分數(shù)的再認識，新視角下要有新高度

李軍良

[摘 要]分數(shù)的含義豐富，學(xué)生初次認識分數(shù)時，只能觸及皮毛，明白分數(shù)是部分與整體的比例就已經(jīng)很難得，但再認識分數(shù)時，就要清楚分數(shù)與它在具體情境中與所指代的實際值的對應(yīng)關(guān)系，即與整體單位“1”存在一個復(fù)雜的“三角關(guān)系”。

[關(guān)鍵詞]分數(shù);回顧;探究;深化

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0054-02

“分數(shù)的再認識”教學(xué)目標：探究分數(shù)中“部分與整體的關(guān)系”“量與率”的匹配關(guān)系;明確“單位1”直接決定分數(shù)指代的實際值;結(jié)合具體的情境，使學(xué)生明確“分數(shù)背后的‘整體不同，它所指代的實際值也有區(qū)別”，并能正確解釋分數(shù)的意義。教學(xué)重難點：指引學(xué)生明確分數(shù)背后的“整體”不同，實際值也有區(qū)別。

一、探究操作，回顧舊知

師（板書分數(shù)“1/2” ）：請大聲念誦，并舉例闡述其意義。

生1：我把一盒糖果均分成2份，取走1份，取走的部分是所有糖果的1/2……

（板書：整體與部分之間的包含關(guān)系）

師：大家在三年級就學(xué)過分數(shù)知識，都掌握得很扎實，下面將進一步揭開分數(shù)的面紗。

[活動一]拿取

師（出示兩個筆盒）：筆盒里裝有多少枝彩鉛，你們知道嗎？

師：看來大家都不知道。下面請兩位同學(xué)分別取走這兩盒彩鉛的1/2，拿到就算自己的。

（兩位男生都取走了4枝彩鉛）

師：這還有一盒彩鉛，請一位女生來取走1/2。

師：剛才男生取走的是4枝彩鉛，這位女生取走幾枝彩鉛？還會是4枝嗎？

（女生取走了3枝彩鉛）

師：比比他們拿走彩鉛的數(shù)量，有什么古怪沒有？

生2：兩位男生取走的都是一盒彩鉛的1/2，都是4枝。

師：表明他們兩位拿到手的數(shù)量相等。

生3：男生取走的彩鉛多于女生。

師：說明男生和女生拿取的數(shù)量不同。

師：你們真是火眼金睛、目光如炬，其中有什么蹊蹺嗎？

生4：同樣都是取走一盒彩鉛的1/2，為何第一次兩人得到的枝數(shù)同樣多，第二次的枝數(shù)卻與前兩人不同？

師：盒子里裝的彩鉛具體是多少呢？

（學(xué)生充分商議后，再驗證盒子的包裝容量）

師：同一個分數(shù)，背后的整體相同，它所指代的實際值也相等，背后的整體不同，所指代的實際值也不同。

[活動二]看一看

課件展示：趙華和李亮閱讀的情境圖。

師：他倆看的是同一本書嗎？

生（齊）：不是。

師：那誰看的頁碼多一些？

生1：同樣都是看了全書的1/3，對應(yīng)全書的總頁碼大，1/3所指代的頁數(shù)就多，對應(yīng)全書的總頁碼少，1/3所指代的頁數(shù)就少。

師：大膽假設(shè)。假若趙華看了全書的50頁，李亮看了全書的5頁，你們知道李亮所看的書的總頁碼是多少嗎？趙華呢？

生2：同樣都是看了全書的1/3，看的實際頁數(shù)越多，說明1/3對應(yīng)的全書總頁碼數(shù)就越多。

師 （與剛才取走彩鉛的女生握手） ：剛才你表現(xiàn)很出色。請用一個分數(shù)來表示她拿走的彩鉛所占的份數(shù)。

師：同樣一個人，為何能用不同的分數(shù)表示呢？

生3：同一個實際值，它背后的整體不同，采用的分數(shù)也有差別。

為了揭示分數(shù)的深刻內(nèi)涵，在簡單回顧分數(shù)形式后，教師直接切入正題，通過活動讓學(xué)生切身體會到同一個分數(shù)1/2對應(yīng)的實際數(shù)量不盡相同，引發(fā)學(xué)生直觀上的認知沖突，促使學(xué)生產(chǎn)生一探究竟的解密動機。在深究下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分數(shù)背后的整體（一盒彩鉛的包裝容量）起決定性作用。接著，教師進一步升級難度，讓學(xué)生通過分析兩人看書的頁碼數(shù)，來推算全書的總頁數(shù)，同一看書進度下，1/3對應(yīng)的實際數(shù)不同，背后隱藏的總頁碼數(shù)也不同。這樣一來二去，雙向疏通，分數(shù)與整體和部分的“三角關(guān)系”展現(xiàn)得淋漓盡致。

