逆向選擇條件下帶甄別期的最優(yōu)保險設(shè)計

胡振華 孫巧

摘? ?要：為了改善信息不對稱對保險市場交易效率的影響，分投保人為兩種及兩種以上風(fēng)險類型建立了帶甄別期的保險契約模型，指出可以利用投保人在甄別期的風(fēng)險發(fā)生情況來推斷投保人的風(fēng)險類型。帶甄別期的保險契約是指：自保險合同生效之日起的一段時間內(nèi)（甄別期），如果投保人發(fā)生風(fēng)險，保險公司將給予一定的賠償，甄別期過后，如果投保人再次發(fā)生風(fēng)險，保險公司將不再給予任何賠償;如果投保人在甄別期未發(fā)生風(fēng)險，而在甄別期之后的剩余保險期發(fā)生風(fēng)險，保險公司仍然給予與上述情況相同的賠償。證明指出效用最優(yōu)時帶甄別期的保險契約不比R-S傳統(tǒng)部分保險契約差，并給出了前者是后者嚴(yán)格帕累托改進(jìn)的充分條件。此外，對于兩種以上風(fēng)險類型情形，證明了滿足對次低風(fēng)險投保人的激勵相容約束是滿足對其余高風(fēng)險投保人激勵相容約束的一個充分不必要條件，并給出了相應(yīng)的充分條件，進(jìn)一步指出該充分條件的集合恰是帶甄別期的保險契約能夠產(chǎn)生分離均衡的一個充分條件。最后，以一個算例說明確實存在效用最優(yōu)時帶甄別期的保險契約是R-S傳統(tǒng)部分保險契約的嚴(yán)格帕累托改進(jìn)情形。

關(guān)鍵詞：信息不對稱;逆向選擇;最優(yōu)保險設(shè)計;甄別期;帕累托改進(jìn)

中圖分類號：F840? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1674-2265（2021）05-0044-09

DOI：10.19647/j.cnki.37-1462/f.2021.05.007

一、引言

事前非對稱信息的存在常常引發(fā)降低市場交易效率的逆向選擇問題，所謂逆向選擇，是指由交易雙方事前非對稱信息所導(dǎo)致的市場中“劣質(zhì)品驅(qū)逐優(yōu)質(zhì)品”的資源配置扭曲現(xiàn)象。首先提出逆向選擇問題的是Akerlof（1970）[1]，他通過對舊車市場的研究中指出：“在舊車市場中，賣家比買家更了解舊車的質(zhì)量，而買家通常無法做到對舊車質(zhì)量的準(zhǔn)確認(rèn)識，而只了解同類舊車的平均質(zhì)量，因此，理智的買家只愿意按照舊車的平均質(zhì)量提供報價，此時質(zhì)量高于同類平均質(zhì)量的舊車因買價太低而無法成交，高質(zhì)量的舊車被迫退出市場，預(yù)期到這一點，買家所愿意支付的價格隨著舊車平均質(zhì)量的不斷下降而進(jìn)一步減少，如此循環(huán)下去，相對高質(zhì)量的舊車將不斷退出市場，市場趨于萎縮，只有極少數(shù)低質(zhì)量的舊車得以成交，帕累托最優(yōu)交易量無法實現(xiàn)”。保險市場也存在類似的現(xiàn)象。在保險市場中，不同投保人的風(fēng)險程度各不相同，通常投保人清楚知道自己的風(fēng)險類型，而保險公司只能通過相應(yīng)的技術(shù)手段掌握保險市場中投保人的平均風(fēng)險程度，并以此為依據(jù)確定平均保險費率。根據(jù)等價交換的原則，顯然平均保險費率高于低風(fēng)險投保人應(yīng)當(dāng)支付的保險費率，而低于高風(fēng)險投保人應(yīng)當(dāng)支付的保險費率，相當(dāng)于低風(fēng)險投保人補(bǔ)貼了高風(fēng)險投保人的部分風(fēng)險，風(fēng)險之差越大逆向選擇越有可能發(fā)生。當(dāng)?shù)惋L(fēng)險投保人投保較不投保是一個劣策略時，其被迫退出保險市場，此時保險公司不得不進(jìn)一步提高保險費率，而這又將阻礙了次低風(fēng)險投保人購買保險，保險公司面臨的賠付風(fēng)險再次加大，保險費率再次提高。如此循環(huán)下去，市場均衡時只有較高風(fēng)險類型的投保人購買保險，較低風(fēng)險類型的投保人將陸續(xù)退出市場，即出現(xiàn)高風(fēng)險投保人驅(qū)逐低風(fēng)險投保人的逆向選擇現(xiàn)象，嚴(yán)重影響保險市場的資源配置效率，使保險交易水平無法達(dá)到對稱信息時的帕累托最優(yōu)交易水平。

