bt2+…+btn-1,其中b∈R是常數(shù),n是大于或等于δ012n-1i的最小整數(shù).

    由引理2.2可得

    3 解的存在性

    用C(J, R)表示定義在J上的連續(xù)函數(shù)空間. 定義空間

    為證明本文的主要結(jié)果,我們需要下面的引理.

    引理3.1[6]假設(shè)Y?X是有界集,若滿(mǎn)足以下條件,則Y是相對(duì)緊集.

    (2)任給 ε >0,存在 T =T(ε)>0,使對(duì)任意 t1, t2≥T 及 x (t)∈Y ,有

    下面給出本文的主要結(jié)果.

    定理3.1 設(shè) 有Lebesgue可積函數(shù) a (t), b(t)∈L1(J, R+)滿(mǎn)足 |f(t,x)|≤a(t)|x|+b(t),而且,2M∫0∞(1+tα-1)a(t) dt<1, ∫0∞b(t) dt<∞,則問(wèn)題(1.1)至少存在一個(gè)解.

    證 明首先注意到

    由引理2.1,引理2.2及(2.1)式易知(1.1)等價(jià)于下面的積分方程.

    定義算子T如下:

    則算子T的不動(dòng)點(diǎn)即是(1.1)的解.下面驗(yàn)證T滿(mǎn)足Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的條件.

    首先,T:U→U.事實(shí)上,對(duì) x(t)∈U,由條件及(3.1)(3.2)可知

    所以T:U→U.

    T是連續(xù)的算子.事實(shí)上,對(duì)任意的x, y∈U有由Lebesgue控制收斂定理可得T是連續(xù)算子.

    下面證明對(duì)Y?X是有界集,則TY是相對(duì)緊集,即證TY滿(mǎn)足引理3.1.

    首先設(shè) I?J是緊區(qū)間,t1, t2∈I, t1

    另一方面,由可積函數(shù)的絕對(duì)連續(xù)性得:任意ε>0,存在L>0,使得

    同時(shí),存在T1>0,使得t1, t2≥T1時(shí)有

    又存在T2>L>0,使得t1, t2≥T2, s∈[0, L]時(shí)有

    令 T>max{T1, T2},則當(dāng)t1, t2≥ T 時(shí),由(3.3)(3.4)(3.5)可得

    所以易知引理3.1的(2)滿(mǎn)足.

    由上述證明可知,T滿(mǎn)足Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的條件,所以T在X中有不動(dòng)點(diǎn),即(1.1)存在解.

    [1]Kilbas A A,Srivastava H M,Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Amsterdam:Elsevier B V,2006.

    [2]Podlubny I.Fractional Differential Equations,Mathematics in Science and Engineering(vol 198)[M].New York/London:Academic Press,1999.

    [3]Samko S G,Kilbas A A,Marichev O I.Fractional Integrals and Derivatives:Theory and Applications[M].Yverdon:Gordon and Breach,1993.

    [4]Arara A,Benchohra M,Hamidi N,et al.Fractional order differential equations on an unbounded domain[J].Nonlinear Anal,2010,72:580-586.

    [5]Zhao X K,Ge W G.Unbounded solutions for a fractional boundary value problem on the infinite interval[J].Acta Appl Math,2010,109:495-505.

    [6]Su X W,Zhang S Q.Unbounded solutions to a boundary value problem of fractional order on the half-line[J].Comput Math Appl,2011,61:1079-1087.

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