二、動手創(chuàng)造，深化認知

課件出示：一個平面幾何圖形的1/4是一個邊長為1厘米的小正三角形，請你復(fù)原全圖。

師：請動手畫一畫。

（給學(xué)生充足的畫圖時間，然后展示學(xué)生各種各樣的畫法，并簡單解說畫圖思路）

師：一個圖形的1/4是一個邊長為1厘米的小正三角形，那么就是把原圖等分成4份，其中一份為這樣的小正三角形，4份就是4個這樣的小正三角形的拼圖，所以原圖只要含有4個這樣的小正三角形就行，形狀不限。

出示拓展題：為幫助武漢感染新冠肺炎的病人，李亮捐助了自己積蓄的1/4，馬芳捐助了自己積蓄的3/4，馬芳捐獻的金額肯定比李亮多嗎？請陳述理由。

師：倘若李亮的捐助額是40元，馬芳的捐助額是60元，他倆誰的積蓄多？

（讓學(xué)生分清“定量”與“變量”）

師：這節(jié)課我們重新認識了“分數(shù)”，你有什么新看法？

為了進一步深化學(xué)生的認識，教師采用抽象化手法，先讓學(xué)生通過分數(shù)1/4和它所對應(yīng)的實際量，自主創(chuàng)造整體圖;然后進一步抽象，制造反差，列出兩個不等的分數(shù)1/4和3/4，讓學(xué)生進一步深刻認識到，分數(shù)值大小不能代表實際值大小，一定要考慮到背后的總量;最后通過40元與60元的直觀差距，制造直覺與現(xiàn)實的落差，讓學(xué)生明白60元背后的整體是60÷3/4=80（元）（馬芳），40元背后的整體是40÷1/4=160（元）（李亮），40背后的整體大于60背后的整體。這種反轉(zhuǎn)的真相，深刻揭示了整體大小受到實際值與對應(yīng)分數(shù)的雙重制約。

三、回顧反思，?？闯Ｐ?/p>

教師務(wù)必要潛心鉆研教材，做到洞若觀火，吃透教材，洞穿編者的編寫用意。在初次設(shè)計教學(xué)時，筆者扭曲了編者的真實意圖，甚至是枉顧編者的用心，所確立的教學(xué)目標扁平單薄，片面以為只要設(shè)法讓學(xué)生悟透“整體相同則同一分數(shù)指代的實際值也相同，整體不同則同一分數(shù)指代的實際值也不同”，則“整體與部分”的關(guān)系就水落石出;對教材上的例題也存在誤解，淺薄魯莽，沒有探查到例題背后別有洞天。在對教材進行深度解剖后，教學(xué)效果直線上升。

教學(xué)過程中，在學(xué)生動手“畫圖”時，筆者不停巡查督導(dǎo)，有位男生給筆者展示了他的畫法，對這道題預(yù)設(shè)出9種圖案的筆者，卻遺漏了這位男生的畫法。筆者當時判明他的畫法有誤，不符合要求，為了不挫傷他的積極性，便委婉地讓他下課后再斟酌斟酌。課后，筆者反復(fù)思量，發(fā)現(xiàn)該男生的畫法簡直是腦洞大開，不失為一大創(chuàng)舉，雖然不符合此題的要求，但是也有閃光點。當時不該急于否定和排除，應(yīng)該把這種畫法當成一種生成性的教學(xué)資源，供全班商討交流，學(xué)生完全有能力推出正確結(jié)論，而且可以深化和鞏固大家對“分數(shù)單位”的理解。但因為害怕節(jié)外生枝、局面失控，難以收拾殘局，筆者埋沒了這么重要的教學(xué)資源，實屬遺憾！今后再碰到這種完全超出意料之外的偶發(fā)狀況，教師在課中更要有敢于讓學(xué)生申訴和申辯的氣度與胸襟，當然還要有救場的措施和魄力，哪怕是學(xué)生荒誕的鬼點子，因為那也是智慧的靈光！

這堂課存在一個瑕疵，即練習(xí)設(shè)計時考慮到了開放性和延展性，卻輕視了練習(xí)題組的梯級性和層次性，沒有充分利用課本上的配套習(xí)題，沒有體現(xiàn)練習(xí)從具體到抽象，再回歸抽象的循環(huán)交替過程。因此，上新課時，不能只局限于當堂課新授環(huán)節(jié)的研磨，各個環(huán)節(jié)是有機整體，都要均衡發(fā)展，嚴防出現(xiàn)短板效應(yīng)，練習(xí)設(shè)計要有層次性，由易到難，由具體到抽象。只有為教學(xué)目標的落實做好一切準備，周全細致，才能真真正正上好一堂課！

（責(zé)編 童 夏）