保險市場逆向選擇問題最經(jīng)典的研究出自Rothschild和Stiglitz（1976）[2]，他們構(gòu)建了保險市場純逆向選擇的標(biāo)準(zhǔn)模型，即R-S基本保險模型，對保險市場逆向選擇問題的研究作出了突出貢獻(xiàn)，證明了在純逆向選擇的保險市場中，如果均衡存在，則一定是分離均衡，即高風(fēng)險投保人獲得完全保險，而低風(fēng)險投保人只能被部分保險。隨后，不少學(xué)者對R-S基本模型作了擴(kuò)展研究。首先是對“均衡契約可能不存在”的研究。Wilson（1977）[3]在重新定義R-S基本模型的均衡之后指出保險市場始終存在著混同均衡;Spence（1978）[4]在Wilson的基礎(chǔ)上增加了保險公司可提供保險菜單合約的假設(shè)后，得到了存在交叉補(bǔ)貼的均衡契約。其次是對“均衡契約能否達(dá)到帕累托最優(yōu)”的研究。盡管Wilson（1977）[3]和Spence（1978）[4]解決了均衡契約可能不存在的問題，但它們都指出在非對稱信息條件下低風(fēng)險投保人只能被部分保險，帕累托最優(yōu)均衡始終無法實現(xiàn)，其他研究中也得到相同結(jié)論（Cooper和Hayes，1987;Wambach，2000;Villeneuve，2003）[5-7]。再次是對“均衡契約帕累托效率改進(jìn)”的研究。由于均衡契約在非對稱信息條件下無法達(dá)到帕累托最優(yōu)，故而有學(xué)者將目光轉(zhuǎn)到帕累托效率的改進(jìn)研究中，他們分別將低賠期、免賠期、試用期、免賠額和保證金等信息甄別工具引入R-S基本模型，提高了對投保人風(fēng)險類型的甄別效率，使均衡契約的帕累托效率得以改進(jìn)（Ma等，2015;Eeckhoudt等，1988;Spreeuw，2005;Spreeuw和Karlsson，2009）[8-11]，還有一些學(xué)者將R-S單期靜態(tài)模型擴(kuò)展為多期動態(tài)模型，主張通過前一期的風(fēng)險發(fā)生情況調(diào)整下一期的保費和賠付，也能起到對投保人風(fēng)險類型的甄別作用，這其中最為經(jīng)典的研究當(dāng)屬Janssen和Karamychey（2010）[12]的多期重復(fù)交易的保險契約設(shè)計：將R-S基本模型所描述的保險交易重復(fù)多次，并根據(jù)前面各期的風(fēng)險發(fā)生情況調(diào)整本期的保費和賠付，研究發(fā)現(xiàn)高風(fēng)險投保人仍然能夠得到完全保險，而低風(fēng)險投保人盡管仍然是部分保險，但多期動態(tài)均衡的效用嚴(yán)格大于單期靜態(tài)均衡的效用，說明多期保險契約較單期而言是一個嚴(yán)格的帕累托改進(jìn)，這一結(jié)論在其他文獻(xiàn)中（Dionne等，1994;Francisco，1999）[13-14]也得到了廣泛印證。

從文獻(xiàn)回顧中了解到，多期保險契約通常是單期保險契約簡單加總的嚴(yán)格帕累托改進(jìn)，這是因為多期保險契約能夠根據(jù)前一期的風(fēng)險發(fā)生情況動態(tài)調(diào)整下一期的保費和賠付，由于風(fēng)險發(fā)生者比未發(fā)生者更可能是高風(fēng)險投保人，故而可以起到信息甄別的作用。然而，多期保險契約存在以下缺點：其一，高風(fēng)險投保人可以選擇購買單期保險合同，而低風(fēng)險投保人卻不得不同時購買多期保險合同，相當(dāng)于低風(fēng)險投保人為更接近本身應(yīng)該獲得的效用而不得不購買多期保險，顯然有失公平原則;其二，多期保險契約是保險期相等的單期保險契約的簡單加和，要求前后保險期相等顯然存在不足，放開這一點對于低風(fēng)險投保人的效用很可能是一種帕累托改進(jìn)。結(jié)合這兩點，本文考慮在單期保險契約的基礎(chǔ)上引入可變的甄別期，并根據(jù)投保人在甄別期的風(fēng)險發(fā)生情況調(diào)整剩余保險期的賠付。值得注意的是，R-S基本保險模型假設(shè)投保人在保險期內(nèi)賠付至多一次，而本文假設(shè)：投保人在甄別期內(nèi)賠付至多一次，在剩余保險期內(nèi)賠付同樣至多一次，且前后發(fā)生風(fēng)險的損失相等、賠付相等。于是，帶甄別期的保險契約是指：自保險合同生效之日起的一段時間內(nèi)（甄別期），如果投保人發(fā)生風(fēng)險，保險公司將給予一定的賠償，甄別期過后，如果投保人再次發(fā)生風(fēng)險，保險公司將不再給予任何賠償;如果投保人在甄別期未發(fā)生風(fēng)險，而在甄別期之后的剩余保險期發(fā)生風(fēng)險，保險公司仍然給予與上述情況相同的賠償。

較R-S傳統(tǒng)部分保險契約，本文的創(chuàng)新主要有以下幾點：

一是引入甄別期作為投保人風(fēng)險類型的信息甄別工具，證明了帶甄別期的保險契約不劣于R-S傳統(tǒng)部分保險契約，并給出前者是后者嚴(yán)格帕累托改進(jìn)的一個充分條件，最后以一個算例說明確實存在低風(fēng)險投保人效用最優(yōu)時帶甄別期的保險契約是R-S傳統(tǒng)部分保險契約、低賠期保險契約、免賠期保險契約以及保證金保險契約的帕累托改進(jìn)情形。

二是將甄別期保險模型擴(kuò)展至投保人兩種以上風(fēng)險類型的情形，證明指出在給定充分條件成立的情況下，滿足對次低風(fēng)險類型投保人的激勵相容約束是滿足對其余高風(fēng)險類型投保人激勵相容約束的一個充分不必要條件，即只要各種風(fēng)險類型的投保人分別滿足與次低風(fēng)險類型投保人的激勵相容約束，則所有風(fēng)險類型的投保人均是兩兩激勵相容的。

三是對于投保人兩種以上風(fēng)險類型的情形，證明了帶甄別期的保險契約不劣于傳統(tǒng)部分保險契約，并在上述充分條件成立的情況下，一方面給出了前者是后者嚴(yán)格帕累托改進(jìn)的一個充分條件，另一方面還證明了上述充分條件的集合恰是帶甄別期的保險契約能夠產(chǎn)生分離均衡的一個充分條件。

二、逆向選擇條件下傳統(tǒng)部分保險契約模型（R-S基本保險模型）

首先簡單介紹R-S基本保險模型的主要內(nèi)容。

本文以財產(chǎn)保險為例進(jìn)行討論，并站在低風(fēng)險投保人的立場上設(shè)計保險契約。假設(shè)在完全競爭的保險市場中，存在高、低兩種風(fēng)險類型的投保人，他們未發(fā)生風(fēng)險時的收入是[x1]，發(fā)生風(fēng)險后的收入是[x2x20]，[0≤t≤T]，由概率函數(shù)易知[pH0=pL0]

[=0]。高、低風(fēng)險類型的投保人在保險期[T]發(fā)生風(fēng)險的概率分別是[pHT]、[pLT]，簡記為[pH]、[pL]。假設(shè)在任意時刻[tt>0]，均有[pHt>pLt>0]，則有[1>pH>pL>0]，又因為[pH0=pL0=0]，可以推斷出[p′H0>p′L0>0]。進(jìn)一步假設(shè)高、低風(fēng)險類型投保人的V-N-M效用函數(shù)分別是[uH]和[uL]，考慮二者都是風(fēng)險厭惡型的投保人，因此滿足[u′?>0]，[u″?<0]。此外，假設(shè)保險公司是風(fēng)險中性的。

在對稱信息條件下，保險公司將分別向高、低風(fēng)險類型投保人提供完全保險[k*H，Δx*]和[k*L，Δx*]，[Δx*]是賠付，[k*H]、[k*L]則分別是高、低風(fēng)險類型投保人購買保險所需支付的保費。保險合同[k*i，Δx*]（其中，[i=H，L]）由最優(yōu)化模型（[i]）確立：

[maxk，ΔxUi=1-piuix1-k+piuix2-k+Δxis.t.1-pik+pik-Δx≥0k，Δx≥0]

顯然，投保人效用最優(yōu)時保險公司的參與約束應(yīng)取等號，即[k=piΔx]，代入目標(biāo)函數(shù)消去[k]，不難知道目標(biāo)函數(shù)[Ui]是關(guān)于[Δx]的一元函數(shù)，對[Δx]求導(dǎo)得：

[?Ui?Δx=-pi1-piu′ix1-piΔx+pi1-piu′ix2+1-piΔx=pi1-piu′ix2+1-piΔx-u′ix1-piΔx]

由于過度保險會產(chǎn)生道德風(fēng)險問題，原則上賠付不應(yīng)大于損失，故[Δx≤x1-x2]。再因為[u″?<0]，不難知道[?Ui?Δx>0]，所以效用最優(yōu)時[Δx*=x1-x2]，即在對稱信息條件下高、低風(fēng)險類型的投保人均能獲得完全保險，[k*i=pi×Δx*]，[i=H，L]。

在非對稱信息條件下，保險公司無法準(zhǔn)確獲取投保人的風(fēng)險類型，如果繼續(xù)提供在對稱信息條件下的完全保險[k*H，Δx*]和[k*L，Δx*]，由于[k*H>k*L]，而賠付[Δx*]不變，因此理智的高風(fēng)險投保人一定會采用偽裝策略而選擇[k*L，Δx*]，此時保險公司虧損[k*H-k*LΔx]，迫使其不得不停止向低風(fēng)險投保人提供完全保險[k*L，Δx*]，這時為滿足與高風(fēng)險投保人的激勵相容約束，保險公司向低風(fēng)險投保人提供的只能是部分保險。因此，保險公司提供如下一組保險合同：其一，為潛在的高風(fēng)險投保人提供與其在對稱信息下相同的完全保險[k*H，Δx*];其二，為潛在的低風(fēng)險投保人提供滿足與高風(fēng)險投保人激勵相容約束的部分保險[k，Δx]，[k]是部分保險的保費，[Δx]是部分保險的賠付。保險合同[k，Δx]由最優(yōu)化模型（L0）確立：

[maxk，ΔxUL0=1-pLuLx1-k+pLuLx2-k+ΔxL0s.t.1-pHuHx1-k+pHuHx2-k+Δx≤U*H1-pLk+pLk-Δx≥0k，Δx≥0（1）（2）]

模型（L0）的目標(biāo)函數(shù)是低風(fēng)險投保人購買部分保險時的效用最大化。約束條件（1）式是指該部分保險契約須滿足與高風(fēng)險投保人的激勵相容約束，即高風(fēng)險投保人冒充低風(fēng)險投保人而購買部分保險的效用不大于其直接購買保險公司為自身風(fēng)險類型所準(zhǔn)備的保險契約[k*H，Δx*]。其中：

[U*H=1-pHuHx1-k*H+pHuHx2-k*H+Δx*]

約束條件（2）式是保險公司為低風(fēng)險投保人提供部分保險的參與約束，即保險公司提供保險的期望效用不小于零，在完全競爭的保險市場中，保險公司提供保險所產(chǎn)生的福利由投保人完全獲取，提供保險這一過程無法直接給保險公司帶來利潤，效用最優(yōu)時顯然（2）式取等號。

假設(shè)能夠產(chǎn)生分離均衡的最優(yōu)保險契約是存在的，那么它必然是由（1）、（2）兩式取等號所確定的交點[k，Δx]所決定。一方面，如果（1）式不取等號，那么激勵相容約束就沒有意義，低風(fēng)險投保人的效用仍然存在改進(jìn)空間，直到（1）式取等號，在滿足高風(fēng)險投保人激勵相容約束的前提下，所確定的保險契約給低風(fēng)險投保人帶來的效用達(dá)到最優(yōu)。另一方面，只有當(dāng)保險公司提供保險所產(chǎn)生的福利由投保人完全獲取時，所確定的保險契約給低風(fēng)險投保人帶來的效用達(dá)到最優(yōu)，因此（2）式同樣取等號，即處于完全競爭的保險市場。不難知道低風(fēng)險投保人效用最優(yōu)時，有[k

為了加深理解，給出R-S基本保險模型的幾何分析。如圖1，橫坐標(biāo)表示投保人未發(fā)生風(fēng)險時的收入情況，縱坐標(biāo)表示投保人發(fā)生風(fēng)險后的收入情況，初始點設(shè)為[Ax1，x2]，[x1]是未發(fā)生風(fēng)險的收入，[x2]是發(fā)生風(fēng)險之后的收入，該處由于保費[k=0]，說明[Ax1，x2]代表不投保狀態(tài)。此外，由于45°線上橫縱坐標(biāo)相等，說明投保人在購買保險之后發(fā)生風(fēng)險與不發(fā)生風(fēng)險的收入相等，即線上任一點均表示完全保險。

在對稱信息條件下，對于高風(fēng)險投保人，由于其效用最優(yōu)時獲得完全保險，即合同應(yīng)在45°線上。另外，因為保險公司的零利潤線由[k*H=pH×Δx*]確定，且過定點[Ax1，x2]，由此可唯一確定保險公司的零利潤線，與45°線相交之處便是保險合同[k*H，Δx*]，該點記為[Hx1-k*H，x2-k*H+Δx*]，線段AH是保險公司為高風(fēng)險投保人提供保險的零利潤線。此外，由于高風(fēng)險投保人的無差異曲線簇彼此平行，說明過H點的無差異曲線有且僅有一條，代表著高風(fēng)險投保人購買保險所能獲得的最大效用，記為[U*H]。同理，對于低風(fēng)險投保人，可以確定[Lx1-k*L，x2-k*L+Δx*]，以及其購買保險所能獲得的最大效用[U*L]。值得一提的是，對于高風(fēng)險投保人，線段AH并非無差異曲線[U*H]在H點的切線，且在無差異曲線[U*H]上做與線段AH平行的切線，切點應(yīng)位于45°線的上方、線段AH的下方。對于低風(fēng)險投保人，亦是如此。

在非對稱信息條件下，比較合同[k*H，Δx*]和[k*L，Δx*]，同等賠付[Δx*]而保費[k*H>k*L]，因此，高風(fēng)險投保人有動機(jī)偽裝成低風(fēng)險類型而選擇購買[k*L，Δx*]，其無差異曲線由[U*H]向右上方移至[U**H]，偽裝使其效用增加。此時，保險公司虧損保費[pH-pLΔx]，迫使其停止提供合同[k*L，Δx*]，而提供滿足對高風(fēng)險投保人激勵相容約束的合同[Bx1-k，x2-k+Δx]，因為B點位于無差異曲線[U*H]上，所以高風(fēng)險投保人偽裝成低風(fēng)險類型是沒有必要的。此時，低風(fēng)險投保人的無差異曲線由[U*L]向左下方移至[U**L]，因此非對稱信息的存在犧牲了低風(fēng)險投保人的部分效用。值得一提的是，即便如此，保險公司所提供的H合同和B合同仍不是分離均衡，有兩點原因：其一，盡管高風(fēng)險投保人選擇B點未給其自身帶來效用上的提升，但同時也沒有減少，因此仍不能排除偽裝行為，偽裝將導(dǎo)致保險公司虧損[pH-pLΔx];其二，相較于B點，低風(fēng)險投保人選擇H點有可能帶來效用上的提升。由于高風(fēng)險投保人選擇B點不利己，甚至面臨信譽(yù)損失，于是本文不考慮前者，而把是否分離均衡歸因于后者。

三、逆向選擇條件下帶甄別期的保險契約模型：兩種風(fēng)險類型情形

本模塊延續(xù)R-S基本保險模型的相關(guān)變量設(shè)定和基本假設(shè)，不同的是，為了提高投保人風(fēng)險類型的信息甄別效率，保險公司提供下列一組保險合同：（1）為潛在的高風(fēng)險類型投保人提供與對稱信息條件時相同的完全保險合同[k*H，Δx*];（2）為潛在的低風(fēng)險類型投保人提供帶甄別期的保險合同[tL，kL，ΔxL]。合同規(guī)定：自保險合同生效之日起的一段時間內(nèi)（甄別期），如果投保人發(fā)生風(fēng)險，保險公司將給予一定的賠償，甄別期過后，如果投保人再次發(fā)生風(fēng)險，保險公司將不再給予任何賠償;如果投保人在甄別期未發(fā)生風(fēng)險，而在甄別期之后的剩余保險期發(fā)生風(fēng)險，保險公司仍然給予與上述情況相同的賠償。值得注意的是，為了與R-S傳統(tǒng)部分保險契約做比較，須保證二者的口徑一致，于是假設(shè)投保人如果在整個保險期間都未發(fā)生風(fēng)險，期末收入設(shè)為[x1];如果在甄別期或者剩余保險期任一發(fā)生風(fēng)險，期末收入設(shè)為[x2x2

低風(fēng)險投保人帶甄別期的保險契約[tL，kL，ΔxL]由最優(yōu)化模型（L1）確立：

[maxt，k，ΔxUL1=1-pLt1-pL+pLtuLx1-k+pL-pLtuLx2-k+Δx+pLt1-pL+pLtuLx2-k+Δx+pL-pLtuL2x2-x1-k+Δx? ? ? ? ? ? ? （3）L1s.t.1-pHt1-pH+pHtuHx1-k+pH-pHtuHx2-k+Δx+pHt1-pH+pHtuHx2-k+Δx+pH-pHtuH2x2-x1-k+Δx≤U*H 1-pLt1-pL+pLtk+pL-pLtk-Δx+pLtk-Δx≥0k≥0;Δx≥0;T≥t≥0（4）]

模型（L1）的目標(biāo)函數(shù)表示低風(fēng)險投保人購買帶甄別期的保險合同[tL，kL，ΔxL]時所獲得的最大效用;約束條件（3）式表示高風(fēng)險投保人偽裝成低風(fēng)險投保人購買帶甄別期的保險合同[tL，kL，ΔxL]給他帶來的效用不大于保險公司為其準(zhǔn)備對稱信息條件下相同的完全保險合同[k*H，Δx*]給他帶來的效用，即滿足對高風(fēng)險投保人的激勵相容約束;約束條件（4）式表示保險公司提供保險的參與約束，左式代表保險公司的利潤，在完全競爭的保險市場中，保險所產(chǎn)生的福利被投保人完全獲取，保險公司的利潤為零。

注意到當(dāng)[t=0]時，模型（L1）即是模型（L0），因此模型（L0）是模型（L1）的一種特例，故而得定理1。

定理1：非對稱信息條件下，低風(fēng)險投保人效用最優(yōu)時帶甄別期的保險契約不劣于R-S傳統(tǒng)部分保險契約。

盡管定理1揭示了本文所建立的帶甄別期的保險契約不比R-S傳統(tǒng)部分保險契約差，但若不是效用的嚴(yán)格帕累托改進(jìn)則理論價值就不大，因此，還需進(jìn)一步比較二者的優(yōu)劣。接下來，定理2給出了帶甄別期的保險契約嚴(yán)格優(yōu)于R-S傳統(tǒng)部分保險契約的一個充分條件。

定理2：本文所確立的帶甄別期的保險契約嚴(yán)格優(yōu)于R-S傳統(tǒng)部分保險契約的一個充分條件是：

[u′L?-Ap′H0pHuHφ+uHψ-2uH?p′L02-pLΔx-B

其中，[A=1-pLu′Lφ+pLu′L?]，[B=1-pHu′Hφ]

[+pHu′H?]，[φ=x1-pLΔx]，[?=x2+1-pLΔx]，[ψ=2x2-x1+1-pLΔx]，[Δx]是R-S基本保險模型（L0）效用最優(yōu)時低風(fēng)險投保人發(fā)生風(fēng)險所獲得的賠償金①。

四、逆向選擇條件下帶甄別期的保險契約模型：兩種以上風(fēng)險類型情形

現(xiàn)實中風(fēng)險類型各不相同，因此，有必要將甄別期保險模型進(jìn)行擴(kuò)展，延續(xù)兩種風(fēng)險類型情形下的基本假設(shè)，并將其推廣至[nn≥3]種風(fēng)險類型情形。假設(shè)[nn≥3]種風(fēng)險類型的投保人如果在整個保險期間都未發(fā)生風(fēng)險，期末收入設(shè)為[x1];如果在甄別期或者剩余保險期任一發(fā)生風(fēng)險，期末收入設(shè)為[x2（0]，[0≤t≤T]，易知[pi0=0]，在保險期[T]發(fā)生風(fēng)險的概率分別是[piT]，簡記為[pi]，在任意時刻[tt>0]均有[p1t>p2t>p3t>…>pnt]，又因為[pi0=0]，可以推斷[p′i0>0]。假設(shè)投保人的V-N-M效用函數(shù)分別是[ui?]，[i=1，2，3，…，n]，都屬風(fēng)險厭惡型，因此，滿足[u′?>0]，[u″?<0]。此外，假設(shè)保險公司是風(fēng)險中性的，即保險公司的期望便是效用。

對于[nn≥3]種風(fēng)險類型的投保人，保險公司提供下列一組保險合同：其一，向潛在的風(fēng)險類型為1的投保人提供與對稱信息條件時相同的完全保險合同[C1t1，k1，Δx1]，此時[t1=0]或者[t1=T]、[k1=k*H]、[Δx1=Δx*];其二，向潛在的風(fēng)險類型為[i]（[2≤i≤n]）的投保人提供帶甄別期的保險合同[Citi，ki，Δxi]。不妨假定能夠產(chǎn)生分離均衡的最優(yōu)保險合同是存在的，則帶甄別期的保險契約合同[Citi，ki，Δxi]（[2≤i≤n]）由如下最優(yōu)化模型所確立：

[maxt，k，ΔxUCi=1-pit1-pi+pituix1-k+pi-pituix2-k+Δx+pit1-pi+pituix2-k+Δx+pi-pitui2x2-x1-k+Δx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）Cis.t.1-p1t1-p1+p1tu1x1-k+p1-p1tu1x2-k+Δx+p1t1-p1+p1tu1x2-k+Δx+p1-p1tu12x2-x1-k+Δx≤UC11-p2t1-p2+p2tu2x1-k+p2-p2tu2x2-k+Δx+p2t1-p2+p2tu2x2-k+Δx+p2-p2tu22x2-x1-k+Δx≤UC2? ? ? （6）……1-pi-1t1-pi-1+pi-1tui-1x1-k+pi-1-pi-1tui-1x2-k+Δx+pi-1t1-pi-1+pi-1tui-1x2-k+Δx+pi-1-pi-1tui-12x2-x1-k+Δx≤UCi-11-pit1-pi+pitk+pi-pitk-Δx+pitk-Δx≥0k≥0;Δx≥0;T≥t≥0] 注意到當(dāng)[t=0]時，模型（[Ci]）所確立的保險合同[Ci0，ki，Δxi]等同于R-S傳統(tǒng)部分保險契約，因此，R-S基本保險模型是甄別期保險模型（[Ci]）的一個特例，得定理1#。

定理1#：對于兩種以上（[n≥3]）風(fēng)險類型情形，風(fēng)險類型為[i2≤i≤n]的投保人在效用最優(yōu)時帶甄別期的保險契約不劣于R-S傳統(tǒng)部分保險契約。

化簡（6）式，得[k≥pi+pit2-pipitΔx]，令[pi=pi+pit2-pipit]，[2≤i≤n]，以下表述的[pi]均是指相應(yīng)的[pi+pit2-pipit]。

引理1：若[2≤rps]。

證明：因為[rps]，且對于[?t∈0，T]，都有[prt>pst]。設(shè)[pi]為[x]，由于[pit]與[pi]相關(guān)，即[pit]是關(guān)于[pi]的一個函數(shù)，不妨設(shè)為[fx]。由模型假設(shè)條件知[prt>pst]，那么[f′x>0]。

于是，[y=x+fx2-xfx]，不難計算[y′=1-fx]

[+2-xf′x]，因為[pi<1]，即[x<1]，所以[y′>0]，說明[pi]是關(guān)于[pi]的一個增函數(shù)，又因為[pi]是關(guān)于[i]的減函數(shù)，不難得知[pi]是關(guān)于[i]的減函數(shù)，即若[rps]。證畢。

[maxΔx，pwUDm=1-pmt1-pm+pmtumx1-pwΔx+pm-pmtumx2+1-pwΔx+1-pm+pmtumx2+1-pwΔx+pm-pmtum2x2-x1+1-pwΔx]

[L2s.t.1-pm-1t1-pm-1+pm-1tum-1x1-pwΔx+pm-1-pm-1tum-1x2+1-pwΔx+pm-1t1-pm-1+pm-1tum-1x2+1-pwΔx+pm-1-pm-1tum-12x2-x1+1-pwΔx≤UCm-1Δx≥0，pn≤pw≤pm≤p2 （7）] 引理2：對于[?m∈2，3，4，…，n]，在[?t∈0，T]時刻，有如下最優(yōu)化模型（L2）：

則[?UDm?pw<0]成立的充分條件是

[1-pwA-emu′ma1-pwB-em-1u′m-1a

式中，[a=x1-pwΔx]，

[A=emu′ma+fm+gmu′mb+hmu′mc]，

[b=x2+1-pwΔx]，

[B=em-1u′m-1a+fm-1+gm-1u′m-1b+hm-1u′m-1c]，

[c=2x2-x1+1-pwΔx]，

[em，m-1=1-pm，m-1t1-pm，m-1+pm，m-1t]，

[fm，m-1=1-pm，m-1tpm，m-1-pm，m-1t]，

[gm，m-1=pm，m-1t1-pm，m-1+pm，m-1t]，

[hm，m-1=pm，m-1tpm，m-1-pm，m-1t]①。

定理3：在甄別期保險契約模型中，任意[n]（[≥3]）種風(fēng)險類型情形下，對于任一風(fēng)險類型為[i]（[3≤i≤n]）的投保人，若（8）式成立，則滿足對次低風(fēng)險類型投保人的激勵相容約束是滿足對其余高風(fēng)險類型投保人激勵相容約束的一個充分不必要條件①。

推論：對于任一風(fēng)險類型為[ii≥2]的投保人，若（8）式成立，本文所確立的帶甄別期的保險契約嚴(yán)格優(yōu)于R-S傳統(tǒng)部分保險契約的一個充分條件是：

[u′i?-Ap′i-10pi-1ui-1φ+ui-1ψ-2ui-1?p′i02-piΔx-B

其中，[A=1-piu′iφ+piu′i?]，[B=1-pi-1u′i-1φ+pi-1u′i-1?]，[φ=x1-piΔx]，[?=x2+1-piΔx]，[ψ=2x2-x1+1-piΔx]，[Δx]是[t=0]且效用最優(yōu)時風(fēng)險類型為[i]的投保人發(fā)生風(fēng)險所獲得的賠償金。證明同定理2，不再給出。

定理4：在[nn≥2]種風(fēng)險類型情形下，若對[?i∈2，n]風(fēng)險類型的投保人，且對[?υ∈1，i]，都有[UDiti，ki，Δxi>UDitυ，kυ，Δxυ]，其中，[UDiti，ki，Δxi]是以最優(yōu)化模型（[Ci]）的解[ti，ki，Δxi]為自變量值的函數(shù)（[Di]）的值，[UDitυ，kυ，Δxυ]是以最優(yōu)化模型（[Cυ]）的解[tυ，kυ，Δxυ]為自變量值的函數(shù)（[Di]）的值，函數(shù)（[Di]）是指：

[UDi=1-pit1-pi+pituix1-k+pi-pituix2-k+Δx+pit1-pi+pituix2-k+Δx+pi-pitui2x2-x1-k+Δx]，

則本模型所確定的帶甄別期的保險合同[C1t1，k1，Δx1]、[C2t2，k2，Δx2]，…，[Cntn，kn，Δxn]是分離均衡契約。

證明：將保險合同[ti，ki，Δxi]的值代入函數(shù)[Di]，不難知道[UDiti，ki，Δxi]恰是最優(yōu)化模型[Ci]的最大效用。因為[i>υ]，由前文知道風(fēng)險類型為[υ]的投保人比風(fēng)險類型為[i]的投保人具有更高風(fēng)險，于是[tυ，kυ，Δxυ]表示較風(fēng)險類型[i]具有更高風(fēng)險類型投保人的保險合同，若對[?υ∈1，i]，都滿足[UDiti，ki，Δxi>UDitυ，kυ，Δxυ]，則說明風(fēng)險類型為[i]的投保人不會選擇保險公司為較之高風(fēng)險類型投保人準(zhǔn)備的保險合同。又因為模型[Ci]的約束條件已有滿足對較之高風(fēng)險類型的激勵相容約束，意味著較之高風(fēng)險類型投保人也不會選擇保險公司為風(fēng)險類型為[i]的投保人準(zhǔn)備的保險合同。由此說明，保險合同[Citi，ki，Δxi]是分離均衡契約。又因為上述條件對[?i∈2，n]風(fēng)險類型的投保人都成立，所以本模型所確定的帶甄別期的保險合同[C1t1，k1，Δx1]、[C2t2，k2，Δx2]，

…，[Cntn，kn，Δxn]是分離均衡契約。證畢。

在對稱信息條件下，低風(fēng)險類型投保人效用最優(yōu)時帶甄別期的保險契約應(yīng)當(dāng)是完全保險契約，效用也應(yīng)是其投保所能獲得的最大效用。模型上表現(xiàn)為，若消去所有的激勵相容約束而僅保留保險公司的參與約束，則帶甄別期的保險契約模型應(yīng)當(dāng)與R-S傳統(tǒng)部分保險契約模型一致，否則契約的比較將沒有意義，由此得定理5。

定理5：對稱信息條件下，對于兩種及兩種以上（[n≥2]）風(fēng)險類型情形，風(fēng)險類型為[i]（[2≤i≤n]）的投保人在效用最優(yōu)時帶甄別期的保險契約是完全保險契約，保險契約模型在同等條件下與R-S傳統(tǒng)部分保險契約模型一致①。

五、甄別期保險契約與其他保險契約的比較研究：一個算例

經(jīng)市場調(diào)查分析，在完全競爭的保險市場中，投保人存在兩種風(fēng)險類型：高風(fēng)險和低風(fēng)險。兩種風(fēng)險類型的投保人如果在整個保險期間都未發(fā)生風(fēng)險，期末收入[x1=2];如果在甄別期或者剩余保險期任一發(fā)生風(fēng)險，期末收入[x2=1];如果在甄別期和剩余保險期都發(fā)生風(fēng)險，由模型假設(shè)知損失[2x1-x2=2]，于是期末收入為0。假設(shè)高、低風(fēng)險投保人風(fēng)險發(fā)生的時間分別服從參數(shù)為0.5、1的指數(shù)分布，即高、低風(fēng)險投保人在[t]時刻風(fēng)險發(fā)生的概率分別是[pHt=1-e-2t]、[pLt=1-e-t]，不妨設(shè)定保險產(chǎn)品的保險期[T=0.7]，那么高、低風(fēng)險投保人在保險期間風(fēng)險發(fā)生的概率分別是[pH=1-e-1.4]、[pL=1-e-0.7]。進(jìn)一步假設(shè)高、低風(fēng)險投保人的效用函數(shù)分別為[uHx=100001-e-1.5x]、[uLx=100001-e-x]。

驗證低風(fēng)險投保人效用最優(yōu)時帶甄別期保險契約是R-S傳統(tǒng)部分保險契約嚴(yán)格帕累托改進(jìn)的充分條件是否成立。經(jīng)計算（以下非線性規(guī)劃使用Lingo 11.0軟件計算，精確到0.0001），高風(fēng)險投保人購買完全保險合同[C1k*H，Δx*]的效用[U*H=8458.6022]，R-S基本保險模型（L0）最優(yōu)時低風(fēng)險投保人發(fā)生風(fēng)險所獲得的賠償金[Δx=0.2525]，將其代入充分條件的算式，進(jìn)一步得到（使用Maple 2018軟件計算，精確到0.0001）：

[u′L?-Ap′H0pHuHφ+uHψ-2uH?p′L02-pLΔx-B=-1.952066570×107

因此，定理2的充分條件成立，說明低風(fēng)險類型投保人效用最優(yōu)時帶甄別期的保險契約是R-S傳統(tǒng)部分保險契約的嚴(yán)格帕累托改進(jìn)。

根據(jù)題給條件及相應(yīng)數(shù)值，低風(fēng)險類型投保人帶甄別期的保險契約[tL，kL，ΔxL]由如下最優(yōu)化模型確立：

[maxUL1=104e-0.7e-0.7+1-e-t1-e-2-k+e-t-e-0.71-e-1-k+Δx+1-e-te-0.7+1-e-t1-e-1-k+Δx+e-t-e-0.71-e--k+Δx]

[L1s.t.8458.6022=104e-1.4e-1.4+1-e-2t1-e-1.52-k+e-2t-e-1.41-e-1.51-k+Δx+1-e-2te-1.4+1-e-2t1-e-1.51-k+Δx+e-2t-e-1.41-e-1.5-k+Δxk=1-e-0.7+1-e-t2-1-e-0.71-e-tΔx]

經(jīng)計算，當(dāng)[tL=0.1073]，[kL=0.3478]，[ΔxL=0.7519]

時，模型取最大值[UL1=7661.6900]，即低風(fēng)險類型投保人效用最優(yōu)時帶甄別期的保險契約能夠帶來的效用值是7661.6900，最優(yōu)時帶甄別期的保險契約[ALtL，kL，ΔxL=0.1073，0.3478，0.7519]。

由前面的分析可以知道，[t=0]時，帶甄別期的保險契約即是R-S傳統(tǒng)部分保險契約，因此令[t=0]，計算得[UL0=7603.1416]，[Ak，Δx=0.1254，0.2525]。由于[UL0

再進(jìn)一步，如果低風(fēng)險投保人效用最優(yōu)時[Δx=0]，[k=0]，說明投保人此時購買保險相比不購買保險而言是一個劣策略，效用為7475.9857。

對于兩種風(fēng)險類型情形，文獻(xiàn)[8]構(gòu)建了帶低賠期的保險模型，帶低賠期的保險契約[t，k*L，Δx，Δx*L，σ=0.2677，0.5034，0.4067，1，0.4730]，最優(yōu)效用[U=7620.3797]，帶甄別期的保險契約與其他單期保險契約的比較見表1。

從表1中數(shù)據(jù)得知，帶甄別期的保險契約不僅是R-S傳統(tǒng)部分保險契約的嚴(yán)格帕累托改進(jìn)，同時也是低賠期保險契約的嚴(yán)格帕累托改進(jìn)，說明帶甄別期的保險契約相比之前實現(xiàn)了一次較大的突破，盡管與對稱信息下的完全保險仍有不小的差距，但能預(yù)見以甄別期作為新的信息甄別工具將會為下一次保險契約的改進(jìn)帶來啟發(fā)。

六、結(jié)論

在保險實踐中，由于投保人的風(fēng)險類型各不相同，因此保險公司為其提供混同均衡契約顯然不合理，這是因為混同均衡契約容易導(dǎo)致“高風(fēng)險投保人驅(qū)逐低風(fēng)險投保人”的逆向選擇現(xiàn)象。為了保護(hù)低風(fēng)險投保人的利益，進(jìn)而提高整個投保人群體的福利，保險公司為其提供與其風(fēng)險類型匹配的分離均衡契約顯得尤為必要。但現(xiàn)實保險市場中非對稱信息的普遍存在，導(dǎo)致保險公司難以甚至無法獲取投保人風(fēng)險類型的相關(guān)信息，于是提出了通過引入信息甄別工具來應(yīng)對保險市場的逆向選擇問題。為了提高信息甄別效率，本文在R-S傳統(tǒng)部分保險契約的基礎(chǔ)上，通過引入甄別期實現(xiàn)對以往保險模型的嚴(yán)格帕累托改進(jìn)。從非對稱信息博弈的角度來看，甄別期保險模型的效率改進(jìn)源于：其一是重復(fù)博弈增加了信息量，通過觀察甄別期內(nèi)投保人的風(fēng)險發(fā)生情況來推斷其風(fēng)險類型，判斷原則是甄別期內(nèi)高風(fēng)險投保人較低風(fēng)險類型發(fā)生風(fēng)險的可能性更大，于是保險公司能夠根據(jù)甄別期的風(fēng)險發(fā)生情況來相應(yīng)調(diào)整剩余保險期的賠付;其二是可變化的甄別期，兩期保險契約模型通常是將單期保險契約簡單乘2以實現(xiàn)重復(fù)博弈，這就隱含假設(shè)了甄別期是保險期的一半，本文放開了這一假設(shè)，并通過例子證明了投保人效用最優(yōu)時甄別期并非取保險期的一半。

此外，本文將甄別期保險模型推廣至投保人兩種以上風(fēng)險類型的情形，證明指出在給定充分條件成立的情況下，滿足對低風(fēng)險類型投保人的激勵相容約束是滿足對其余高風(fēng)險類型投保人激勵相容約束的一個充分不必要條件，即只要各種風(fēng)險類型的投保人分別滿足與次低風(fēng)險類型投保人的激勵相容約束，則所有風(fēng)險類型的投保人均是兩兩激勵相容的，簡化了多種風(fēng)險類型投保人帶甄別期的保險契約設(shè)計。并在此基礎(chǔ)上，一方面給出了帶甄別期的保險契約是R-S傳統(tǒng)部分保險契約嚴(yán)格帕累托改進(jìn)的一個充分條件，另一方面還證明了此時帶甄別期的保險契約總是能夠產(chǎn)生分離均衡。

最后需要指出的是，本文所研究的是保險市場的純逆向選擇問題，而現(xiàn)實中逆向選擇與道德風(fēng)險往往同時存在，但本文并未考慮道德風(fēng)險的影響，這也給建模帶來了一個新的挑戰(zhàn)，未來的研究方向可以將道德風(fēng)險考慮進(jìn)來，研究逆向選擇與道德風(fēng)險同時存在情形的甄別期保險模型，此外還可以將本文模型由單期推廣至多期情形。

注：

①證明從略，作者備索。

參考文獻(xiàn)：

[1]Akerlof G. 1970. The Market for Lemons：Quality Uncertainty and the Market Mechanism [J].Quarterly Journal of Economics，84（3）.

[2]Rothschild M，Stiglitz J. 1976. Equilibrium in Competitive Insurance Market [J].Quarterly Journal of Economics，90（4）.

[3]Wilson C. 1977. A Model of Insurance Markets with Incomplete Information [J].Journal of Economic Theory，16（2）.

[4]Spence M，Zeckhauser R. 1978. Insurance，Information，and Individual Action [J].American Economic Review，61（2）.

[5]Cooper R，Hayes B. 1987. Multi-period Insurance Contracts [J].International Journal of Industrial Organization，5.

[6]Wambach A. 2000. Introducing Heterogeneity in the Rothschild-Stiglitz Model [J].Journal of Risk and Insurance，67（4）.

[7]Villeneuve B. 2003. Concurrence Et Antis?lection Multidimensionnelle En Assurance [J].Annales d'économie et de statistique，69.

[8]Ben-jiang Ma，C Hun-guang Qiu，Wen-jie Bi. 2015. An Insurance Contract with a Low Compensation Period under Adverse Selection [J].Information Economics and Policy，（31）.

[9]Eeckhoudt L J，F(xiàn) Outreville，M Lauwers，F(xiàn) Calcoen. 1988. The Impact of a Probationary Period on the Demand of Insurance [J].Journal of Risk and Insurance，55（2）.

[10]Spreeuw J. 2005. The Probationary Period as a Screening Device：The Monopolistic Insurer [J].Geneva Risk and Insurance Review，30（1）.

[11]Jaap Spreeuw，Martin Karlsson. 2009. Time Deductibles as Screening Devices：Competitive markets [J].The Journal of Risk and Insurance，76（2）.

[12]Janssen M C W，Karamychev V A. 2010. Dynamic insurance contracts and adverse selection [J].Journal of Risk and Insurance，72（1）

[13]Dionne G，Doherty N A. 1994. Adverse Selection，Commitment and Renegotiation：Extension to and Evidence from Insurance Markets [J].Journal of Political Economy，102（2）.

[14]Francisco J，Vazquez R，R Watt. 1999. A Theorem on Multi-period Insurance Contracts Without Commitment [J].Insurance：Mathematics and Economics，24（3）.

Optimal Insurance Design in the Screening Period Under Adverse Selection

Hu Zhenhua/Sun Qiao

（School of Business，Central South University，Changsha? ?410083，Hunan，China）

Abstract：In order to improve the impact of information asymmetry on the efficiency of insurance market transactions，an insurance contract model in the screening period is developed by dividing the insured into two and more risk types，pointing out that the risk occurrence of the insured during the screening period can be used to infer the risk type of the insured. An insurance contract in the screening period is a period of time from the date of entry into force of the insurance contract（screening period）during which the insurance company will pay a certain amount of compensation if the insured person incurs a risk，after which the insurance company will not pay any compensation if the insured person incurs a risk again. However，if the insured does not incur a risk during the screening period but does so during the remaining coverage period after the screening period，the insurer will still grant the same benefits as described above. The proof points out that the insurance contract in the screening period at utility optimum is no worse than the R-S traditional partial insurance contract and gives a sufficient condition for the former to be a strict Pareto improvement of the latter. In addition，for more than two risk types，it is shown that satisfying the incentive compatibility constraint for the next-lowest-risk policyholder is a sufficient and unnecessary condition for satisfying the incentive compatibility constraint for the remaining high-risk policyholder，and the corresponding sufficient condition is given，and it is further shown that the set of this sufficient condition is precisely a sufficient condition for an insurance contract in the screening period to produce a separation equilibrium. Finally，an arithmetic example is given to show that there does exist a strict Pareto-improvement case of insurance contracts with screening periods at the utility optimum for the R-S traditional partial insurance contracts.

Key Words：information asymmetry，adverse selection，optimal insurance design，screening period，Pareto improvement